浅谈二次函数在高中阶段的应用

◆刘 蒙

(海拉尔第二中学)

浅谈二次函数在高中阶段的应用

◆刘 蒙

(海拉尔第二中学)

函数是中学中最重要的内容之一，二次函数在高中教材中是很重要的一个内容。在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究。由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后对二次函数还需再深入学习。

二次函数 高中阶段 应用

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，学生感觉函数变幻莫测，做起题来方法很多，很难掌握，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用，对二次函数还需再深入学习。函数是历年高考命题的重点，集合、函数的定义域、值域、图象、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数以及具体函数的图象及性质在高考试题中屡见不鲜。

集合是近代数学中最基本的概念之一，集合观点渗透于中学数学内容的各个方面，所以我们应弄懂集合的概念，掌握集合元素的性质，熟练地进行集合的交、并、补运算。同时，应准确地理解以集合形式出现的数学语言和符号。

函数是中学中最重要的内容之一，主要从定义、图象、性质三方面加以研究。在复习时要全面掌握、透彻理解每一个知识点。为了提高复习质量，我们提出下述几个问题:理解函数的概念;求函数的最值是一种重要的题型。要掌握函数最值的求法，特别注意二次函数在定区间上的最值问题以及有些问题可能隐藏范围，因此范围问题是二次函数最值的关键。另外二次分式函数的最值亦应引起注意，它的基本解法是“△”法，当然有一部分可以转化为函数f(x)=ax(a，b＞0)的形式，而后与基本不等式相联系，或用函数的单调性求解。学会解简单的函数方程，认真对待指数或对数中含参数问题的求解方法，特别注意对数的真数必须“＞0”，注意方程求解时的等价性。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题:

例1:已知 f(x)=2x2+x+2，求 f(x+1)

这里不能把(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

通过这几个例题我们应该从本质上理解二次函数的定义，它是掌握二次函数的基础。

二、二次函数的单调性，最值与图象

对于含有绝对值(或分段)函数，若函数图象比较易作出，则利用函数图象能较快的求出其值域。

三、二次函数和指数函数，对数函数等知识的密切结合

指数函数和对数函数是学生步入高中后新学习的函数，学生掌握的不是很好，在学习的过程中很难达到灵活应用，那么指数函数和对数函数都有哪些联系呢?

评析:例2是一组具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。二次函数的内容涉及很广，还有很多其他的性质如:单调性、周期性、奇偶性等很多的知识点值得我们去探讨研究，本文只对定义和值域的求法以及和指数函数。对数函数的联系做了简单的讨论，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。

［1］李书恒．河北重点中学教程高考调研．河北教育出版社，2007．

［2］任志鸿．志鸿优化系列丛书赢在课堂．北京西苑出版社，2006．

［3］任志鸿．十年高考分类解析与应试策略．南方出版社:南海出版公司．