随机弱大数定律和弱大数定律的充要条件

王 瑶

（太原工业学院理学系，山西太原 030008）

随机弱大数定律和弱大数定律的充要条件

王 瑶

（太原工业学院理学系，山西太原 030008）

讨论了任意随机变量序列的弱大数定律，得到了随机变量序列分别服从随机弱大数定律和弱大数定律的充要条件，以及独立随机变量序列服从弱大数定律的相关结果。

随机变量序列；随机弱大数定律；弱大数定律

1 引言和引理

引理1［2］设η是随机变量，g（x）是定义在［0，∞）的有界的不减函数，在0的右领域取正值，g（+0）=g（0）=0，则对于每个正数ε，有P（｜η｜≥ε）≤［g（ε）］－1Eg（｜η｜）。

证明 由已知条件知，对于每个正数ε，g（ε）＞0，则

其中，Fη（x）是η的分布函数，从而引理1得证。

引理1是文献［2］第33页命题1.2.2的推广。

引理2设η与g（x）是同引理1，则对于每个正数ε，有

证明

其中Fη（x）是η的分布函数，引理2得证。

引理2是文献［2］第33页命题1.2.3的推广。

2 定理及证明

定理1设｛Xk；k≥1｝是随机变量序列，每个EXk都存在，｛Un；n≥1｝是取正整数值的随机变量序列，则｛Xk；k≥1｝，依｛Un；n≥1｝的随机弱大数定律成立的充要条件是：存在定义在［0，∞）上的有界不减函数g（x），在0的右领域取正值，g（+0）=g（0）=0，使

证明 对于每个正数ε及满足定理1条件的g（x），由引理1和引理2得到

从而得到

由此定理1得证。

推论1在定理1中，令Un=n，n≥1，得到｛Xk；k≥1｝服从弱大数定律的充要条件是：存在定义于［0，∞）的有界不减函数g（x）在0的右领域取正值，g（+0）=g（0）=0，

使Eg（｜Yn｜）→0，（n→∞），

定义1称随机变量序列｛Yn；n≥1｝是弱稳定的，如果存在常数序列｛an；n≥1｝和｛bn；n≥1｝，0＜an↑∞，使得

定理2对于独立的随机变量序列｛Xn；n≥1｝，存在常数列｛an；n≥1｝，0＜an↑∞。使得

的充要条件是：

注：

证明

充分性由（3）式对于任意给的δ＞0，

因此

由（4）式得到

由（2）式得到

因此，

结合（5）式和（6）式，得证（1）式成立。

必要性由引理3，我们只需要证明Xnk=Xk/an满足无穷小条件即可。

对于一切的k＜N，存在N′=N′（ε，δ），使得n＞N′时，

而当n≥N时，对于任意的n≥k，

得到：

结合（7）和（8）式得证无穷小条件满足，从而定理证毕。

推论2：如果｛Xn；n≥1｝是独立同分布随机变量序列，那么存在常数序列｛bn；n≥1｝使

成立的充要条件是

nP（｜X1｜≥n）→0。

此bn=E｛X1I（｜X1｜＜n）｝+ο（1），特别地，如果附加条件

E｛X1I（｜X1｜＜n）｝→0，

则（9）式中的bn可取作0。

［1］吴绍敏.非独立变量的随机大数定理［J］.华侨大学学报：自然科学版，1981（1）：1－5.

［2］Laha R G，Rohatgi V K.Probability Theory［M］.America：John Wiley＆Sons，1979.

［3］张尚志.关于弱大数定律的充要条件［J］.数理统计与应用概率，1993（3）：61－65.

［4］林正炎，陆传荣，苏中根.概率极限理论基础［M］.北京：高等教育出版社，1999.

〔编辑 高海〕

Necessary and Sufficient Conditions of Stochastic Weak Law of Large Numbers and Weak Law of Large Numbers

WANG Yao
（Department of Maths and Physics，Taiyuan Institute of Technology，Taiyuan Shanxi，030008）

In this paper，the author discusses weak law of large numbers for the arbitrary sequences of random variable，obtains the necessary and sufficient conditions，which random variables follow stochastic weak law of large numbers and weak law of larger numbers respectively and also gets some relevant results of weak law of larger numbers for independent random variables.

random variable sequences；stochastic weak law of large numbers；weak law of larger numbers

O211.4

A

1674－0874（2011）04－0010－03

2011－03－20

山西省高校科研开发项目［2010131］

王瑶（1979－），女，山西长治人，硕士，讲师，研究方向：最优化原理与方法。