基于APOS理论的数学概念教学设计——记一堂《基本不等式》公开课

215400 江苏省太仓高级中学 张 敏

基于APOS理论的数学概念教学设计
——记一堂《基本不等式》公开课

215400 江苏省太仓高级中学 张 敏

1 何谓APOS理论?

APOS理论是由美国数学教育学家杜宾斯基(EdDubinsky)在20世纪80年代提出的一种关于数学概念学习的新理论，是一种具有数学学科特色的建构主义学习理论，被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一.它分别是由英文action(操作)、process(过程)、object(对象)和schema(图式)的第一个字母所组合而成.这种理论认为，学生学习数学概念必须要进行心理建构，这一建构过程要经历四个阶段：

(1)活动阶段：数学教学是数学活动的教学，操作运算行为是数学认知的基础性行为.学生与数学家一样，要亲自投入，通过实际经验来获得知识.

(2)过程阶段：不断重复这种操作，学生从中得到不断反思，于是就会在大脑中进行一种内部的心理建构，即形成一种过程模式.这种过程模式使得操作呈现出自动化的表现形式，而不再借助于外部的不断刺激.

(3)对象阶段：当学生意识到可以把这个过程看作是一个整体，并意识到可以对这个整体进行转换和操作的时候，其实已经把这个过程作为一个一般的数学对象，形成一个“实体”.这时不但可以具体地去指明它所具有的各种性质，也可以此为对象具体地去实施各种特定的数学演算.

(4)图式阶段：个体对操作、过程、对象以及他自己头脑中的原有的相关方面的问题图式进行相应的整合、精选就会产生出新的问题图式，这种图式的作用和特点就是可以决定某些问题或某类问题是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应.显然，个体的思维和认识状况在这种持续建构中已经上升到更高的层次.即对有关概念进行了更高层次的加工和心理表征.

2 APOS理论下的基本不等式教学策略

2.1 基于APOS理论的基本不等式的教学策略

教材中，对基本不等式内容的编排符合APOS理论对于数学概念学习的心理建构过程，因此运用此理论能设计出更好的基本不等式教学策略.下面以基本不等式的教学为例.

最后一环节“图式”阶段.尽管大量的习题对学生巩固基本不等式是有效的，但不可效仿传统的“题海式”，而应考虑例题的特点，以生活中的实例(回到开始天平称物重的实例)，让学生从具体到抽象进一步体会运用基本不等式解决函数的最值问题及不等式的证明问题，通过对基本不等式的多种几何解释，完成最后的图式阶段，从另一个角度加深对基本不等式的认识.

2.2 基于APOS理论的基本不等式的教案

基本不等式在高中数学中的重要性不仅在于它的概念理解，还体现在利用基本不等式解决函数的最值问题和不等式的证明问题.根据笔者对APOS理论的理解设计出以下基本不等式的教学方案.

第一阶段：观察与操作(活动阶段)——表现活动为主的感性认识

问题1 用一个天平称一件物品，如何操作方能合理的表示物体的重量?

生1：把砝码放在一边，物体放在另一边就行了!

生2：不对，天平可能不等臂，为此要左右各秤一次，将两次所称重量a，b相加后除以2就可以了.

师：生2的做法合理吗?请大家讨论，给出理由!

生3：不合理，生2这样的做法仍然存在偏差，根据物理学科的杠杆原理，在生2的基础上可求出物体的真实重量，应该为

第二阶段：综合分析(过程阶段)——思维活动为主的理性思考

师：理由呢?

师：非常好，能自我修正!那么在数学中，验证能替代证明吗?有没有更加严格的论证方法呢?

问题2 上述不等式成立吗?请说明理由!

学生活动，小组讨论部分：

师：这就是证明不等式的基本方法之一：作差法.这种证法大家很容易发现.

问题3 如何理解“当且仅当”的含义?

生6：就是两者等价的意思!

师：说得能否再明白点呢?

师：这种证法的特点是怎样的呢?

生7：从结果出发，一步一步倒推到已知的结论(或条件)!

师：这种“执果索因”的证明方法称为“分析法”.其书写格式必须是：(1)要证，即证(或用⇐表示即证)(2)上述各步均可逆

生8：我将上面的证法“倒过来”写，即

(当且仅当a=b时，等号成立.)

这种证法显然与分析法过程恰恰相反，是由已知结论(或条件)出发，一步一步推导结果.

师：这种由因索果的证明方法称之为“综合法”.

教师点评

①比较法(比差、比商法)、分析法、综合法是证明不等式的基本方法.

②强调“当且仅当”的重要作用;

③比较上述两个不等式的特征(强调它们的限制条件，并举反例加以说明).

设计意图 学生在头脑中对反复的不等式的证明活动作出尝试，并不断进行分析、反思，通过思维的内化、整合与压缩，形成过程模式，抽象出基本不等式的概念，即“活动”内化为“过程”.此时个体能够对基本不等式的概念进行一般化，认识其实质，由此对概念的认识从感性上升到理性，从而为第三阶段形成概念做好铺垫.

问题6 学习了基本不等式，可以有何用途呢?

生11：可以用基本不等式来证明不等式.

例如，设a，b为正数，证明下列不等式成立：

问题4 你能用准确的文字语言表述基本不等式吗?

生9：两个正数a，b的算术平均数不小于几何平均数.

问题5 我们能否将基本不等式的条件进一步完善呢?

生10：我发现当 a=0，b＞0 或 b=0，a＞0 或 a=b=0时，不等式同样成立，所以我们把不等式

问题7 (2)在结论成立的基础上，条件“a＞0，b＞0”可以变化吗?

设计意图 在APOS理论中达到对象阶段，把a和b看成一个整体，对其进行分析.着重体现运用基本不等式的条件(非负实数)和定值(和定积最大，积定和最小).

在学生完成求解过程后，引发大家思考：问题8 我们能否对这个例题进行一定的变形呢?生12：可以! 已知 x＜0，当 x取什么值时，x+的值最大?最大值是多少?

生13：也可以这样变!已知x＞1，当x取什么值时，x+的值最小?最小值是多少?

生14：也可以这样变!已知x≥2，当x取什么值时，x+的值最小?最小值是多少?

师：非常好!我们不妨分组来解决大家提出的问题!

设计意图 通过学生互动，感受利用基本不等式来求解函数的最值问题，需要注意的有三点：一正二定三相等.在教学实践中，教师要充分利用实际问题、变式问题、开放问题以及学生自己的反例等具有启发性和探索性的问题，组织生动有趣的操作活动，将概念作为一个已知对象应用到它生存的土壤和背景中，并把它作为一个工具、一个新的对象来对待，力求从不同角度来加深学生对概念的认识，丰富学生对概念的理解，促进学生对概念的建构.

第四阶段：形成图式(图式阶段)——辨析与反思

问题9 我们学习了基本不等式及其简单的应用，那么我们能否换个角度来欣赏基本不等式呢?比如通过形的角度来解释此不等式呢?

大家开始讨论，各小组内成员均发表自己的见解!

生16：在图1中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD'，连接 AD，BD，OD.那么 DO=，DC=，通过图形我们发现半径不小于半弦.因此利用这个图形得到了基本不等式的几何解释.

图1

图2

师：很好!刚才的这个图标是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案.这个图案是我国汉代数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”.

点评 从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义;从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.

设计意图 通过图形的认识，加深学生对重要不等式的认识和理解，培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力.完成最后图式阶段，使学生从数和形两方面掌握完整的基本不等式的内涵和其他概念的区别和联系，并能在解决问题时创设与概念相关的问题情境.

3 教学感悟

上述案例，按照这一理念，围绕着“活动”、“过程”、“对象”和“图式”四个阶段实施概念教学，环环相扣，循序渐进，牵引并支持着学生在自己的经验和数学本质之间不断对话，在连续性地回顾与反思过程中提升、扩充学生的经验、认识，深化对数学概念本质的理解，使学生明确了：

(1)概念的发生、发展过程及其产生的背景;

(2)概念中有哪些规定和限制条件，它们与以前学过的哪些知识有着怎样的联系;

(3)概念的名称和表示方法有何特点;

(4)概念有没有等价的叙述;

(5)运用概念能解决哪些数学问题.

从而实现了真正意义上的概念建构，取得了较好的教学效果.

但运用APOS理论指导数学概念的教学时需要注意以下几点.

(1)数学概念的建立应遵循循序渐进的原则，不能一蹴而就.这就需要经过多次反复，循序渐进，螺旋上升，直至学生真正理解.同时APOS理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中，也不是每一课都必须遍历四个阶段，它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期，并不局限于某一堂课.

(2)A-P-O-S四阶段是一个相对连续的过程.四个阶段也可认为代表着概念在学生脑海中建立起来的四个必经路段，并且他们是相对连续的过程.如果忽略P阶段直接由A阶段跳跃到O阶段，或是跨越O阶段直至S阶段都是不现实的.概念在学生大脑建立期间，任一阶段都是不可缺少的.或缺其中任一阶段建立起来的数学概念要么现实根基不牢，要么缺乏抽象、提升或是成熟应用.

(3)不能将APOS绝对化，实际操作时，往往“活动”与“思考”可以穿插进行，活动中有思考，思考中有活动;“对象”与“图式”也可以穿插进行，两个阶段可以交替螺旋式进行.

总之，概念教学是数学教学工作中的一项重要内容，如何教好数学概念，怎样的概念教学更有效?这是实施新课程教学的一个极其重要的课题，也是我们数学教师的一个永恒的话题，值得我们在教学实践中认真研究，积极探索和不断反思.尽管APOS为我们提供了数学概念教学的模式，但也需要根据实际情况理智、审慎而科学的运用.

1 张奠宙，李俊.数学教育学导论.北京：高等教育出版社，2003，4

2 张伟平.基于APOS理论的数学概念教学研究［J］.数学通讯，2006，2

3 郑毓信，梁贯成.认知科学、建构主义与数学教育.上海教育出版社，1998

4 陈曦.于活动中生成，从过程中体验，在操作中建构［J］.中学数学2010，5

20110802)