高等师范院校数值逼近课改初探

郑艳萍

(太原师范学院 数学系, 山西 太原 030012)

高等师范院校数值逼近课改初探

郑艳萍

(太原师范学院 数学系, 山西 太原 030012)

数值逼近是信息与计算科学专业的一门专业课程,是该专业所有课程的基础。通过该课程的学习,使学生能够掌握本专业的基本概念、方法,熟悉一种实际的操作平台,利用计算机求解一些简单的实际应用中的逼近问题。数值逼近课堂教学,应针对教学目的和教学中存在的一些难点进行设计和提高,如改革课程体系使教材内容模块化,在教学中引入实验课程,建立合理的考核方式,等等。

数值逼近课;课堂教学;模块化;实验课

信息与计算科学专业是以信息领域为背景,与信息、管理相结合的交叉专业,是理科专业,包括信息科学与计算科学两方面。方向一是以信息科学为主,计算科学为辅;方向二是以数学方面为主,信息科学方面为辅。高等师范院校有其自身特点,一般是偏向方向二的培养。

数值逼近课是信息与计算科学专业的一门专业课程,是该专业所有课程的基础。通过该课程的学习,使学生能够掌握本专业的基本概念、方法,熟悉一种实际的操作平台,利用计算机求解一些简单的实际应用中的逼近问题,同时为进一步学习其他课程打下一定的基础。但在实际教学中,由于教师自身知识结构特点等原因,都是重点讲解理论知识,重视理论上的实验结果,而与之相关的理论知识又偏难,导致很多学生对这门课望而却步。很多学生对它不感兴趣,甚至放弃学习。所以有必要对其教学方式和教学手段做一些改变。本文就是针对在教学中的上述问题所提出的一些初步探索。仅是根据笔者的教学实践做出的一些探讨,力争在教学中适当地选择教学软件,寻求一种有效的教学模型。数值逼近的核心是根据相关理论寻求各种近似计算的方法,算法的关键是实现,并分析其误差。每一种算法都有其提出的问题背景和适用的对象。一些比较简单的例子在本科教学阶段都可以通过简单的数值实验形象而直观地予以验证,从而可以通过实际例子让学生亲身体验这些算法的实际效果。例如在讲解Lagrange插值[1]28和 Newton插值[1]30时,这两种方法提出的背景是一样的,但是其计算量是不同的,后者比前者更节省计算量,更节约时间。我们可以找一个问题通过软件编程予以实验。又如在讲解插值方法的时候,总以为选取的插值节点越多,所构造的插值多项式次数越高,效果越好,但是 Runge现象[1]63的出现让我们如梦初醒。我们可以用Matlab软件模拟出这种现象,比单纯地照本宣科效果好得多。同时我们也可以利用软件计算避免繁重乏味的演算。

为了达到比较好的教学效果,笔者进行了以下初步探索：

一、改革课程体系,教材内容模块化

原先学生所选的教材偏向较深的理论部分,涉及到的基础理论部分如Weierstrass逼近定理、Korovkin定理及正算子等概念,对大三的一般学生而言有一定的难度,而教材上赋予其严格的理论证明,更加大了学生的学习难度。在教学过程中往往出现的情况是教师讲起来特别费劲,学生听得昏昏欲睡。这不但降低了课堂效率,而且严重背离了开设这门课程的初衷。我们有必要针对教学实际中出现的学生讨厌一味的理论学习的问题,在制定教学内容课程体系的改革方案时,根据模块课程,尝试“教材内容模块化”。模块课程最早出现于20世纪 50年代至 70年代的职业技术教育,是按照程序模块化的构想和编制原则而设计的课程模式,是以课程的教学和管理功能分析为基础,将内在的逻辑联系紧密、学习方式要求和教学目标相近的教学内容整合在一起,充分考虑课程编制和课程实施的要求,将课程内容分解为合理的课程模块。在教学中,可以根据教学目标,以“问题”为标准,把内容分为若干部分,如插值问题、逼近问题、数值积分、方程求根等,针对每一种问题,给出其实际应用背景,提出相应的解决方法,从理论上分析其优劣,从而在一定程度上培养学生掌握该门课程的核心——近似,对其产生的误差从理论上分析。

在教学中以教师为主导,以学生为主体,进行专题式教学。将某一模块分成几个独立应用的专题,着重培养学生自我分析问题、解决问题的能力。各专题的内容紧贴实践性、应用性。

由于在教学大纲中,这门课程的课时不多,要保质保量地完成教学任务,对教师的要求是非常高的。

其一,我们必须意识到“教材内容模块化”并不意味把课本上的内容省略掉,避难就易,而是要求教学者对逼近理论非常熟悉,逼近理论功底相当深厚,能够选择学生最容易接受的一种讲解方法,用比较通俗的语言把各个模块理论的核心内容传授给学生。只有这样,学生才能深刻地理解近似方法,有助于设计算法,更进一步地改进原有的算法程序,进而编程。也只有掌握一定的理论基础,才可以进行误差分析。

其二,“教材内容的模块化”不应仅仅局限于改造原有课本上的内容。教师可以根据内容的需要适当地补充一些知识,脱离课本上的琐碎知识点,站在较高的角度上给学生讲解。例如：讲解最佳均方逼近时,我们可以引用泛函分析中的“Hilbert空间中的任意元素在其闭凸子集上一定存在正交投影”。而正交投影就是所要寻求的最佳逼近元素。例如在讲解 Her mite插值时,不再采用类似于 Lagrang-e插值方法的基函数的构造方法,而是补充重节点的Newton插值方法去解决,把 Hermite插值法归类到Newton插值法中,会在一定程度上减轻学生学习负担。

“教材内容的模块化”并不是一件容易的事情,而是需要兼顾教学大纲中课时与内容的要求,合理地建立各个模块,真正做到易教易学,合理删减或增加教学内容。这是一个比较长期的过程,需要在教学实践中长期摸索,不断完善。

二、在教学中引入实验课程

其一,在数值逼近教学中开设实验课程是有必要的,这是这门课程的特点所决定的。数值分析这门课具有以下几个特点：(1)面向计算机,要根据计算机特点提供实际可行的算法;(2)有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要求,对近似算法要保证收敛性和数值稳定性;(3)有好的计算复杂性;(4)有数值实验。[2]2正是由于其自身具有这些不同于其他理论课程的特点,所以应该在教学中安排出一定的时间去做数值实验。

其二,在教学中引入实验课程,要选择合适的数学软件。有人统计过,近二十年全世界大约有 30种数学软件上市,如有专门绘图用的 Graphmatic,The Geometer,Sketchpad, Phot3D等;有具有两种以上教学功能的数学软件,如 Mathematia,Matlab等。在数值计算方面,通用软件为 Matlab。

数学实验课的目的是提高学生对数学的应用意识,数值逼近实验课的目的是将课本上的理论予以实现,所以不同于传统的教学方式,强调以学生动手为主的数学学习方式。其关键是将理论与数学实验有机结合。但如何让两者有机结合,这是一个值得探讨的问题。鉴于高师院校的学生重视理论学习,忽视数学实验的特点,在教学中做了如下尝试：(1)简单介绍软件的使用,不能用传统的大班授课的教学形式,陷入粉笔讲解软件的误区。教学方式采用集中培训,与理论课同时讲解,以例题作为程序,活学活用。(2)切实安排三分之一的课时做数值试验,让学生亲自动手去体验,强调实践性。学生根据所学的基本理论与近似算法自己设计方案,寻求解决问题的途径,在实践中培养学生的创造力,提高学生的素质。总之,在教学中改变以往教学中的理论授课、实验、结合实习的三部曲模式,而是将其融为一体,在专业教室上课过程中采用理论与实践结合的方法。以先讲后做、边讲边做、先做后讲的方法,增加学生的学习兴趣。

最后,在条件允许的情况下建立在线交流平台。[3]和学生约定时间在虚拟教室通过文本交流及电子白板与学生进行同步交流,实时看到学生实验中遇到的问题,了解学生对实验设计的思想,改进实验中不合理的地方,与学生共同进步。另外还可以通过讨论和学生进行异步交流,从而实现教师与学生、学生与学生基于网络的协助学习。

总之,开展数学实验教学不但要求教师有雄厚的数学基础理论知识,而且要求教师熟悉各种数学软件及计算机的基本技能操作。更应该改变传统的数学教学理念,做到以学生为主导。在教学中尽力为学生提供良好的学习条件,开放实验室,教师提出问题,介绍解决问题的关键点,然后要求学生独立或研讨解决问题,教师主要负责答疑解惑。

三、建立合理的考核方式

课程教学改革的成败在一定程度上依赖于合理的评价体系。

首先,要规范评价。教师要从这方面的教学入手,在教学中多方面设置这方面的教学情境,同时完善学生的互评与自我评价机制。

其次,在教学中加大应用能力的考核比例,采用各种灵活的方式予以考核,可以口试、笔试及上机实验相结合。

最后,我们可以充分应用网络平台。可以在线考核,通过创建和管理自测、测验考试和成绩统计分析。

总之,建立一个切实可行而且科学的考核方式将极大地提高教学改革的效果。

以上仅仅是笔者就教学内容的安排、实验课的开设和考核方式的建立进行的一些探索,所有这些都有待于在教学实践过程中予以检验,进一步完善。

[1] 蒋尔雄,赵风光,苏养峰.数值逼近[M].上海：复旦大学出版社,2008.

[2] 李庆扬,王能超,易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社,2006.

[3] 王晨,徐安农.信息技术与数值分析课程的整合[J].广西科学院学报,2008(2).

【责任编辑 张进峰】

2010-09-01

郑艳萍 (1978-),女,山西文水人,太原师范学院数学系讲师,硕士。

1672-2035(2011)03-0161-02

G642.421

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