关于积分第一中值定理中ξ的变化趋势再讨论

伍建华 孙霞林 熊德之

（武汉工程大学 理学院智能机器人湖北省重点实验室，武汉 430073）

近年来有大量的文献对微积分中值定理“中间点”问题其进行探讨［1－6]，并取得了一些很好的成果.其中文献［1]的结论被多篇论文引用，而文献［1]中定理1的条件有瑕疵，得出的结论也是错误的.为了叙述方便，将第一积分中值定理引述如下：

若函数f（x）在［a，b]上连续，g（x）在［a，b]上可积且不变号，则在（a，b）内至少存在一点ξ使得

下面完整引述文献［1]中的定理1：设函数f（x）、g（x）满足：

（1）f（x）在［a，b]上连续，且其中η是［a，b]中一个固定点；

（2）g（x）在［a，b]上连续且不变号B；

则积分第一定理（1）中的ξ满足：

其中常数α＞0，β≥0，A≠0，B≠0.

因为α，β是实数，文献［1]没有考虑到当x－η＜0时（x－η）α，（x－η）β可能没有意义.另外，定理的结论也有问题，定理的条件（3）有因为η－a≥0，b－a＞0，应该I≥0，但结论（2）式中有因子（－I）β＋1.该文由这个定理推出的几个推论，选择η＝a的情形，此时I＝0，因此看不出问题，当选η＝b时，I＝1，这时就有（－1）β＋1，这显然是错误的.本文修正了文献［1]的定理条件，得出了新的结论，其推论同样可以涵盖文献［1]所说的各篇文献的所有结论.

1 定理的证明

引理1 设g（x）在［a，b]上可积，η是区间［a，b]中某一点，且存在实数B，β≥0，使得

则

证明 当x＞η时，由文献［2]可知式（4）的第一个式子成立.

当x＜η时，由条件（3）式可知：∀ε＞0，∃δ＞0，x∈（η－δ，η），有

对上式两边积分：

得：

由ε的任意性，证明（4）第2个式子也成立.

对于区间［a，b]中某一点η，即a≤η≤b，为了叙述的方便，在以下的证明中，a→η，b→η表示a→η－>，b→η＋.

引理2 设函数f（x），g（x）在［a，b]上可积，η是区间［a，b]中某一点，且存在实数A，B，I，α≥0，β≥0，使得

则

由引理1得知：

由

定理 设η是区间［a，b]中某点，存在实数a＞0，β≥0，A，B≠0，I，如果：

（1）函数f（x）在［a，b]上连续，且

（2）g（x）在［a，b]上连续且不变号，且＝B；

则：积分第一中值定理（1）式中的ξ满足：

证明 （1）当a≤η＜ξ≤b时，由积分第一中值定理（1）式和引理1有

又由引理2的（5）式知：

即

（2）当a≤ξ≤η≤b时，同理可证：

综上所述，定理得证.

2 结 语

（1）当η＝a时，I＝0，则：

这结论与文献［1]的推论1一样.

（2）当g（x）≡1时，则有β＝0，则：

这结论与文献［1]的推论2相对应的，文献［1]的结论是上式绝对值号内的表达式大于零的情形.

（3）当g（x）≡1，η＝a时，则有β＝0，I＝0，则：

这与文献［1]的推论3一样.

如果选择η＝a，再选取α，β的不同值，可以得到一系列的结果，正如文献［1]所说，可以涵盖很多文献的结论.但选择η＝b，这是目前众多这类文献中很少论及的，有以下结论：

（4）当η＝b时，I＝0，则：

这与（1）的结论相对应.

（5）当η＝b，g（x）≡1时，有β＝0，I＝0，则：

这与（3）的结论相对应.

（6）当η＝b，α＝n，β＝m，且g（b）＝g′（b）＝…＝g（m－1）（b）＝0，g（m）（b）≠0，f（b）＝f′（b）＝ … ＝f（n－1）（b）＝0，f（n）（b）≠0时，函数g（x），f（x）显然满足定理的条件（1），（2），且I＝0，则有：

本文在证明过程中没有用泰勒展式和洛必达法则，只是用中值定理的可积性和连续性条件，其适用范围将会更广.

［1]严 平，储茂权.关于积分第一中值定理中ξ的变化趋势［J].安徽师范大学学报，2001，24（1）：63－65.

［2]刘文武.积分第二中值定理“中间点”的渐近性分析［J].数学的实践与认识，2005，35（9）：221－225.

［3]程希旺.微分中值定理中值点渐进性研究的新进展［J].数学的实践与认识，2009，39（14）：229－233.

［4]Ricardo Almeida，An Elementary Proof Of A Converse Mean－value Theorem［J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology，2008，39（8）：1110－1111.

［5]Zhang Baolin.A Note on the Mean Value Theorem for Integrals［J].Amer.Math.Monthly，1997，104：561－562.

［6]Jingcheng Tong.Note The Mean Value Theorems for Differentials and Integrals［J].The Journal of the Elisha Mitchell Scientific Society，1998，114（4）：225－226.