高层建筑抗震计算数值方法分析

周清桥

0 引言

结构的抗震计算分析方法有很多，本文根据高层建筑结构的特点，对其进行抗震计算分析。

1 计算模型

多层结构往往采用层剪切模型来计算。而像更高层数的结构，其结构往往是筒体或框架剪力墙结构，则适合采用弯剪层模型。而杆模型以梁、柱等单根构件为基础单元，将楼层质量分别集中于结构各节点，形成质点。杆模型是较为精确的计算模型，我们采用的计算模型是层剪切模型，其方程如下［1］:

2 数值计算方法

2． 1 结构非线性计算方法

式(1)是非线性方程，需要用数值方法求解。但这里我们采用比较有代表性的Newton-Raphson法，在进行非线性求解时具体采用增量Newton-Raphson方法，此方法是先把荷载分成若干增量(或荷载步)，然后在每个增量步内用Newton-Raphson方法进行迭代求解。

图1是增量Newton-Raphson方法求解非线性方程F=Kδ的图解。图1中荷载 F 分成了 i个增量步(F1，F2，…，Fi-1，Fi)，现以第一增量步为例说明Newton-Raphson方法的迭代过程。在直角坐标系F—δ中，第一增量步内直线F1=R和曲线F=Kδ的交点A的横坐标δA就是方程F=Kδ在第一增量步内的解。

图1 增量Newton-Raphson方法

在实际使用中，Newton-Raphson法开始需先按线性理论求出位移δ1作为第一次迭代近似值，即图1中A1点的横坐标，如果荷载R并不因变形而改变它的数值和方向(假设为小变形)，则得［2］:

其中，KT为曲线F=Kδ的斜率(或切线刚度)。

第二次迭代从B1点做曲线F=Kδ的切线交直线F1=R于A2点，取A2点的横坐标δ2，从图1中可见:

由图1看出δ2就是位移的第二次迭代近似值。如此重复可得以下迭代公式:

不断重复迭代直至满足收敛条件为止，便可得到最终结果。其他增量步内的求解过程与第一增量步内相同，实践证明该法收敛性较好。

2． 2 矩阵特征值与特征向量的求解

对结构进行振型分析，求特征值:

注意到式(1)并不是标准的特征值表达式，可采用矩阵运算的方法把式(1)化为标准的特征值表达式。

在式(1)左右同时乘以［M-1］，即可化为:

令 A=［K］［M-1］，λ =ω2，式(1)即可变成标准的特征值表达式。这里［E］为单位刚度矩阵。

当然也可以左右同时乘以柔度矩阵［K-1］，两者是等效的。

上式问题常用的解法有雅可比法、迭代法以及近年来发展的子空间迭代法，此处采用的方法属于迭代法求解。由于总刚矩阵［A］并不是实对称矩阵，不适用雅可比法，而须先把其化解为赫申伯格矩阵，然后用QR方法来求解其特征值。

1)约化赫申伯格步骤，对k=2，3…作如下变换:

a．从第k-1列的第一个以下的元素中选出绝对值最大的元素 al，k-1。

b．交换第l1行与第k行，交换第l1列与第k列。

c．对于 i=k+1，…，n 作变换:

2)求赫申伯格矩阵全部特征值的QR方法步骤:

设不可约的上H矩阵为A。

a．确定一个初等正交矩阵Q0:

对A作相似变换A1=Q0AQ0。

b．利用同样的方法确定正交对称矩阵 Q1，Q2，…，Qn-2，对A1，A2，…，An-2作相似变换:

反复进行以上迭代，直到将上H矩阵A变为对角块全部是一阶块或二阶块为止，此时就可以直接从各一阶块或二阶块解出全部特征值。

3)求特征矩阵的特征向量:

利用求得的特征值代入特征方程，采用全选主元消去法的步骤:

设方程为AX=B。

消去过程:

a．全选主元。即从系数矩阵的第k行、第k列开始的右下子阵中选取绝对值最大的元素，并将它交换到主元素的位置上。

b．归一化。即:

c．消去。即:

回代过程:

2． 3 结构动力非线性分析的Newmark-β方法

在结构动力非线性分析中，本文使用Newmark-β时间积分方法，在离散的时间点上求解这些方程，在tn+Δt时刻，动力方程式为:

其中，［M］，［C］，［K］分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;{}，}，{y}分别为加速度矢量、速度矢量和位移n+1矢量;{fn+1}为作用力矢量。

主要计算步骤:

1)初始计算。

b．选择时间步长 Δt，参数 β，γ，计算积分常数。

c．形成等效刚度矩阵［⌒K］=［K］+a0［M］+a1［C］。

2)对每一时刻计算。

a．计算t+Δt时刻等效荷载:

c．计算t+Δt时刻的加速度和速度:

在Newmark-β法中，参数β，γ的取值影响着算法的精度和稳定性，且迭代的步长决定迭代的收性。为保证算法具有不低于二阶精度，要求参数β取值为1/2;一般情况下，参数γ取1/8～1/4即可获得稳定的解。本文中 β取1/2，γ取1/4，为有条件稳定［3，4］。

3 计算结果

以某12层框架结构为例，因为其楼层较低，其抗侧力构件薄弱，且层数较低，因此结构的计算模型采用层间剪切模型。鉴于计算结果的工程判断以模型的层间剪力和层间位移为主，通常以等效层间模型为主要的分析模型，其结果与用杆单元的计算模型精度相差不超过5%。在选用场地波形方面，我们选用最不利波El-Centro波。而El-Centro波计算时原结构的位移反应最大。El-Centro波为振动型破坏地震波。Taft波为冲击型破坏地震波。人工随机波为能量型地震波。地震波对结构的作用自然应该首先体现在振动型破坏作用上。为了分析共振效应，我们进一步分析了El-Centro波，下面我们列出这El-Centro波的傅立叶谱，见图2。

图2 El-Centro E-W傅立叶谱

经过分析各条波的傅立叶谱，我们发现各条波的卓越圆频率段为:El-Centro E-W波—0 s-1～3．75 s-1。以上四条波都将波峰集中在结构的圆频率附近，所以易发生共振［5］。

［1］ 张 敏．高层框架动力分析刚度矩阵的弯剪层模型［J］．华东交通大学学报，2005，22(5):34-36．

［2］ 钟万勰，何 穷，刘正兴．数值计算方法［M］．北京:中国建筑工业出版社，1991:130-138．

［3］ 沈聚敏，周锡元．抗震工程学［M］．北京:中国建筑工业出版社，2000:1-299．

［4］ 吕西林．高层建筑结构［M］．武汉:武汉工业大学出版社，2001:44-50．

［5］ 李 辉，曹 亮．在役结构的抗震分析［J］．浙江工业大学学报，2005，33(2):223-226．