Ⅲ型裂纹的二个动态扩展问题

程 靳，巴 颖，吕念春 ，2，林 敏，郭宝科

(1.哈尔滨工业大学航天科学与力学系，150001哈尔滨，baying000@163.com;2沈阳理工大学材料科学与工程学院，110168沈阳)

Ⅲ型裂纹的二个动态扩展问题

程 靳1，巴 颖1，吕念春1，2，林 敏1，郭宝科1

(1.哈尔滨工业大学航天科学与力学系，150001哈尔滨，baying000@163.com;2沈阳理工大学材料科学与工程学院，110168沈阳)

通过复变函数论的方法，对Ⅲ型裂纹的2个动态扩展问题进行研究.本文提出了裂纹动态扩展的1个新的力学模型，即裂纹坐标原点分别受增加载荷Px/t、Pt3/x2的作用，采用自相似函数的方法将所讨论问题迅速转化为Riemann－Hilbert问题，并求得了该模型的应力、位移和应力强度因子的解析解.利用这些解并采用叠加原理，即可求得任意复杂问题的解.

复变函数;Ⅲ型裂纹;动态扩展;解析解

近几十年来，对Ⅲ型裂纹的静力学问题已有许多人进行了研究［1－4］.由于数学上的困难，人们对动力学问题的研究还远远不够深入［5－9］，而对变载荷作用的裂纹的动态扩展问题的研究更是有限［10－14］.本文对Ⅲ型扩展裂纹在变载荷作用下的断裂动力学问题进行了深入研究，利用复变函数论的方法给出解的一般表示，该方法可以很容易地将所论问题转化为Riemann—Hilbert问题，而Riemann—Hilbert问题很容易用通常的Muskhelishvili方法［15－16］求解.本文对中心、集中、Px/t和Pt3/x2载荷等情况下的扩展裂纹问题给出了解析解.

1 正交异性体弹性动力学反平面问题的自相似函数公式

正交异性体弹性动力学的反平面运动方程为［ 1，3］

式中C44、C55为弹性常数，ρ为材料密度，w为沿z方向的位移［1］.

设在y=0上有任意个载荷区段及位移区段，这些区段的端点各以不同的常速移动，初始条件为零.这些区段上的载荷或位移是如下函数线性组合［7－9］:

其中 k、k1、s、s1是任意正整数.由于 x、t的任意函数都可表示为式(1)的线性组合，因而求解具有式(1)形式的载荷或位移具有原则上的意义.现引入线性微分算子及其反演，如下所示:

式中零导数表示函数本身，负导数表示积分，其绝对值表示积分的重数.容易证明必存在m、n使L作用于式(1)得到的函数是x、t的零次齐次(简称齐次)函数，称此m=k1－k、n=s1－s为自相似指数［7－9］.

因此，在 y=0 上可得到如下一般性结论［7－9］:

当Lw是齐次函数时，令

式中τ=x/t，f(τ)为自相似函数.

2 具体问题的解

假定t＜0时一切静止.在t=0时刻，坐标原点开始出现一微观裂纹，并以速度V(小于声速)沿x轴正、负方向对称扩展，且处于反平面应变状态下，下面对不同边界条件问题进行求解.

1)假定在t=0时刻，坐标原点在阶跃荷载作用下开始出现一微观裂纹，并以速度V(小于声速)沿x轴正、负方向对称扩展.在y=0的半平面上，问题的边界条件为

很明显本问题应力为齐次，这里的L= 1，利用式(3)～(5)可将边界条件(6)的第一式写为

由于T(τ)在亚音速范围内为纯虚量，因此上式中的f(τ)在区间|τ|＜V上必然为纯实量.考虑到对称性、无穷远条件以及裂纹尖端的奇异性［12－14］，利用边界条件(6)，即可确定 f(τ)的唯一解必满足如下形式:

式中A为待定实常数，n为待定指数，将式(8)代入式(7)后，即可确定指数n=－3.

当τ→0时，由式(7)、(8)及(5)即可确定实常数 A，即

然后将式(8)代入(3)～(5)后，即可求得y=0上的应力、应力强度因子，分别为

上式的极限属于0·∞型，必须转化为∞/∞型后，方可应用罗比塔(L’Hospital)法则进行求导计算［15］，从而得出上式的极限值.

而后利用式(8)代入式(4)，即可求出w0，即

因为裂纹扩展的方向是沿着x轴的，所以在对w0进行定积分运算时，取常数C= 0，然后将式(9)代入式(3)可得出位移w，即

2)假设施加在坐标原点上的载荷变为常数载荷Px/t，其它条件与上列完全相同，则问题的边界条件

显然本问题位移为齐次，这里的L= 1，利用式(2)、(4)、(5)可将上式的第一式写为

由于T(τ)在亚音速范围内为纯虚量，因此上式中的f(τ)在区间|τ|＜V上必然为纯实量.考虑到对称性、无穷远条件以及裂纹尖端的奇异性［12－14］，则由上式即可确定 f(τ)的唯一解必满足如下形式:

式中A1为待定实常数，n为待定指数.然后将式(11)代入式(10)后，即可确定指数n=0.

因此当τ→0时，由式(11)、(10)及(5)，可确定实常数A为

而后将式(11)代入(2)、(4)、(5)后，即可求得y=0上的应力、位移、应力强度因子分别为

3 结论

采用自相似函数的途径能够获得Ⅲ型动态裂纹坐标原点受阶跃载荷、常数载荷作用下的应力、位移、应力强度因子、应变能密度因子和位错分布函数的解析解.利用关系式:f(x，y，t)=tn·f(x/t，y/t)，且n为整数;就可以将所讨论的问题转化为零次齐次函数，即自相似函数［6－9］.凡是满足这个函数关系，均可通过式(2)～(4)以τ为变量的齐次函数类型进行求解.这一方法不仅在弹性动力学中应用［6－ 9，15］，而且在弹性静力学中也可应用［15－17］，甚至其它领域［18］.解的方法是以专用的解析函数理论为基础，是简单的、简明的.这已经相当地减少了需要解决这一裂纹扩展问题的计算工作量.

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Two dynamic propagation problems of modeⅢcrack

CHENG Jin1，BA Ying1，LÜ Nian－chun1，2，LIN Min1，GUO Bao－ke1

(1.Dept.of Astronautics and Mechanics，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China，baying000@163.com;2.School of Material Science and Engineering，Shenyang Ligong University，110168 Shenyang，China)

In order to solve two dynamic propagation problems on mode Ⅲ crack by theory of complex functions，a new mechanical model for dynamic crack propagation，in which the crack is under the conditions of increasing loads Px/t、Pt3/x2located at the origin of the coordinate of the crack is presented in this paper.The problems are transformed into Riemann－Hilbert problems by the approaches of self－similar functions，and the analytical solutions of stress，displacement and stress intensity factor are attained.With the solutions and superposition theorem，the solutions of discretionary complex problems can be acquired.

complex functions;modeⅢcrack;dynamic propagation;analytical solutions

O346.1

A

0367－6234(2011)09－0030－03

2010－03－28.

程 靳(1945—)，男，教授，博士生导师.

(编辑 张 宏)