两类复序解析函数族的系数估计

熊良鹏，刘晓丽

（成都理工大学 工程技术学院，四川 乐山 614000）

两类复序解析函数族的系数估计

熊良鹏，刘晓丽

（成都理工大学 工程技术学院，四川 乐山 614000）

用S表示在单位开圆盘Δ={z:|z|＜1}内单叶解析的函数类，函数族S*C(γ,λ,β)为S的一个子类，其中0≤λ≤1，0≤β＜1，γ∈C，z∈Δ. 借用非同构的Cauchy-Euler微分方程，定义了与S*C(γ,λ,β)相关的另一类函数族BS*C(γ,λ,β,μ)，μ∈R(-∞,-1]，并得到了S*C(γ,λ,β)与BS*C(γ,λ,β,μ)系数估计的结果.

单叶函数；解析函数；星形函数；系数估计；Cauchy-Euler方程

1 预备知识

用S表示在单位开圆盘Δ={z:|z|＜1}内单叶解析形式如下的函数：

S*,C,P 分别表示通常意义的星形函数族、近于凸函数族和正实部函数，它们均为S的子类. 一个函数f(z)∈SC(γ,λ,β)当且仅当f(z)∈S且满足不等式

其中，0≤λ≤1，0≤β＜1，γ∈C，z∈Δ.

O. Altintas等[1-2]曾经研究过此函数族，本文定义如下2个新的函数族.

定义1 一个函数f(z)∈S*C(γ,λ,β)当且仅当f(z)∈S且存在函数g∈S*满足不等式

其中，0≤λ≤1，0≤β＜1，γ∈C，z∈Δ.

显然，S*C(1,1,0)≡k*. K.I. Noor等[3]定义和研究过S*，S*C(1,0,0)≡C 为近于凸函数族；熊良鹏[4]定义和研究过S*C(γ,λ,β)特殊子集的半径问题.

定义2 一个函数f(z)∈BS*C(γ,λ,β,μ)当且仅当f(z)∈S且存在函数g(z)∈S*C(γ,λ,β)使得f(z)满足如下的非同构Cauchy-Euler微分方程：

其中，w=f(z)∈S ，g(z)∈S*C(γ,λ,β)，μ∈R(-∞,-1].

本文获得了函数族S*C(γ,λ,β)和BS*C(γ,λ,β,μ)系数估计的结果.

2 主要结果

引理1[5]13如果

引理2[5]12如果

证明 因为f(z)∈S*C(γ,λ,β)，则由定义1，有：

设

式（4）和式（5）暗示了Rp(z)＞0，故由引理2有：|pn|≤2. 事实上，式（5）等价于

展开式（6）两端，对比nz的系数，有：

所以

又因为g(z)∈S*，由引理1，有|bn|≤n，n≥2. 联合式（7），可得：

下面是定理1的2个推论.

证明 在定理1中取λ=β=0，γ=1即可.

证明 在定理1中取λ=γ=1，β=0即可.

证明 因为f(z)∈BS*C(γ,λ,β,μ)且，则由定义2，有：

联合定理1，容易得到

证毕.

[1] ALTINTAS O, IRMAK H, OWA S, et al. Coefficient bounds for some families of stralike and convex functions of complex order[J]. Applied Mathematics Letters, 2007, 20(12): 1218-1222.

[2] ALTINTAS O, OZKAN O, SRIVASTAVA H M. Neighborhoods of a class of analytic functions with negative coefficients[J]. Appl Math Lett, 1995, 13(3): 63-67.

[3] NOOR K I, ALDIHAN N. A subclass of close-to-convex function[J]. Pb Univ Math, 1982, 16(2): 183-192.

[4] 熊良鹏. 一类新的近于凸函数的子集[J]. 湖北大学学报: 自然科学版, 2010, 32(1): 13-17.

[5] HALLENBECK D J, MACGREGOR T H. Linear problem and convexity techniques in geometric function theory[M]. New York: Putnam Publishing Group, 1984.

Coefficient Estimates of Two Types of Complex Sequence Analytic Functions

XIONG Liang-peng, LIU Xiao-li
(School of Engineering Technology, Chengdu University of Technology, Leshan 614000, China)

Let S denote the class of functions which are analytic and univalent in the open unit disk Δ={z:|z|＜1}. The class S*C(γ,λ,β)belongs to the S. Then the other class BS*C(γ,λ,β) was defined with the Cauchy-Euler differential equation with S*C(γ,λ,β)and the coefficient estimate of the classes S*C(γ,λ,β)and BS*C(γ,λ,β) were obtained.

univalent function; analytic function; starlike function; coefficient estimate; Cauchy-Euler equation

O174.51

A

1006-7302（2011）01-0016-04

2010-10-20

熊良鹏（1983—），男，湖北武汉人，助教，硕士，研究方向为单复变函数论.