广义力与广义位移的数学证明

常燕虹，郑海军

（1.延安职业技术学院；2.延安市宝塔区 枣园中学，陕西 延安716000）

广义力与广义位移的数学证明

常燕虹1，郑海军2*

（1.延安职业技术学院；2.延安市宝塔区 枣园中学，陕西 延安716000）

利用数学中微分的分析思想，对广义力间功的互等进行了数学证明；探讨了力的分布形式与力系的等效转化。

广义力；广义位移；数学证明

文献［1］以梁为例证明了功的互等定理。原始定理阐述了两个集中力力系之间功的互等，其相应的数学表达式为

（Δij是力系 Fsj在 Fpi作用点处沿 Fpi方向引起的位移；Δji是力系 Fpi在 Fsj作用点处沿Fsj方向引起的位移）对于广义力，如分布载荷q、力偶矩M，功的互等定理也是成立的。本文首先以梁为例，证明集中力力系与分布载荷、力偶矩之间功的互等，然后从数学的角度对梁的微段进行分析，对原始的功的互等定理做进一步的分析阐述。

1 广义力间功的互等的证明

1.1 分布载荷 q与集中力力系之间功的互等

记集中力力系为

其中 xi表示力在梁上作用点的坐标；w1（x）为集中力力系Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）加在梁上引起的挠度，w2（x）为分布载荷 q（x）加在梁上引起的挠度.

在小变形的情形下，考察两种加载过程：一种是先加 Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）后加分布载荷 q（x）（图1）；另一种是先加分布载荷 q（x）后加 Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）（图2）。

对于线弹性问题，根据叠加原理，变形状态与加载顺序无关.因此，两种加载过程产生的最后变形状

图1 简支梁先加集中力系后加布载荷

图2 简支梁先加分布载荷后加集中力系

态是相同的，故两种情形下所引起的应变能相等，即

应用能量守恒原理有

所以

当q（x）＝con st.时，上式可改写为

1.2 力偶矩集中力力系之间功的互等

记 w3（x）为力偶矩 M加在梁上引起的挠度。

图3 简支梁先加集中力矩，后加集中力系

图4 简支梁先加集中力系，后加集中力矩

图（3）为先加力偶矩 M，后加集中力力系为 Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）；图（3）为先加集中力力系为Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）后加，力偶矩M。设力偶矩M的加矩点坐标为a，同 1.1的分析，可得图（4）情形下应变能为：

图（4）情形下应变能为

对于力偶矩 M和分布载荷 q之间，也可用同样的分析过程建立这两种广义力间功的互等定理，在此就不证明了。

2 梁的微段的数学分析

2.1 对证明1.1的分析

由证明的结论，分布载荷q与集中力力系Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）之间功互等的数学表达式为

由定积分的定义，上式的右边实际上是一个分割、求和、取极限的过程。

图5 分布载荷对简支梁横向位移一挠度做功的离散分析图

对于区间［0，l］，做任意一个分割 T：

0＝x1＜x2＜...＜xj＜xj＋1＜...＜xn－1＜xn＝l，记 Δxj＝xj＋1－xj

当分割的模‖T‖＝1≤j≤n{ Δxj}很小时，对任一小区间［xj，xj＋1］，分布载荷可视为一集中力

该区间内分布载荷的功

由于功的互等原理本身就是在线弹性范围内和小变形条件下的高度近似，因此，我们可将分割 T做得足够细，使误差足够的小（在实际的工程问题中，也常用数值方法进行误差可控的近似计算）。于是，分布载荷 q的功在误差很小时可近似表达为

代入（1）式，就有

这又回到了最初功的互等定理的数学表达式，根本原因是，在梁的一微段［xj，xj＋1］内，我们可以将分布载荷视为集中力来处理，并且保证误差很小。

2.2 证明1.2的分析

图6 在简支梁 x＝a截取微段

如上图6所示，我们在集中力力系

Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）作用时，梁的x＝a处（对应弯矩的作用点）取一微段进行分析。

图7 简支梁微段几何分析

如图7所示，微段的上表面受压，下表面受拉，两个横截面绕中性轴 OO′转过 一个角度dθ，并且

因 此 力 偶 矩 M在 集 中力 力 系 Fpi（xi）（i＝1，2，...，m）作用时引起位移的功为

事实上，力偶矩 M是由作用在微段的两个上下表面一对力偶（F，F′）引起的，

如图（7），上表面压缩长度为 Δx1＝y1dθ下表面的拉伸长度为

于是，力偶（F，F′）所作的功为

又 M＝FΔy和Δy＝y1＋y2，

所以

代如（2）式，即

这也回到了最初功的互等定理的数学表达式。

3 结论

对于功的互等定理，由1的证明可以断定，它对于广义力也是成立的；由2的分析，我们又可以将广义功的互等定理还原为最初定理的表达形式。

根本原因在于：功是力在空间作用效果的累积.力在空间分布形式的不同，进而产生的各种形式的广义力，及其与之对应的广义位移。例如，集中力是作用于空间一点的，它是力在空间的一种零维离散分布；分布载荷是作用于线的，它是力在空间的一种一维连续分布；力矩当归结为力偶时，它便是力在空间的一种对称分布；压强或应力就是力在空间的一种二维连续分布。

由2的分析，我们发现，当在一个微段处理力学问题时，不论力的空间分布形式如何，我们总是可以对它局部离散化 ，即化为一个集中力的形式，将力在空间的高维分布降为零（低）维分布，从而使问题得到简化，并且误差可控制在很小的范围内。简而言之，无论力在空间分布形式如何，它总可以局部的化为集中力进行处理。

功的互等原理（最初形式）是很深刻的，它一方面阐述了作用在同一结构上的不同力系之间功的互等；更重要的是，它传达了一个更深层次的含义：力的零维离散分布（集中力）是力在空间分布的基本形式，力在空间不同的分布形式之间可以等效转化。

功的互等原理（最初形式）涵盖了在力学范围内任何形式的广义力之间功的互等，是所有广义力之间功的互等的最本质的描述。

［1］范钦珊.材料力学［M］.北京：高等教育出版社，2005：298－299.

［2］博西雷A P，赛德博坦OM.高等材料力学［M］.北京：科学出版社，2006：153－156.

［3］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2006：201－202.

［责任编辑 贺小林］

M athematical Proof of Generalized Force and Generalized Displacement

CHANG Yan－hong1，ZHENG Hai－Jun2
（1.Yan an Vocational and Tec.College；2.Yan an Zaoyuan High School，Yan an 716000，China）

Bymeans of the analytical thoughts in differential，a mathematical proof of the reciprocal theorem of work among generalized forces is obtained.And bymeans of the conclusion which is drew through studying the distributed form of forces and the equivalent transform between force systems.

generalized force；generalized displacement；mathematical proof

O175，O316

A

1004-602X（2011）01-0014-03

2010 -12 -20

常燕虹（1969—），女，陕西延安人，延安职业技术学院讲师。*为通讯作者