广义一致对称凸多目标半无限规划的对偶性

高 颖，张庆祥

（延安大学 数学计算机科学学院，陕西延安 716000）

广义一致对称凸多目标半无限规划的对偶性

高 颖，张庆祥

（延安大学 数学计算机科学学院，陕西延安 716000）

定义了广义一致（F，α，p，d）－对称凸函数，并在这些广义凸性情形研究了一类多目标半无限规划的对偶性，得到了若干弱对偶和强对偶定理。

广义一致（F，α，p，d）－对称凸函数；多目标半无限规划；Mond－Weir型对偶；有效解

凸函数在数学规划的研究中占有十分重要的位置。与此同时，凸函数也从不同角度得到了不断扩充，由此得到众多的广义凸函数类。Preda［1］在F－凸［2］和p－凸［3］的基础上提出了（F，ρ）－凸的概念，并且得到推广，其后，Liang等给出了（F，α，p，d）－凸的概念［4］，进一步拓展了（F，ρ）－凸函数，李丽等［5］又给出了（F，α，ρ，d）－对称凸函数的概念，文献［6］中给出了广义一致（F，α，ρ，d）－凸函数概念，并研究涉及这些广义凸函数的半无限分式规划。

本文在广义一致（F，α，ρ，d）－凸函数基础上定义广义一致（F，α，ρ，d）－对称凸函数的概念，得到涉及此类广义凸性的一类多目标半无限规划的一些Mond－Weir的对偶性结果。

1 预备知识

定义 1.1［4］称泛函 F：Rn×Rn×Rm→R是次线性的，如果∀x1，x2∈Rn，有

（i） F（x1，x2；α1＋α2）≤F（x1，x2；α1）＋F（x1，x2；α2），∀α1，α2∈Rm，

（ii） F（x1，x2；tα）＝tF（x1，x2；α），∀α∈Rm，

由（ii）知，F（x1，x2；0）＝F（x1，x2；0α）＝0×F（x1，x2；α）＝0，其中0∈R。

设 C⊂Rn是非空的，x∈C，f∶C→R在 x0处是对称可微函数，F∶C×C×Rm→R是次线性泛函；设 α

∶C×C→R＋{}＼0，ρi∈R，φ∶R→R，

b∶C×C×［0，1］→R＋，（x，x0；λ）＝b（x， x0），d∶C×C→R，d（.，.）是 Rn上的一个伪度量，ρ＝（ρ1，ρ2，…，ρm）。

定义 1.2［7］称函数f（x）在x是对称梯度，如果有

f（x＋h）－f（x－h）＝2hTfs（x）＋0（‖h‖），并记作fs（x）。

次梯度与梯度并不唯一，但对称梯度唯一，而且对称梯度与梯度有着很相似的性质，所以研究对称梯度有着重要意义。

定义 1.3［6］称函数 f∶C→R在x0∈C处关于F，φ，b，d是广义一致（F，α，ρ，d）－凸的，如果对所有的x∈C，存在 ρ∈R，使得

2 主要结果

定义2.1 称函数 f∶C→R在 x0∈C处关于 F，φ，b，d是广义一致（F，α，ρ，d）－对称凸的，如果对所有的x∈C，存在 ρ∈R，使得

当 ρ＞0，ρ＝0，ρ＜0时，分别称 f为广义强一致（F，α，ρ，d）－对称凸，广义一致（F，α，ρ，d）－对称凸，广义弱一致（F，α，ρ，d）－对称凸。

定义 2.2 称函数f∶C→R在x0∈C处关于 F，φ，b，d是广义一致严格（F，α，ρ，d）－对称凸的，如果对所有的 x∈C，x≠x0，存在 ρ∈R，使得

定义 2.3 称函数f∶C→R在x0∈C处关于 F，φ，b，d是广义一致（F，α，ρ，d）－对称伪凸的，如果对所有的x∈C，存在 ρ∈R，使得

定义 2.4 称函数f∶C→R在x0∈C处关于 F，φ，b，d是广义一致严格（F，α，ρ，d）－对称伪凸的，如果对所有的 x∈C，x≠x0，存在 ρ∈R，使得

定义 2.5 称函数f∶C→R在x0∈C处关于 F，φ，b，d是广义一致严格（F，α，ρ，d）－对称拟凸的，如果对所有的x∈C，存在 ρ∈R，使得

当 ρ＜0，ρ＝0，ρ＜0时，分别称 f为广义强一致（F，α，ρ，d）－对称拟凸，广义一致（F，α，ρ，d）－对称拟凸，广义弱一致（F，α，ρ，d）－对称拟凸。

定义 2.6 称函数f∶C→R在x0∈C处关于 F，φ，b，d是广义一致（F，α，ρ，d）－弱对称拟凸的，如果对所有的 x∈C，存在ρ∈R，使得

考虑多目标半无限规划（VP）min f（x）＝（f1（x），f2（x），…，fp（x）），

其中f∶X0→Rp是对称可微函数，g∶X0×U→Rm对于∀u∈U关于x是对称可微函数，X0⊂Rn是一非空开集，U⊂Rm是一无限参数集。

记X＝ {x｜g（x，u）≤0，x∈X0，u∈U}，是 U的任意可数子集，，且仅有有限个 μi＝0}。

规划（VP）的 Mond－Weir型对偶规划（VD）

μj≥0，对一切j∈Δ，且仅有有限个＝1. （c）

W＝{（y，uj，λ，μ）｜（y，uj，λ，μ）}满足（a）（b）（c）式子为（VD）的可行集。

定理1（弱对偶性）设x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果对于 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈Λ，j∈Δ，∃F，φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1，ρj2∈R1Λ，满足

证明：假设f（x）≤f（y），则∃i0∈ { 1，2，…，p}，使得 fi0（x）＜fi0（y），fi（x）≤fi（y），∀i∈ {1 ，2，…，p}，i≠j。

因 λi＞0，i＝1，2，…，p，所以

由（i）得又

μj∈Λ，且 j∈I（y），g（y，uj）＝0，所以uj）≥0，

当 j∉I（y）时，取μj＝0，

式（1）＋（2），利用F的次线性性质，得

定理2（弱对偶性）设x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果对于 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈∧，j∈Δ，∃F， φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1∈R1Λ，满足

定理3（弱对偶性）设x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果对于 λi＞0，i＝1，2，…，p，uj∈Λ，j∈Δ，∃F，φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1∈R1Λ，满足

（i）∑p

i＝1λifi在 y是广义一致严格（F，α，ρ，d）－对称伪凸；

定理4（弱对偶性）设x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果对于 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈Λ，j∈Δ，∃F，φ1， φ2，b1，b2，ρ∈R1，∈R1Λ，满足

定理5（弱对偶性）设x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果对于 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈Λ，j∈Δ，∃F，φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1，∈R1Λ，满足

定理2－定理 5的证明类似于定理1。

定理6（强对偶性）x*是（VP）的一个有效解，如果对 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈Λ，j∈Δ，∃F，φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1，ρj2∈R1Λ，满足

（iv）对于（y，uj，λ，u）∈W，在x*处Kuhn－tuker约束备格成立，则∃（x*，u*）使得（x*，ui，x*，u*）为（VD）的有效解，且（VP）与（VD）的目标函数值相等。

证明：因在 x*处 Kuhn－tuker约束备格成立，所以∃＞0，i＝1，2，…，p，Λ，j∈Δ，∀uj∈U*，有g（x*，uj）≥0，所以（x*，uj，λ*，u*）是（VD）的可行解。

假设（x*，uj，λ*，u*）不是（VD）的有效解，则∃（y，uj，λ，μ）∈W和一个i0，使得

另一方面，由弱对偶性（定理 2）知，f（x*）f（y），这与式（3）矛盾，故（x*，uj，λ*，u*）是（VD）的有效解，显然，两规划的目标函数值相等。

［1］Preda V.On efficiency and duality formultiobjective program［J］.JMath Anal Appl，1992，166：365－377.

［2］Gulati TR.Islam A.Sufficiency and duality inmultiobjective programming problems involving generalized F－convex functions［J］.JMath Anal Appl，1994，183：181－195.

［3］Via l JP.Strong and weak convexity setand functions［J］. Math Oper Res，1983（8）：231－259.

［4］Liang ZA.Huang X.Pardalos PM.Optimality conditions and duality for a class ofnonlinear fractional programming problems［J］.JOptim Theory Appl，2001，110：611－619.

［5］李丽，张庆祥.（F，α，ρ，d）－对称凸性下多目标规划的MOND－WE IR型对偶［J］.延安大学学报（自然科学版），2009，28（2）：14－17.

［6］高晓艳，张庆祥，张蕾蕾.一类广义一致凸半无限分式规划的最优性条件［J］.延安大学学报（自然科学版），2005，24（1）：26－31.

［7］Minch R A.Applications of symmetric derivatives in Mathematical programming［J］.Mathematical Programming 1971（1）：307－320.

［责任编辑 贺小林］

Duality for M ultiobjective Sem i－Infinite Programm ing under Generalized Uniform（F，α，ρ，d）－Symmetrical Convexity

GAO YING，ZHANG Qing－xiang
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

The generalized uniform（F，α，ρ，d）－symmetrical convex function is defined.Some weak duality and strong duality theorems formultiobjective semi－infinite programming are given under these generalized convexity（F，α，ρ，d）－symmetrical convex.

generalized uniform（F，α，ρ，d）－symmetrical convexity；multiobjective semi－infinite programming；Mond－Weir vector duality；efficient solutions

O221.6

A

1004-602X（2011）01-0006-04

2011 -03 -19

陕西省教育厅专项科研基金资助课题（06JK152）

高颖（1984—），女，陕西米脂人，延安大学在读硕士研究生。