基于柔性动力学的类菱形车转向性能分析

查云飞 钟志华 闫晓磊

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，410082

0 引言

在传统的多刚体动力学分析中，系统的各构件都为刚体，各运动副为刚性连接，无法预测转向导杆的变形对转向精度的影响，以及悬架的变形对被动转向的影响。近年来，柔性多体系统动力学的发展及多体动力学分析软件的出现，为机械系统动力学分析提供了新的方法和手段。柔性多体系统动力学中，由可变形物体以及刚体所组成的系统在大范围空间运动的动力学行为、变形运动与刚体运动的同时出现及其耦合是柔性系统动力学的核心特征［1－6］。

类菱形车四个车轮按前后各一个、中间两个呈类菱形布置，其转弯半径小，操纵灵活［7－8］。在相同的轴距和转角的情况下，其转弯半径明显小于传统四轮车。类菱形车采用前后联动的转向模式，前轮和后轮负责转向，在转向的过程中，车架的柔性变形会使车轴出现轴转向，影响类菱形车的转向性能。

本文将类菱形车简化为三点支承的连续梁，分析车架柔性变形导致轴转向带来的附加转角对类菱形车二自由度模型的影响，得到了类菱形车的柔性二自由度模型。通过类菱形车柔性二自由度模型和刚性二自由度模型的对比分析，得出车架的柔性变形对类菱形车的稳定性、灵活性以及车辆对驾驶员操纵指令的执行能力的影响。

1 类菱形车柔性二自由度模型的建立

为方便对车辆运动进行表达和描述，整车操纵稳定性的坐标定义为固定于车辆上的相对坐标系oxyz。坐标原点o为过整车质心且平行于水平面的纵向平行线与质心铅垂线的交点。车辆前进方向为x轴正向，铅垂线向上为z轴正向，y轴正向用右手法则给出，即车辆前进方向的左侧为y方向。

在建立模型前，首先考虑如下几点假设［9］：

（1）将类菱形车的三轴简化为三点支撑的连续梁，每个车轴处对应支撑点，弹性梁在各支座处只有转动，而没有位移变化。

（2）本文内容旨在分析车架的变形对类菱形车转向的影响，为突出重点，简化分析过程，假设车架的侧向变形是由整车在质心处的侧向加速度形成的惯性力所产生的，用其静态变形代替弹性模态。

根据以上假设得到如图1所示的类菱形车柔性二自由度转向模型。

图1 类菱形车柔性二自由度转向模型

根据图1可知，二自由度类菱形车受到的外力沿y轴方向的合力与绕质心的力矩和分别为

式中，kf、km、kr分别为前轮、中轮、后轮的侧偏刚度，均为负值；αf、αm、αr分别为前轮、中轮、后轮侧偏角；δf、δm、δr分别为前轮、中轮、后轮转向角；lf、lm、lr分别为前轮、中轮、后轮与车辆质心的距离。

考虑到δf、δm、δr值较小，式（1）可写成

将前轮、中轮、后轮的合成速度与车辆纵轴线的夹角分别用θf、θm、θr表示，则

式中，β为车辆重心侧偏角，β＝vy／vx；vfx、vmx、vrx分别为前轮、中轮、后轮速度在x轴上的分量；vfy、vmy、vry分别为前轮、中轮、后轮速度在y轴上的分量；ωR为车辆横摆角速度。

根据图1可得前轮、中轮、后轮的侧偏角分别为

式中，φf、φm、φr分别为由于车架柔性变形产生的前轴、中轴、后轴的轴转角。

根据y轴方向力平衡和绕z轴力矩平衡，综合式（2）～式（4）可得类菱形车柔性二自由度运动微分方程：

式中，m为整车质量；Iz为绕重心z轴的转动惯量。

整理得

当各个车轴的轴转向角φf、φm、φr为零时，得到类菱形车刚性二自由度模型：

2 各车轴处车架转角的计算

这里将类菱形车简化为具有三点支撑的连续梁，如图2所示，这是一个超静定结构，支座处的弯矩和转角可用三弯矩方程来求解［10］。如图2所示，设支座A2处的弯矩为M2，根据三弯矩方程有

式中，a、b分别为前轴、后轴到中轴的距离；ay为车轴处的侧向加速度。

图2 三点支撑连续梁

由式（7）可得

知道了支座A2处的弯矩M2，根据材料力学的知识即可求得各车轴处的车架转角分别为

式中，E为材料的弹性模量；I为截面的惯性矩。

将式（8）和式（9）联合起来并整理为矩阵形式，可得车轴处的车架转角φ与侧向加速度ay的关系为

式（10）表明类菱形车车轴处的轴转向角与侧向加速度成线性关系。由式（11）可以看出，η只与类菱形车的总质量、轴距分布和车架的结构参数有关，对于某一辆类菱形车来说则为不随时间变化的常数向量。

3 柔性二自由度模型下的转向性能分析

3.1 稳态特性分析

将式（10）代入式（5），并知

整理后得到类菱形车柔性二自由度方程为

对于等速圆周行驶的稳态响应，ω·R＝0，v·y＝0，有

取δr＝Nδf（N为后轮与前轮转角比），继而能得到稳态横摆角速度增益（也称转向灵敏度）：

对式（6）取ω·R＝0，v·y＝0，δr＝Nδf，得到类菱形车刚性二自由度模型下的转向灵敏度：

对比Lf和L′可以看出，类菱形车柔性二自由度模型下的当量轴距Lf与刚性二自由度模型下的当量轴距L′相同，这表明车架的柔性变形不会改变类菱形车的车轮纵向距离，这也和假设（1）是相符的。但是柔性二自由度模型下的稳定性因素Kf与刚性二自由度模型下的稳定性因素K相对发生了变化。

3.2 角阶跃输入下的瞬态响应

由式（12）、式（13）可推导出

式（17）写成如下以横摆角速度ωR为变量的形式：

式（18）是单自由度一般强迫振动微分方程式，通常写作

式中，ωf0称为固有圆频率；ζf称为阻尼比。

对式（6）进行同样的变换，得到类菱形车刚性二自由度模型下的以横摆角速度ωR为变量的形式：

式（20）是单自由度一般强迫振动微分方程式，通常写作

式中，ω0称为固有圆频率；ζ称为阻尼比。

对式（19）和式（21）进行求解，并给转向盘一37°的阶跃输入，得到在30m／s车速下的柔性二自由度模型和刚性二自由度模型下的横摆角速度时域响应曲线对比图，如图3所示。其中车轮侧偏刚度的计算方法参照文献［11］，进行仿真的部分参数见表1。由于实际中，车架的柔性变形产生的轴转向角度很小，无法在稳态响应曲线和频率响应曲线上明显显示出来，这里对类菱形车绕z轴的惯性矩进行了放大，以得到柔性二自由度模型和刚性二自由度模型下的区别，从理论上分析由于车架的柔性变形给类菱形车瞬态响应带来的影响。

图3 横摆角速度时域响应对比图

表1 仿真部分参数

从图3可以看出：柔性二自由度模型下的横摆角速度同样收敛于稳态横摆角速度，但是柔性模型下的稳态横摆角速度小于刚性模型下的稳态横摆角速度，这是由于车架的柔性变形造成了转向轮的侧偏角比刚性模型下的要小的缘故；柔性模型下的横摆角速度收敛的时间比刚性模型下稍长，峰值较凸出，这是由于车架的柔性变形降低了类菱形车的稳定性。

3.3 横摆角速度频率响应特性

在汽车的操纵稳定性中，常以转向轮转角或转向盘转角为输入，汽车横摆角速度为输出的汽车横摆角速度频率响应特性来表征汽车的动特性。同样，对类菱形车的横摆角速度频率响应特性进行分析，以了解类菱形车的动特性。

对式（21）进行Fourier变化，并设置初始条件为零，有

这样横摆角速度增益的幅频特性A（ω）和相频特性Φ（ω）为

而对于柔性二自由度模型下的幅频特性和相频特性与刚性二自由度模型不同的是用ωf0代替ω0，ζf代替ζ，Bf1代替B1，Bf0代替B0。

采用3．2节中相同的参数，并设置初始条件为零，得到车辆在30m／s时柔性模型下和刚性模型下的横摆角速度幅频特性曲线和相频特性曲线如图4所示。

图4 横摆角速度频率响应特性对比曲线

从横摆角速度频率特性上评判汽车操纵稳定性的5个参数来看：柔性模型下的频率为零时的幅值比刚性模型下大；柔性模型下的共振峰频率比刚性模型下的小；柔性模型下的共振时的增幅比要比刚性模型下的小；f＝0．1Hz时柔性模型下的相位滞后角比刚性模型下的大；f＝0．6Hz时柔性模型下的相位滞后角也比刚性模型下的大。由此可以看出，除了共振时的增幅比柔性模型好于刚性模型外，其他的4个参数都是刚性模型优于柔性模型。幅频特性反应了驾驶员以不同频率输入指令时，汽车执行驾驶员指令失真的程度，而相频特性反应了汽车横摆角速度滞后于转向盘转角的失真程度。通过上面的分析，表明了在实际的车辆中，由于车架的柔性变形影响了车辆的灵活性，也影响了车辆对驾驶员操纵指令的执行。

4 结束语

通过对类菱形车柔性二自由度转向模型的分析，建立了类菱形车柔性二自由度动力学模型，模型中考虑了车架的柔性变形产生轴转向的转角对整车动力学特性的影响。将类菱形车简化为三点支承的连续梁，采用三弯矩方程分析了轴转向的转角与侧向加速度的关系。通过类菱形车柔性二自由度动力学模型与刚性二自由度动力学模型的对比分析，得到了车架的柔性变形影响了类菱形车的稳定性，降低了类菱形车的灵活性以及车辆对驾驶员操纵指令的执行能力。

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