基于逐点比较法的渐开线插补方法

郭方圣，魏修亭

(山东理工大学精密制造与特种加工省级重点实验室，山东 淄博 255049)

0 引言

渐开线齿轮是常用的机械零件，在其轮廓曲线的加工与测量过程中，都需要通过插补原理形成渐开线，以便通过数控的方法完成齿廓的加工与测量。本文即是在万能式齿轮测量机的改造过程中，根据齿轮测量时测头控制系统形成渐开线的需要，而提出的一种渐开线的插补方法。

目前，常用的数控插补方法有逐点比较法、数字积分法、比较积分法和数据采样法，其中比较积分法主要适用于直线以及圆、椭圆、双曲线等二次曲线的插补。在渐开线插补方面，文献［1-6］基于数字积分法、数据采样法等方法介绍了渐开线的各种插补方法，国外的文章则少有介绍。

在基于逐点比较法的基础上并结合其它的相关数控插补理论［7-8］提出了一种渐开线的插补方法。由于渐开线的坐标方程一般都是由参数方程的方式表示出来，在已知渐开线上某点坐标反求角度难度较大，采用本方法避免了反求角度的问题，因此使用本方法可以减少计算难度与计算量。

1 插补原理

逐点比较法的插补原理［9-10］，是被控对象在按照规定的轨迹运动时，每走一步与规定的轨迹进行一次比较，然后根据比较结果决定下一步的进给方向。但是由于渐开线的表达式一般都是以角度作为参数的参数方程的形式给出，要实现逐点比较需根据已知点值再求角度，计算量以及计算难度都比较大。本文所采用的方法是先将渐开线上两点用直线连接，再求出这两点的切线，然后再求出这两点的连线与这两点的切线的夹角的角平分线，以及两条角平分线的交点。以渐开线上这两点以及角平分线的交点的连线代替渐开线进行插补，可以比较容易的实现逐点比较的功能，并且能够减少计算量计算难度。

已知渐开线上点:

式中，xi——直角坐标系中渐开线上x轴坐标值;

yi——直角坐标系中渐开线上y轴坐标值;

r——渐开线基圆半径;

θi——渐开线上对应(xi，yi)点是渐开线的展角值。

那么可以通过求导获得渐开线上点(xi，yi)的切线的斜率ki的值:

同样的渐开线上另一点:

式中，xi+1——直角坐标系中渐开线上x轴坐标值;

yi+1——直角坐标系中渐开线上y轴坐标值;

r——渐开线基圆半径;

θi+1——渐开线上对应(xi+1，yi+1)点是渐开线的展角值;

Δθ——从 θi到 θi+1的展角变化量。

那么渐开线上点(xi+1，yi+1)的切线的斜率ki+1的值:

因此就可以通过斜率 ki，ki+1以及点(xi，yi)，(xi+1，yi+1)求得渐开线上相应点的切线 li，li+1。

渐开线上点(xi，yi)的切线方程li的表达式为:

渐开线上点(xi+1，yi+1)的切线方程li+1的表达式为:

连接渐开线上相邻两点(xi，yi)，(xi+1，yi+1)的直线lli的斜率kli等于:

因此连线lli的方程为:

根据连线lli的斜率kli可以求得直线lli与x轴正方向的夹角φi:

这样可以求得连接渐开线上相邻两点的直线lli分别与渐开线上(xi，yi)点的切线 lli以及(xi+1，yi+1)点的切线li+1的夹角γid和γiu。

这样直线lli分别与渐开线上(xi，yi)点的切线li的夹角γid为:

直线lli分别与渐开线上(xi+1，yi+1)点的切线li+1的夹角γiu为:

求直线lli与(xi，yi)点的切线的夹角的角平分线与x轴正方向的夹角是:

对应的斜率:

类似的直线lli与(xi+1，yi+1)点的切线的夹角的角平分线与x轴正方向的夹角是:

对应的斜率:

因此可以求得直线lli与(xi，yi)点的切线的角平分线 lαi的直线方程是:

同样也可以求得直线lli与(xi+1，yi+1)点的切线的角平分线lβi的直线方程是:

根据方程 lαi与方程 lβi可以求出直线 lαi与直线 lβi相交于点(xim，yim)，这样点(xi，yi)、(xim，yim)与(xi+1，yi+1)连线进行插补。

下面图1是渐开线上各点、线之间的位置关系图。

图1 渐开线插补各直线之间的位置关系

在从点(xi，yi)到点(xi+1，yi+1)之间进行插补，设(xt，yt)为插补点。首先，插补点在从点(xi，yi)到点(xim，yim)之间进行插补，与直线 lαi作比较，此段为插补完成依然在这段直线之间进行插补，如果在此段直线之间插补完成则进行下一段的插补，下一段插补与直线lβi进行比较。

1.1.1 插补从点(xi，yi)到点(xim，yim)之间

当插补点在直线上(包括在直线上)时

保持y坐标不变，x坐标加上相应的进给量，即:

x向右。

其中Δl为单位脉冲进给当量。

当插补点在直线下时:

保持x坐标不变，y坐标加上相应的进给量，即:

y向上。

令:

根据上面的分析可知如果插补点在直线上(包括在直线上)Ft≥0:

新得到的点的偏差值Ft+1:

化简后即得到:

类似的若插补点在直线下方，可得到新的插补点的偏差值Ft+1:

由此可见新得到的点的偏差值Ft+1完全可以从前一点的偏差值Ft递推出来，根据偏差判别函数来确定下一步的插补进给方向。

1.1.2 插补从点(xim，yim)到点(xi+1，yi+1)之间

同1.1.1，可以推出在从点到(xim，yim)点(xi+1，yi+1)之间的插补关系，偏差判别函数Ft为:

如果插补点在直线上(包括在直线上)时:

在直线下时:

1.2 其它情况插补

表1 渐开线插补的进给与偏差计算

2 误差分析

图2是本方法的误差分析图，由图可知每段产生插补误差最大的点，最可能发生在渐开线上切线平行于角平分线的点或者是两条角平分线的交点处，在不考虑脉冲增量所引起的误差的情况下下面分别求出以下三点的误差。

图2 插补误差分析图

2.1 下角平分线误差

下角平分线的方程式为:

根据上式以及图2可以求得渐开线上点(xα，yα)即是下角平分线插补误差最大的点，根据点到直线的距离公式可以得到此段插补误差最大值dα为:

2.2 上角平分线误差

类似的可以得到上角平分线插补误差最大值dβ为:

2.3 交点误差

如果上下两条角平分线的交点坐标设为(xj，yj)，那么交点误差dj可以求得:

其中 θ∈［θi，θi+1］通过计算比较可知 dβ＞ dα＞ dj，并且当Δθ减小是误差减小，在Δθ固定时时 dβ、dα误差随着θ的增大，因此可以通过调节Δθ的大小来调整误差值的大小，并且只要最后一点满足要求即可。

表2Δθ为时各段误差

表2Δθ为时各段误差

表3Δθ为时各段误差

表3Δθ为时各段误差

根据表2和表3也可以知道补偿误差随着Δθ以及θ的增加而变大，因此只要控制Δθ使θ在最大值是插补误差满足要求即可满足插补的要求。

3 插补算法

根据渐开线插补原理做出渐开线插补算法流程图，图3是渐开线的插补算法流程图。

图3 插补算法流程图

4 算法实现

4.1 模拟插补效果图

图4是根据本文提出的方法采用matlab编程实现的渐开线插补效果图，其中图a是时的插补效果图，图b是时的插补效果图，图c是时的插补效果图。

根据图4a可以看到当Δθ固定时，随着θ的增大插补误差也增大，因此只要使θ在最大值时的误差达到精度要求，其它位置都可以达到精度要求。对比图a、b和图c可以看出Δθ越小插补线与理论渐开线的吻合度越高，由图c可以看出当(1°)时，插补线与理论渐开线几乎完全吻合。

4.2 插补程序

5 结束语

本文提出了一种新的渐开线的插补方法，通过公式理论推导以及误差分析，并用matlab编程实现插补运算，其插补轨迹与理论渐开线吻合度好，可以实现插补误差的控制，满足精度要求。同时该方法调节方便，可以方便的移植到计算能力较强的数控装置如渐开线齿轮加工以及测量设备当中，对减少产品开发时间、降低成本具有重要意义。

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