基于不确定性均值-方差模型的稳健静态资产组合选择

何朝林，孟卫东

（1.安徽工程大学 管理工程学院，安徽 芜湖 241000；2.重庆大学 经济与工商管理学院，重庆 400044）

0 引言

模型不确定性问题是社会经济系统中模型的基本特征，尤其在我国这样一个新兴的证券市场上，更是一个普遍存在的现象。资产组合选择问题往往基于风险资产的历史数据或信息统计推断描述风险资产价格特征的模型或概率分布，并估计模型或概率分布的相关参数，预测其未来趋势，从而制定投资决策，解释风险资产价格行为、洞悉证券市场规律。这里存在两个问题：从客观上讲，基于风险资产的历史数据或信息统计推断的预测模型或概率分布是否与未来真实模型或概率分布一致，即使一致，由于忽略未来数据或信息，基于历史数据或信息而估计的参数是否与未来的真实值一致；从主观上讲，Ellsberg(1961)研究指出，个体投资者的信念无法用单一的模型或概率分布来表示，并发现其在决策时表现出不确定性规避行为[1]。无论是客观还是主观都说明个体投资者对描述经济状态的模型或概率分布状况具有不完全信息的事实，不完全信息结果的表现之一就是模型或概率分布的参数不确定性问题。因此，研究参数不确定性下的资产组合选择问题具有必要性和现实性。

纵观目前的研究，文献[4,6,7]研究了模型中所有参数不确定下的资产组合选择问题，但他们是在动态的情景下，而且是运用贝叶斯分析框架；文献[2,3,5,8]虽然基于极大极小理论，但主要研究了期望收益不确定下的资产组合选择问题。鉴于此，本文拟用相对熵控制预测分布中参数的不确定性对资产组合终期财富期望效用的影响，基于极大极小理论建立均值-方差稳健静态资产组合模型，运用稳健控制方法获得模型的最优解，并以上证综指的收益数据为样本进行实证，以对比的形式研究单参数和多参数不确定性下的稳健静态资产组合选择问题。

1 均值-方差静态资产组合模型及问题的提出

投资者可投资两种资产，一种为无风险资产，其收益率固定，设为r；另一种为风险资产，其连续复合收益率是一随机变量，设为 u，假设其服从正态分布，即 F0(u)～N(u,σ2)。 投资者的初始财富为W0，W0≠0，投资于风险资产和无风险资产的比例分别为W，1-W，那么，自融资模式下终期时刻T时的资产组合财富WT为：

投资者资产组合决策的目标是，基于均值-方差模型，在资产组合终期财富约束下，选择最优控制变量w，使资产组合终期财富期望效用最大。因此，投资者最优静态资产组合的均值-方差模型为：

其中，λ为投资者的风险偏好，假设投资者是风险规避型的，即λ∈(0，+∞)，其值越大，表明投资者的风险规避程度越高。

根据模型式（2），将约束函数代入目标函数，由一阶条件获得资产组合的最优解w为：

由式（3）知，对特定的投资者而言，其最优资产组合中风险资产的比例取决于描述风险资产收益统计特征的两个参数，即均值和方差。在实践中，人们往往应用所获得的风险资产价格历史数据或信息估计并预测上述两个参数，进而制定投资决策。这里存在两个问题：第一，基于历史数据或信息统计推断随机变量的预测分布可能与其真实分布之间存在偏差；第二，即使预测分布是真实的，即上述偏差不存在，但由于投资的收益发生在未来，而决策是基于某个特定时刻所获得的历史数据或信息而制定的，这就或略了未来证券市场提供的数据或信息的作用，导致用于决策的参数值与其未来真实值之间存在偏差。因此，无论哪种情形都说明决定特定投资者的投资决策的参数存在不确定性，风险规避型投资者必须对其进行规避，特别是偏差的发生使投资者处于不利状况。接下来，本文用相对熵测度上述参数不确定性对资产组合终期财富期望效用的影响，基于极大极小理论，运用稳健控制方法讨论参数不确定性下的稳健静态资产组合选择问题。

2 均值单参数不确定下的稳健静态资产组合

这里假定投资者对风险资产收益率预测分布中的收益率方差完全信任，即与真实值完全一致；但认为收益率的均值存在不确定性，与其真实值之间存在偏差，假定用θ,θ∈(-∞,∞)表示，即其真实均值为u-θ。那么，风险资产收益率的预测分布为 F0(u)～N(u,σ2)，真实分布为 Fθ(u)～N(u-θ，σ2)。

鉴于相对熵主要用以衡量两个概率测度之间的相对距离，具有可加性、凸性和非负性等性质，本文用相对熵测度风险资产期望收益的不确定性对投资者终期财富期望效用的影响。因此，在模型式（2）的基础上，参照Hansen etal(2006)的研究结论[9]，均值单参数不确定下的稳健静态资产组合的均值-方差模型为：

其中，Eθ(·)是概率分布为 Fθ（u）时的期望；φ，φ＞0 是投资者的不确定性偏好，随着φ增大，投资者认为参数（这里指均值）不确定的可能性越大，即偏差存在的可能性越大；I(θ)是相对熵，控制了预测分布与真实分布之间的偏离情况。因此，模型式（4）的经济含义是在资产组合终期财富约束下，最大化相对熵控制范围内对投资者最为不利概率下的终期财富期望效用；其理论依据是极大极小理论，故应用稳健控制方法求解。

由式（4）的约束条件得：Eθ(WT)=W0[w(u-θ-r)]，Var(WT)=W0w2σ2。为求解模型，必须获得相对熵，因相对熵表示真实分布Fθ(u)与预测分布F0(u)之间的相对距离，因此相对熵可表示为：

根据上文风险资产收益率服从正态分布的假设，由式（5）计算相对熵：

将 Eθ(WT)=W0[w(u-θ-r)+1+r]，Var(WT)=W0w2σ2，I（θ）=θ22σ2代入模型式式（4）的目标函数，由极小化目标的一阶条件获得：

将式（6）代入模型式（4）的目标函数，由极大化目标的一阶条件获得均值参数不确定下稳健静态资产组合的最优解w为：

式（7）和式（3）对比可以发现，相对于风险资产收益率的均值确定的情况，当均值存在不确定的可能性下，投资者将降低资产组合中风险资产的投资，而且随着其不确定性偏好程度的增加，投资者会进一步降低风险资产的投资；若投资者完全不相信预测分布下的均值参数值，即φ→∞，则w→0，其趋向于将全部资产投资于无风险资产，若投资者完全相信预测分布下的均值参数值，即φ→0，则式（7）逐渐等价于式（3）；式（7）和式（3）的分母表达式从一定程度上说明，投资者对预测分布中均值参数的不确定性偏好的增加类似于其风险规避程度提高。

3 均值、方差两参数皆不确定下的稳健静态资产组合

下面放松上述关于投资者完全信任风险资产收益率预测分布中方差的假设，讨论风险资产收益率预测分布的均值和方差皆不确定下的稳健静态资产组合选择问题。这里，仍用θ,θ∈(-∞,∞)表示预测的均值和真实均值之间的偏差，同时用σ^2

表示真实的方差，那么风险资产收益率的预测分布为真实分布为同时，用相对熵 I控制预测分布与真实分布之间的偏离。同理，均值、方差两参数皆不确定下的稳健静态资产组合的均值-方差模型为：

其中，Eθ（·），Varσ^2（·）分别是概率分布为 Fθ（u）时的期望和方差，其它参数含义同上。

参照上述式（5）关于相对熵的求解，由式（9）可解得：

将式（11）代入模型式（8）的目标函数，由极大化目标的一阶条件获得：

由式（12）获得均值、方差两参数皆不确定下的稳健静态资产组合的最优解为：

虽然式（11）和式（6）中关于θ的表达式上一致，但并不代表均值单参数和均值、方差双参数不确定下均值的偏差是一样；只有投资者对参数的不确定性偏好和资产组合风险资产的比例在两种情况下相同时，均值的偏差才一样。

由式（12），通过等式变形得：

式 （12）表明w≠0，结合式 （11）的第二个等式得0＜λφσ2w2＜1，由式（14）得：

不等式（15）中分式的分母和分子必须同号，根据相关参数的取值范围可推知它们同为负号，故而由分式的分子解得：

对比式（16）和式（7）可以发现，在风险资产收益率的预测分布的参数存在不确定性的情况下，与均值单参数不确定性相比，如果投资者同时认为方差参数也存在不确定性时，其将进一步降低资产组合中的风险资产头寸。

4 实证研究

4.1 研究样本

风险资产以上证综指为代表，其每月第一个交易日的收盘指数为其当月月初价格，价格序列记为：{P1,P2,…PN，…}，则其连续复合月收益率为 un,un=ln(Pn+1/Pn)，n=1，2，…，N。 为便于比较，研究样本取两个：一个为上证综指1997年1月至2009年6月的月度连续复合收益率，样本容量为150，简称样本1；另一个为上证综指2002年1月至2009年6月的月度连续复合收益率，样本容量为90，简称样本2。原始数据为上证综指1997年1月至2009年7月的每月第一个交易日的收盘指数，数据由分析家软件（2006V6.0）提供。因此，在上证综指连续复合月收益率服从正态分布的假设下 （何朝林（2007）从实证角度说明这一假设具有一定的合理性[10]），基于样本 1 的预测分布为：F0（u）～N(0.0069，0.0096)；基于样本2 的预测分布为：F0(u)～N(0.0079，0.0078)。1999 年以来上海证券市场的走势逐渐强于深圳证券市场，2000年9月16日起深圳证券交易所停止发行新股，直至2004年6月获准成立中小企业版才重新发行新股。因此，本文选择上海证券市场代表中国股票市场。中国股票市场在1997年前处于初始发展状态，规模小、法律和规则不健全。张兵和李晓明(2003)认为以1997年为界研究中国股市，可以更细致准确地理解和说明中国股市总体运动规律，将得到更符合实际的结论，可避免量化分析中样本区间和数据选择缺乏依据和一致性[11]。因此，本文选择上证综指1997年后的数据。

无风险资产取2009年一年期银行定期存款，其年利率为2.25%，折算成连续复合月收益率为 (ln(1+0.0225))/12=0.0019，故 r=0.0019。

4.2 实证结果

基于研究样本，结合式（3）、式（7）和式（13）在不同风险规避程度和不确定性偏好下分别量化参数确定、均值参数不确定、均值和方差参数皆不确定下的静态资产组合选择结果，见表 1。 其中，w1，w2，w3分别代表预测分布中参数确定、均值单参数不确定和均值与方差皆不确定下资产组合中的风险资产比例；Δ21，Δ32分别代表均值参数和方差参数不确定性对资产组合中风险资产投资的影响。

4.3 结果分析与经济解释

（1）从表 1中 w1,w2,w3的值可知，在 λ，φ 一定时，预测分布的参数存在不确定时，投资者将降低风险资产的投资，而且相对于均值单参数不确定的情况，均值和方差同时存在不确定时，其降低的程度更大；在λ一定下，随着φ的增大，投资者进一步降低风险资产的投资。这说明风险资产收益预测分布中的参数不确定性使得投资者降低风险资产投资，投资者的不确定性偏好程度越大，其降低的程度越大。这一结果与股票市场的投资实际是一致的，当市场走势不明显时，投资者认为描述股票价格特征的预测分布或模型的可靠性降低，存在不确定的情况，其将减少股票投资；当市场走势变得混乱，不明显情况加剧，预测分布或模型的预测更加不可靠，此时投资者的不确定性偏好程度加大，即φ增大，其将进一步降低股票投资，甚至撤出股市；当市场走势得到一致认可时，投资者几乎不怀疑预测分布或模型的预测功能，故而决策越来越接近预测分布或模型中参数确定的情况。

表1 静态资产组合中风险资产的比例 （单位：%）

（2）从表 1 中 Δ21，Δ32的值可知，在 λ，φ 一定时，均值参数不确定性导致投资者降低风险资产投资比例的程度强于方差参数不确定性下的情况，这说明风险资产收益的正态预测分布中的均值参数不确定性对资产组合的影响强于方差参数不确定性。这与Merton(1980)、Blanchard(1993)得研究结论一致，即股票收益一阶矩的预测要远远困难于二阶矩[12,13]；同时，孟卫东和何朝林（2007a,2007b）从一阶矩和二阶矩的方差角度也进行了阐述[6,7]。这反映的投资实践是，对特定风险规避型投资者而言，即使其存在对预测分布或模型的不确定性偏好，但其认为相对于股票的均值来说，方差的预测更为准确。

（3）从表 1中基于样本 1和样本 2的 Δ21，Δ32值的对比可知，在λ，φ一定时，无论均值还是方差，它们的不确定性对资产组合的影响是样本2强于样本1，同时我们知道样本2所含历史数据少于样本1，这说明信息量越少，统计推断的预测分布中的参数不确定性可能性越大，对资产组合的影响越强。这一结论实质上归结于估计风险问题，实践中，人们只能运用既得的数据或信息统计推断预测分布或模型，进而估计它们的相关参数，这时的估计存在估计风险，而且基于的历史数据或信息越少，估计风险就越大，因而对投资决策的影响就越大，从而说明了信息量越少，参数不确定性越高，对资产组合的影响越强。

（4）从表1可知，在φ一定下，λ越大，资产组合中风险资产的比例越小；在λ一定下，φ越大，资产组合中风险资产的比例越小。这在一定程度上说明投资者的风险规避程度和不确定性偏好程度具有等价性。这归结于参数不确定性在某种程度上以估计风险的形式表现，因而参数不确定性也是一种风险，对资产组合影响的特征类似于风险规避程度提高。

5 结束语

本文基于均值-方差模型研究了风险资产收益预测分布中的均值和方差两参数的不确定性对稳健静态资产组合的影响。借助相对熵测度风险资产收益的一阶矩和前两阶矩的不确定性对资产组合终期财富期望效用的影响，运用稳健控制方法获得稳健资产组合模型的最优解；根据最优解，以上证综指1997年1月至2009年6月的两个不同区间段的收益数据为样本做实证研究。结果表明，参数不确定性导致资产组合中风险资产的比例降低，并随着投资者不确定偏好程度增加降低得越多；历史数据或信息越少，参数不确定性影响越强；均值不确定性的影响强于方差不确定性的影响；即使投资者完全不相信方差的预测功能，但仍在一定程度上相信均值的预测功能。

本文与现有研究，特别是孟卫东和何朝林(2007a,2007b)，形成互补。不足之处是如何研究动态均值-方差模型下的稳健动态资产组合选择问题。

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