数学系师范生函数教学知识的调查研究

孙颉刚，黄兴丰

（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

一、问题提出

教师的学科教学知识（PedagogicalContent Knowledge，简称PCK）是近年来教师教育研究的一个热点问题。“PCK就是教师开展教学活动时所具有的独特知识，这种知识是教学内容与教学法的有机融合，用以说明教师如何选择特有的课题（问题或专题等）组织教学，以适应学习者多种多样的学习兴趣与学习能力[1]。”

数学教学知识（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，简称MPCK）是关于特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解的知识。可以说，MPCK是数学教师特有的、影响其专业成长的关键因素[2]。

对于数学教师来说，并非只要具备充足的数学知识就能成为一位好的数学教师，还需要具有良好的数学教学知识[2]。但是中国的师范教育过于强调学科专业知识的培养而弱化了学科教学知识的培养[3]。而且大学教师仍大多使用讲授法，缺少对师范生学习过程的细致研究[3]。

美国Michigan大学的Ball研究小组把学科教学知识界定为三个方面：内容和学生的知识（Knowledge of Content and Student，简称 KCS）、内容和教学的知识（Knowledge of Content and Teaching，简称KCT）以及课程的知识（Knowledge of Content and Curriculum，简称KCC）。对数学学科而言，KCS是指关于学生和数学这两方面的知识交叉组织在一起而形成的一种实践性知识。比如，估计学生在学习中可能遇到的困难，考虑学生对例题习题的适应性等。这些任务不但需要理解具体的数学内容，而且还要理解学生以及他们的数学思维方式。KCT则是结合了关于数学和教学这两方面的知识而形成的实践性知识。比如，教师如何安排数学内容的顺序，如何设计课堂引入等，所有这些任务不但需要教师理解具体的数学内容，而且也需要他们理解教学的原理，并同时把这两种知识运用到具体的教学任务中去[4]。

本研究试图以中学数学的核心内容——函数作为一个焦点，从教与学两方面调查目前数学系师范生函数教学知识的状况，并试图解释所得结论的原因，为师范教育的改革提供一些有益的建议。

二、研究方法

（一）调查问卷的设计

在本研究中，问卷测试题的编制分成KCS和KCT两个维度。由于师范生缺乏教学实践，对KCC没有全面的了解，因此本研究仅调查师范生的KCS以及KCT。函数知识又分成三个部分，即概念表征、图像性质以及复合函数与反函数[5-6]。我们考虑到收集和统计数据的简易性，编制了单项选择测试题。

为了提高问卷的效度，编写完成调查问卷后，我们将调查问卷以电子邮件的形式发送给6名专家，包括1名大学数学教师（博士生），2名数学教育方向的博士生，1名中学数学特级教师以及2名中学高级教师（硕士），经过3次讨论，确定最后问卷。

（二）测试题的赋值

对于有四个选项的单项选择题，将答题情况分为4个等级，分别赋值：4分，3分，2分，1分。例如，调查问卷KCS第6题：

在下列图像中，学生最有可能认为哪个不是函数图像？（只能选择其中一项，打“√”）

研究表明，学生常认为函数曲线是光滑的[7]。在四个选项中，选项B中的函数不可导，有一个尖点，学生最可能选B作为答案，我们将B赋值为4分。对于选项A中的曲线，由于有一个非极值点的驻点，学生在平时的学习中很少遇到，因此我们将A赋值为3分。对于选项D中的曲线，是单调、光滑的，学生选择它的可能性不大，我们将D赋值为2分。而对于选项C中的曲线，是学生熟悉的抛物线，他们最不可能选择C，我们将C赋值为1分。

对于有三个选项的单项选择题，将答题情况分为3个等级，分别赋值3分，2分，1分。例如，调查问卷KCS第16题：在刚学完反函数的概念之后，如果让学生求f(x)=x-1,x∈[1,5]的反函数，你认为学生最有可能出现的错误是哪个？（只能选择其中一项，打“√”）

用原函数的值域来表示它反函数的定义域是教学的难点。对于选项C，学生所得反函数的定义域写成了原函数的定义域，是学生最可能出现的错误，我们将C赋值为3分。对于选项B，学生误认为f-1(x)=x+1中的x的取值范围为原函数x的取值范围，后将反函数的定义域误认为是反函数的值域，学生也经常会犯这种错误，我们将B赋值为2分。学生相对很少出现A中的错误，我们将A赋值为1分。

对问卷测试题赋值后，问卷满分为127分，问卷KCS一共60分，问卷KCT一共57分。为了统计分析的方便，将问卷的实际得分换算成百分制再分析。

（三）研究对象

本研究选取教育部某直属师范大学数学系三年级139名师范生作为被试。所有被试尚未开始教育实习，但是几乎修完了大学本科阶段的主要课程。本次调查采用不记名形式进行测试。测试日期为2010年12月，测试时间为1个小时。发出问卷139份，实际回收有效问卷139份。回收调查问卷后，对有效问卷进行统计，Excel录入，并用SPSS17.0进行分析。

三、研究结果

（一）师范生关于函数的数学教学知识（MPCK）

经过统计分析，最高分为99分，最低分为70分，平均分为88.55分（保留两位小数），方差为5.45分，如果将得分换算成百分制，则有60%左右的师范生得分在70-75分之间。问卷每个部分的得分见表1。

利用SPSS对他们的KCS与KCT进行两两“配对样本T检验”，其结果见表2。

从表2可看出，师范生的KCS和KCT存在显著差异（p＜0.001），且KCS的平均分高于KCT的平均分（见表1）。这说明师范生的KCS水平比KCT水平高，并且主要表现在概念表征以及复合函数与反函数上。

从得分情况来看，经过三年的专业课程学习，师范生的函数教学知识已经有了一定的发展。该结果和陈鑫的研究一致，即表明数学教育课程是数学系师范生MPCK的重要来源之一[8]。许多研究表明，无论是师范生还是教师，MPCK的另一个重要来源是教学实践的经验。陈鑫认为，教育见习、实习是师范生MPCK的重要来源。范良火认为，数学教师的MPCK主要来自“自身的教学经验和反思”及“和同事的日常交流”[9]。可见，师范教育中的教育实习应当是促进师范生发展MPCK的又一重要环节。

然而与西方发达国家相比，我国师范生教育实习的时间相对较短[10]。因此，师范院校应适当增加师范生教育实习时间，加强教育实习环节的改革和研究。

（二）师范生函数与学生知识（KCS）的分析

问卷的第一部分主要调查师范生的KCS状况。师范生的KCS得分情况见表1。利用SPSS将概念表征、图像性质、复合函数与反函数的KCS进行两两“配对样本T检验”，其结果见表3。

从表3可以看出，师范生概念表征、复合函数与反函数的KCS之间不存在显著差异（p＞0.05），而师范生图像性质和概念表征的KCS之间存在显著差异（p＜0.05），图像性质和复合函数与反函数的KCS之间也存在显著差异（p＜0.001）。同时，我们发现师范生图像性质的KCS平均分最低（见表1）。

已有的研究表明，师范生关于图像性质的学科知识明显高于概念表征、复合函数与反函数的学科知识[5]。但是，在本研究中，我们发现师范生图像性质的KCS水平却低于概念表征、复合函数与反函数的KCS。一方面，这说明学科知识与学科教学知识并不是完全对等的，正如我们常常看到数学好的人并不一定能教好数学。另一方面，正因为师范生在概念表征、复合函数与反函数上的学科知识相对薄弱，因此他们在自身的学习中常会碰到困难，这反而加深了他们对此学习过程的印象，促进了他们对概念误解的反思，发展了KCS水平。

（三）师范生函数与教学知识（KCT）的分析

问卷的第二部分主要调查师范生的KCT状况。这部分的得分情况见表1。利用SPSS对概念表征、图像性质、复合函数与反函数的KCT进行两两“配对样本T检验”，所得结果见表4。

表1 师范生MPCK得分情况①注：由于问卷各部分得分不一样，这里采用将得分换成百分制来统一计算，便于分析，下同。

表2 师范生KCS和KCT各部分两两对比分析

由表4可知，师范生的概念表征、图像性质、复合函数与反函数的KCT两两之间都存在显著差异（p＜0.05），师范生在这三个方面的平均分从高到低依次为图像性质、概念表征、复合函数与反函数（见表1）。也即，师范生图像性质的KCT水平最高，其次是概念表征，而复合函数与反函数的KCT水平最低。

在上文我们提到，由于概念表征、复合函数与反函数是比较抽象的概念，师范生在概念表征、复合函数与反函数的学科知识水平相对较低[5]，这可能直接影响导致了他们KCT水平的降低。复合函数与反函数，是函数概念的深化，比函数概念更抽象，更难理解，再加上数学课程标准已经降低了复合函数与反函数的要求，因此师范生在复合函数与反函数的KCT表现得最低也是合理的。另一方面，图像性质的教学具有直观性，对师范生而言也显得略微容易把握，因此他们的KCT水平表现得高些，也是合理的。

表3 师范生概念表征、图像性质、复合函数与反函数的KCS的两两对比分析

表4 师范生概念表征、图像性质、复合函数与反函数的KCT的两两对比分析

四、结 论

从总体上来看：（1）师范生的KCT水平比KCS水平低，主要表现在概念表征、复合函数与反函数这两个方面。（2）在KCS领域内，师范生关于图像性质的KCS水平低于其他两个成分上的水平。（3）在KCT领域内，师范生的概念表征、图像性质、复合函数与反函数的KCT水平存在着显著差异。

[1]黄毅英，许世红.数学教学内容知识——结构特征与研发举例[J].数学教育学报，2009，18（1）：5-9.

[2]童莉.数学教师专业发展的新视角——数学教学内容知识（MPCK）[J].数学教育学报，2010，19（2）：23-27.

[3]王建磐.中国数学教育：传统与现实[M].南京：江苏教育出版社，2009：201-201.

[4]黄兴丰.介绍Ball研究小组“数学教学需要的学科知识”之研究[J].台湾数学教师电子期刊，2009，（18）：32-49.

[5]黄兴丰，李士锜，龚玲梅，等.职前中学数学教师的数学知识：以函数为例[J].数学通报，2009，（增刊）：124-131.

[6]黄兴丰，龚玲梅，汤炳兴.职前后中学数学教师学科知识的比较研究[J].数学教育学报，2010，19（6）：46-49.

[7]Vinner S.Concept definition，concept image and the notion of function[J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology，1983，14（3）：293-305.

[8]陈鑫.准教师数学教学知识的调查研究——以东北师范大学为个案[D].长春：东北师范大学，2010.

[9]范良火.教师教学知识发展研究[M].上海：华东师范大学出版社，2003：208-214.

[10]Tatto M T，Lerman S，Novotna J.The organization of the mathematics preparation and development of teachers：a report from the ICMI Study 15[J].Journal of Mathematics Teacher education，2010，13（4）：313-324.