线性代数教学中类比启发法的研究

李上钊，廖小莲

（1.常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500；2.湖南人文科技学院 数学系，湖南 娄底 417000）

哲学是普遍的世界观和方法论，对认识世界改造世界具有重要的指导意义。哲学的方法论可以帮助我们研究数学，同时又可以帮助我们发现学数学、教数学的教育观念和教学方式。马克思主义哲学认为，事物是普遍联系的，任何事物既有个性也有共性，个性在共性中得到统一[1]。这告诉我们，数学知识是相互联系的，不同知识之间有共性，在共性中得到统一。

类比是根据两个或两类事物的一些相似属性推测另一些属性也相同或相似的思维方法。早在两千多年前，伟大的思想家和教育家孔子主张在教学过程中用类比推理方式去把握对象及其联系，“能近取譬，可谓仁之方[2]。”即强调通过以己及人的方法去理解仁.这种类比推理有利于调动学生的积极思维，帮助学生打开想象的翅膀，由此及彼，触类旁通，去认识和发现新事物.

在线性代数的教学过程中，利用类比法组织教学，向学生渗透类比思想，有利于学生理解知识产生的过程，提高学生数学应用能力，深化对概念及规律的理解，激发创新思维，勾起学生的学习兴趣，使课堂教学在师生的和谐互动中取得双方满意的效果。

一、新旧知识、相似知识的类比

采用类比启发教学法，把新旧知识、相似知识放在一起或先后讲述，让学生通过对照比较，觉察其中的联系而进行类推，得出结论，这样可以使学生举一反三、触类旁通，使陌生的知识变得熟悉，使复杂理论变得简单明了。

在讲授逆矩阵时，很多学生对为什么学习逆矩阵不太理解，由于对逆矩阵的意义不明确，影响了学生的学习兴趣和学习动力.在教学过程中，利用数字运算类比，数字有加减乘除四种运算，学生已经熟悉了矩阵加、减、乘积的运算，但如何来处理矩阵“除”的运算？在数字运算中，数“1”是一个重要的数字，具有如下运算：.在矩阵的运算中启发学生类比联想到单位矩阵“E”具有运算AE=EA=A，那么矩阵运算是否有类似于数字运算中的倒数呢？如果有这样的矩阵B，即AB=BA=E，因为矩阵不是一个数，故给矩阵B定义一个特殊的名字——逆矩阵。通过这样的类比，学生理解了学习逆矩阵的原因，理解了逆矩阵的意义和重要性，也增强了学习动机，提高了学习兴趣。

分块矩阵及其运算是初学者的难点，许多学生感到抽象和不易接受。如果在讲述其运算规则时，利用普通矩阵的运算规则进行对照类比，以此推出分块矩阵的运算规则，这样一切都会显得自然，变得通俗易懂。学生已经熟知普通矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n的乘法运算

引导学生发现运算特点，总结运算规律：（1）第一个矩阵（左矩阵）的行元素与第二个矩阵（右矩阵）的列元素相乘并求和；（2）第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，乘积才有意义。将此结论的思想类比应用到分块矩阵就得到其乘法规则：

这样可以引导学生积极思考，真正理解分块矩阵乘法规则，牢固地确立了乘法意识。

采用类比启发教学可以深入浅出地引出理论，启发学生思考，让学生开动脑筋，在类比中掌握知识，在类比中理解知识。通过上述类比，就能给学生创造一种情景。使其在该情景中体验知识产生的全过程，学生自觉地理解其中的来龙去脉，加深对知识的理解和把握，熟悉分块矩阵的运算，从而产生学习兴趣，提高学习积极性，也更能使学生产生自信，获得心理上的满足，这是学生进一步学习的内在动力。

二、采用类比启发，帮助学生建构知识体系、培养创新思维

采用类比启发教学，在教师指导下，学生主动面对问题，探索解决问题的方法，获得情感的体验，并在深化研究中获得自身的发展，帮助学生建构知识体系，培养学生的创新思维和创造能力，由此形成科研能力。

当代建构主义认为，学习是一种能动的建构过程。知识不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情景，借助他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义的建构方式获得[3]。

在线性代数教学中，运用类比的思想设计教案，创设问题情景，让学生用自己的经验去体验知识产生和发展的过程，用类比法主动去分析、探索，使学生头脑中已有知识经验与新知识相互作用，主动参与问题过程，对所面临的问题要提出各种假设并努力加以验证，边实践边探索，从探索中获得领悟，从而建构新的知识体系。

在学习矩阵方程AX=B的解理论体系时，学生感到抽象和迷茫。如果引导学生回顾一般线性方程组可以表示成向量方程Ax=b，根据学生已经熟悉的线性方程组解的理论体系，包括有解的判定定理、齐次方程解的结构、非齐次方程解的结构和消元法求解线性方程组等一系列理论，以此为出发点进行全方位的类比，引导学生探索新知识，引导学生主动参与。在教师一步一步的引导下，让学生体验得出矩阵方程有解的判定定理、解的结构等结论。学生经历了这一过程，不仅有利于实现对矩阵方程解法理论的建构，而且有利于学生从此过程中了解到解决问题的方法，获得科学的方法和解决问题的情感体验，帮助学生建构矩阵方程AX=B的解理论体系。用类比法完成了矩阵方程解理论的建构，这是知识的再创造过程，使学生进一步理解线性方程组的本质，同时通过类比实践，建构了新的知识体系。在一种轻松愉快的氛围中学生的知识得到了延展，思维得到了迁移，创造能力得到了培养。

类比是一种从特殊到特殊的逻辑思维，它跳过其中的过渡中介途径，选择了一条极为简捷的思路，而且常能出奇制胜，是萌发科学猜想和假设、探索和建构新知识的一种重要方法。类比启发教学法改变了原先的“填鸭式”、“满堂灌”的教学模式，变成了学生在教师指导下主动探索，积极建构和获取新知识的教学实践活动。教师的教学是有效的，学生的学习是主动的、富于创造性的，不仅完成了相关知识的学习，而且理解了知识的意义，体验了知识产生和发展的过程，锻炼了思维能力，提高了素质。

[1]肖前.马克思主义哲学原理[M].北京：中国人民大学出版社，1994：151-151.

[2]麦晓疑，徐秀瑛.论语[M].广州：广州出版社，2004:56-56.

[3]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬， 译.上海：上海教育出版社，1995：112-112.