ARIMA-GARCH随机收益鞅过程下幂型交换期权定价

郑晓阳，仲崇雨

(哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨150001)

随着期权市场的不断发展，期权定价问题成为金融数学的核心问题之一.1973年，美国金融学家F.Black等提出了经典的Black-Scholes期权定价模型［1］，该模型在数学上的严密性有利于计算，但其股票价格遵循几何Brown运动，且股票收益波动率为常数的假设与实际市场差别很大.大量的研究表明，股票收益的波动率是随时间变化的，因此其实际应用性受到了学者们的广泛质疑.在股票期权交易中，波动率是一个重要的因素，它是标的资产收益率的条件方差，是随时间变化的.然而波动率又不能被直接观测，这给众多金融学者的研究带来了一定的困难.但是波动率的一些特征往往能够通过资产收益率序列观察到.

1973年，D.E.P.Box等提出了自回归滑动平均模型(auto-regressive moving average mode1，ARMA)建模方法，一般可得到较满意的模型.但某些时候实际情况很复杂，很难看出运行规律从而得出序列不平稳的信息，这时可以不提取确定项，而对原序列进行差分(用原序列中的当前观测减相邻的后一个观测)消除趋势和周期，使之平稳，然后再拟合模型，此时的模型称为自回归求和移动平均模型(auto-regressive integrated moving average model， ARIMA).

1982年，Engle等提出了自回归条件异方差模型(autoregressive conditional heteroskedastic model，ARCH)［2-5］.1986年，L.Bollerslev在ARCH模型的基础上进一步提出了广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heteroskedastic model，GARCH)，它能够反映出金融市场上资产收益率的“尖峰厚尾”现象和其波动的集群现象［4］.GARCH模型由于充分考虑到了波动率的具体特征，而不仅仅停留于理想的假定状态，因而在对时间序列波动性的解释和建模上具有较强的优势，因此具有广泛的理论和实用价值［6-12］.更重要的是，GARCH模型为预测Black-Scholes期权定价模型中的波动率提供了一种行之有效的方法.

本文就是在传统的资产定价中加入漂移率和波动率的鞅表示算法，在经典的随机过程ARIMA和GARCH过程基础上联合建立了一个反映股价非线性特点的随机过程ARIMA-ARCH，利用测度变换确定资产价格，从而对奇异期权定价提高其精度.

1 金融时间信息集的确立

考虑股票价格金融时间集:

令(Ω，F，{Ft}t≥0，P)是一个过滤概率空间，其中(Ft)t≥0是一个单调不减 σ－代数信息流，假定F0={0，Ω}，令表示风险资产价格过程，简记为S(t)或St，它是F适应的.S0表示一无风险证券价格过程，在t时刻有dS0=rdt，其中r为无风险利率.

σt为t时刻的波动率:

总收益率的自然对数被称为连续复合收益率，或对数收益率:

股票价格的波动率是不可观测的，而且呈现出群集现象.因此，波动率研究的基本思想是:对数收益序列{yt}是前后不相关的或低阶前后相关的，但不是独立的.考虑给定t－1时刻已知的信息集Ft－1时，yt的条件均值和条件方差，即

股票价格对数收益的ARIMA(m，n)－GARCH (p，q)鞅过程，即ARIMA－GARCH:

式中:d为差分阶数;参数θi，i=1，2，…，m;参数φi，i=1，2，…，n;m≥0，n≥0;p≥0，q≥0;αi≥0，i=1，2，…，p;βi≥0，i=1，2，…，q.且 εt|Ft－1～i.i.d.

2 在ARIMA-GARCH鞅过程下股价的随机微分方程

令(Ω，F，{Ft}t≥0，P)是一个过滤概率空间，定义市场上存在2个风险资产S1和S2，及一个无风险证券S0.

定理1 带有红利支付标的资产价格服从如下的随机微分方程(stochastic differential equations，SDE):

式中，t∈［0，T］，i=1，2.

证明 在测度P下，令

满足Esscher测度变换，可知在测度QEss下:

其中带有红利支付标的资产价格服从的随机微分方程的解为

在测度P下

贴现后得到

在测度QEss下贴现去红利可以得到

定理得证.

3 基于ARIMA-GARCH参数下由布朗基变换模型

由Wi(t)(i=1，2)是一个在测度P标准布朗运动，且dW1dW2=ρdt，由W1(t)、W2(t)变为B1(t)、B2(t2)得到

这里关于μj、σj中t∈［－，0］，j=1，2这里B1(t)和B2(t)在(Ω，F，{Ft}t≥0，P)上是相互独立的布朗运动，在这样的市场环境没有套利机会当且仅当存在一个概率测度，使Si/S0为一鞅(i=1，2).由Girsanov定理可得

定理2 基于ARIMA-GARCH随机收益鞅过程下具有红利的线性幂型支付的交换期权定价:

在t时刻的欧式看涨幂型交换期权ξ=(r，α1，α2，λ1，λ2，δ1，δ2，σ1，σ2)，在到期日T＞t有

其中:

N(·)是一个正态分布函数.

证明

得到

使得

在测度P(α2)下有

其中:

其中W(α2)(t)～N(0，t)，于是有

由于:

当且仅当

可以把原方程记为

对于Ri(t，Si，ξ:T)，i=1，2，整理得到

4 结论

本文通过在资产定价中加入漂移率和波动率的鞅表示算法，建立了一个反映股价非线性特点的随机过程ARIMA-ARCH过程，利用测度变换确定资产价格，从而对奇异期权定价提高了其精度.

1)当资产S1(t)，S2(t)交换位置，则是看跌期权.当λ1=λ2=α1=α2=1，就变成标准的交换期权.

2)当λ1=1，α1∈R+，α2=0，λ2∈R+，就变成幂型看涨期权.

3)当λ1=1，α1=1，α2=0，λ2∈R+，执行价为λ2这就是熟悉的Black-Scholes模型.

［1］BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of Political Economy，1973，81 (2):637-659.

［2］BOX G，JENKINS G，REINSEL G.Time series analysis: Forecasting and control［M］.3rd ed.New Jersey:Prentice Hall，2003:236-239.

［3］BOX G，PIERCE D.Distribution of residuan antocorrelations in autore-gressive-integrated moving average time series models［J］.Journal of the American Statistical Association，1970，29(3):1509-1526.

［4］BOLLERSLEY T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity［J］.Journal of Econometrics，1986，31 (1):307-327.

［5］BARONE A，ENGLE G，MANCNI R.GARCH options in incomplete markets［C］//NCCR-FinRisk，Zurich:University of Zurich，2004:155.

［6］LLOYD B.Power exchange options［J］.Finance Research Letters，2005，18(2):97-106.

［7］ALEXANDDRA B，REG K.GARCH option pricing:a semiparametric approach［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2008，43(2):69-84.

［8］ESSER A.General valuation principles for arbitrary payoffs and application to power options under stochastic volatility models［J］.Financial Markets and Portfolio Management，2003，17(1):351-372.

［9］ALISON E.A course in financial calculus［M］.Beijing: Post＆Telecom Press，2006:108-122.

［10］GERBER U.Actuarial bridges to dynamic hedging and option pricing［J］.Insurance，Mathematics and Economics，1996，18(1):183-218.

［11］ALATON P，DJEHICHE B，STILLBERGER D.On modeling and pricing weather derivatives［J］.Applied Mathematical Finance，2002，9(1):1-20.

［12］BATH E，SALTYTE J.The volatility of temperature and pricing of weather derivatives［J］.Quantiative Finance，2007，7(1):553-561.