考虑运动副间隙的双滑块机构运动分析

罗阿妮，邓宗全，刘荣强，刘贺平

(1.哈尔滨工程大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001;2.哈尔滨工业大学 机电学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

航天机构的运动精度要求都是很高的，而构件的配合精度对运动精度有直接的影响［1］.构件的配合精度受到加工和安装等方面的影响，提高配合精度会大大增加制造成本［2-3］.因此，分析各运动副的配合精度对机构运动精度的影响，确定主要影响因素，减小提高配合精度范围是十分必要的.目前，间隙机构的数学模型有二状态模型、三状态模型和连续接触模型，这里采用二状态模型，即接触－分离模型，来对机构间隙进行建模研究［4-5］.

1 空间一维伸展臂工作原理

ADAM伸展臂于2000年NASA在进行SRTM (shuttle radar topography mission)项目时作为合成孔径雷达的支撑构件，其结构组成的二维剖面如图1所示.下面简要介绍其结构组成及伸展臂杆单元的工作原理.

如图1所示，伸展臂完全收拢状态放置在承载筒内.伸展臂由承载筒和伸展单元2部分组成.承载筒按照其功能可以划分为3段，图1中从左向右依次为:装载段、消旋段、提升段.装载段用来容纳收拢状态的伸展臂，由布置在圆筒内的8条直轨道组成;消旋段用来把收拢状态的伸展臂单元展开成具有良好刚性的空间立方体，由8条布置在圆筒内壁的消旋轨道形成;提升段是整个伸展臂展开、收拢的动力源，由螺旋提升筒和4条直轨道组成，在电机的带动下通过传动机构使得螺旋筒转动从而带动伸展臂沿直轨道实现提升或收拢.伸展臂完全收拢在承载筒后由均布在筒内的4条压紧杆实现其轴向定位.伸展臂完全展开后由其根部的锁紧机构实现伸展臂与承载筒的定位锁紧功能.

图1 伸展臂结构组成Fig.1 Structure of the deploy and retract mast

图2为空间伸展臂根部的锁紧机构地面试验装置的机构简图.此锁紧机构安装在空间伸展臂上，随着伸展臂向上运动.当此机构运动到图示位置时，即轨道7与锁定孔8(安装于机架上)相对，轨道6与7被机架上的相应结构挡住，不能向上运动，这时只有滑块1随着此伸展臂向上运动.滑块2在滑块1的驱动下沿着轨道7向左运动.当滑块2运动到一定距离后，它就插入到孔8中.当滑块1运动到与轨道7所在的直线上时，伸展臂停止，滑块2插入到孔8的深度最深，从而空间伸展臂被滑块2锁定在当前位置.但是由于结构方面的精度和控制方面的可靠性等问题，伸展臂停止的位移未必精确.因此，滑块1的停止位置会有偏差，这样滑块2不能完全插入孔8中，从而空间伸展臂不能被完全锁紧.因此滑块1、2的连接采用连杆4、5和弹簧3的方式，这样在滑块1没有运动到轨道7所在的直线上时滑块2就可以在弹力的作用下完全插入孔8中，滑块1停止的位置有所偏差也不会影响锁紧.

图2 锁紧机构简图Fig.2 Sketch of lock mechanism

根据此锁紧机构的功能和动作的分析，其机构运动简图如图3所示.由图3可以看出，此机构能够被简化为一个带有弹簧的双滑块机构.

图3 机构运动简图Fig.3 Sketch of the bi-slide flex link mechanism

2 机构运动分析

在图3所示机构位置，轨道6、7与机架固定，滑块1在运动机构的驱动下匀速直线运动，而滑块2在滑块1的驱动下水平向左运动.首先，不考虑间隙和连杆变形的理想状态下分析其他各构件运动.在局部坐标系Osxsys中，xs轴始终与连杆的轴线重合.这里，设mi(i=1，2，3，4，5)为构件i的质量，F3为弹簧产生的弹力，f为滑块与轨道的摩擦系数，Lj(j=4，5)为构件j的长度，S为滑块2在y轴上的位移.因此，滑块2和连杆5在局部坐标系中的振动方程为

式中:xs为滑块2和连杆5沿着局部坐标系中的xs轴的位移，c为与速度相关的阻尼系数，k为弹簧的弹性系数，Q为振动体在轴向受到的外力［6］.

根据振动体的受力［7］，可得

对方程求解，得到滑块2在局部坐标系中的位移.由于整体坐标系与局部坐标系之间的坐标变换矩阵为

经过坐标变换，就可以获得滑块2在整体坐标系中的位移:

式中:H1、S1为Δt时间间隔前滑块1和2的位移，S2为Δt时间间隔后滑块2的位移.

3 间隙的数学模型的建立

图4所示为铰链的孔与销，设铰链间存在间隙值为r，在运动过程中，当铰链的孔与销的中心的距离大于等于r时，构成铰链的2个构件会发生碰撞.2个构件碰撞时的相互作用力可以利用非线性弹簧－阻尼的形式来描述，即

式中，δ为2个构件接触时法向的变形量，Fn为法向碰撞力，kj、cj1和cj2分别为2个构件的接触刚度、法向阻尼系数和切向阻尼系数，Ft为切向碰撞力，f为两构件的摩擦系数，vt为2个构件的切向相对速度［8-9］.

设O1为滑块1上的销轴中心，O2为构件4上孔的中心.考虑铰链间隙时，就要增加2个坐标和1个夹角，即(xO1，yO1)、(xO2，yO2)和夹角θ.

图4 铰链示意Fig.4 Sketch map of joint

由此来判断2个构件是否接触，是否有碰撞力的作用.

图5 移动副示意Fig.5 Sketch map of slider

图5为移动副示意图，设滑块垂直于移动方向的位移为xL1，导轨垂直于移动方向的位移为xL2，设移动副的间隙为r'，则

碰撞力的计算公式与式(2)相同［10］.

4 考虑间隙时机构运动分析

本文认为滑块1和连杆4连接的铰链、连杆5和滑块2连接的铰链、滑块2和导轨连接的移动副存在间隙.设xi和yi(i=1，2，4，5)为构件i的平动位移，βj(j=4，5)为连杆j绕铰链中心的转动角位移，Fnij、Ftij和θij(i=1，2和j=4，5)分别为构件i和j构成的铰链在碰撞时的法向力、切向力和两中心连线的偏角，FNi和FTi(i=1，2)为滑块i与导轨间碰撞时的法向力和切向力，FN45为连杆4和5的法向作用力，Ji(i=4，5)为连杆i绕铰链中心的转动惯量［11］.

根据滑块2的受力，建立滑块2在x和y方向的动力学方程.当滑块2的铰链和移动副都发生碰撞时，

各碰撞力的方向由具体的位置决定.当铰链或移动副不接触时，相应的碰撞力为0.这样通过初始条件，可以求出较小时间间隔后的滑块2的加速度，再通过运动学公式求出相应的位移S和速度S·［12］.

当铰链中2个构件接触时，连杆4的动力学方程为

因为β4=90°－α，因此

当铰链中2个构件不接触时，上面的动力学方程中相应的碰撞力为零，即可得到此状态时连杆4的动力学方程.按照初始条件和运动学方程，可进一步得到连杆4在迭代时间间隔后相应的位移和速度.利用相同方法，也可求出连杆5的位移和速度.

5 仿真分析

根据前面的分析获得的数学模型，利用Matlab软件，编写程序，获得运动参数的分析结果.令弹簧刚度k=0.5 N/mm，迭代时间间隔Δt=0.001 s，孔8最深处距离整体坐标系原点0.45 m.在初始状态，滑块1的位移为 H0=0.4 m，滑块2的位移为S0=0.3 m，滑块1匀速运动，其速度为－1 m/s，滑块2静止，弹簧的弹力为0，kj=7.15×10－4N/mm，cj1=0.175 N·s/mm，cj2=0，摩擦系数都为0.05，运动副的最大间隙值都取0.1 mm.

图6 两滑块位移曲线Fig.6 Displacement curves of two sliders

在图6中，滑块1匀速运动，因此其位移曲线为一条斜线.滑块2首先由初始位置按照一定的曲线规律运动到孔8的最深处，由于2具有一定的速度，所以滑块2与孔8发生碰撞.应力波在滑块2中往复运动一次后，滑块2以碰撞时具有的速度反向向后运动.由于弹簧给滑块2和连杆5的弹力是向左的(图3所示)，所以滑块2在碰撞后，水平向左减速运动一段距离，而后再向右运动，与孔8再次碰撞.滑块2按照这一规律运动一段时间后，滑块1运动到H=－0.1这一位置停止，滑块2稍后也达到了平衡.

滑块2处铰链存在间隙时，滑块2的中心在x、y方向的误差值如图7所示.由图可知，x方向误差值以间隙值为中心波动，y方向误差值以0为中心往复振动，二者最终都收敛于各自的平衡点.由于滑块2的重力始终沿x正方向，所以其波动中心偏于正方向.而滑块2在y方向上受力随着运动而变化，没有方向固定的力作用，所以收敛点为0.因此，当此系统平衡时，在重力的作用下，铰链的销和孔的顶点接触.图8为此间隙处的碰撞力，最大值约为18 N.

图7 滑块2的铰链间隙位移曲线Fig.7 Displacement curves of sliders 2 clearance

图8 滑块2的铰链间隙碰撞力Fig.8 Force curves of sliders 2 backlash

图9和图10分别为滑块2在x方向和y方向的误差变化曲线.通过改变各处间隙值可知，滑块1带动整个系统运动，因此滑块1的铰链中两构件主要处于接触状态，振动幅度较小.滑块与导轨间隙可以限制滑块2在x方向(即垂直于滑块2导路)的振动幅度，滑块2铰链间隙处的振动对x方向误差影响最大.滑块2的间隙对滑块2的y方向位移误差起决定作用，通过提高滑块2和连杆5的配合精度、减小滑块2和导轨的间隙值可以减小滑块2的运动误差、提高其运动精度，因此这两处的配合精度要高.而滑块1处铰链的误差值对滑块2的运动影响较小，此处的配合精度可以低些.

由于间隙存在而产生的碰撞，使得机构中各构件受到碰撞力的影响.碰撞力会引起构件的弹性变形，连杆的受力变形量要比滑块的大得多，碰撞力会通过使连杆变形而影响滑块2的运动精度.但是碰撞力的作用时间短，而且2个连杆通过弹簧连接，连杆一端的连接具有一定的柔性，因此碰撞力对连杆的轴向变形影响很小.2个连杆的连接处的导向长度较长，限制了连杆的横向(垂直于轴线方向)变形，因此碰撞力对连杆的横向变形的影响也很小.这也是弹簧系统改善机构受力状况的优势体现.

图9 滑块2在x方向的误差曲线Fig.9 x direction clearance of slider 2

图10 滑块2在y方向的误差曲线Fig.10 y direction clearance of slider 2

6 结论

通过空间伸展臂的根部锁紧机构运动的理论研究和仿真分析，得到如下结论:

1)在此机构中，滑块2上的移动副和铰链间隙对滑块2的运动影响最大，提高这2个运动副的配合精度，能够显著地减小滑块2的运动误差.

2)间隙存在，碰撞力就存在.碰撞力的数值都较大，因此完全作用在机构上，会使构件产生大的弹性变形而影响机构运动精度.而弹簧使构件柔性连接，缓解了碰撞力对构件的影响，对机构的强度和运动都有利.

这样的分析，确定了机构各运动副的配合精度对机构运动精度的影响.根据分析结果，对各配合精度进行正确选择，可以减小加工成本.

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