一类含强迫项的二阶微分方程解的振动性

2011-03-19 03:20陈慧琴
关键词:山西大同二阶定理

陈慧琴

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009)

振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支,在科学技术领域中有着广泛的应用。近几十年来取得了很大的发展,并有大量的研究成果和专著发表[1-6]。文献[1]中已经讨论了含强迫项的二阶线性微分方程

解的振动性,本文对其振动性又给出一个补充定理,介绍由强迫项f(t)引起的振动问题。其中方程(1)对应的齐次方程为

方程(1)、(2)中的 p(t)及 x(t)都是[a,+∞)t a≥0上的连续函数。为了得到(1)振动的定理,先给出

引理 1 如果 φ(t)是方程(2)解,x(t)是(1)的解,令 x(t)=φ(t)y(t),则 y(t)满足方程

证明 把 x(t)=φ(t)y(t)代入方程(1)中,得

(4)式两边同乘以 φ(t),则

由于 φ(t)是方程(2)的解,所以(3)成立。

定理2若存在方程(2)的一个正解φ(t),对于一个正实数T,使得

那么方程(1)是振动的。

证明假设方程(1)有一个非振动解x(t),即存在t1>0,当 t≥t1>0 时,x(t)>0。

令 x(t)=φ(t)·y(t)

则由引理知 y(t)满足方程(3),对(3)由 T 到 t积分,得

由(6)得

对(8)从T1到t积分,得

由条件(iii)及(9),知存在 ti,使得 y(ti)<0,这与y(t)>0矛盾。当x(t)<0时,类似可证结论成立,问题得证。

例二阶微分方程

对应的齐次方程为

方程(11)存在一个正解φ(t)=e-t,满足定理2的条件,则由定理2知,(10)有振动解,实际上方程(10)的振动解为

关于方程(1)的振动性,读者可参阅文献[1],本文中只是给出了方程(1)振动的一个补充定理,此定理的条件比文献[1]中定理3.1,3.2的条件更强,但应用本文定理判别方程(1)的振动性更为方便。

[1]燕居让.常微分方程振动理论[M].太原:山西教育出版社,1992.

[2]Gyori I,Ladas G.Oscillation Theory of Delay Differential Equations with Applications[M].Oxford:Clarendon Press,1991.

[3]Erbe L H,Qingkai Kong,Zhang B G.Oscillation Theory for Functional Differential Equations[M].Hong Kong:Marcel Dekker,1995.

[4]Chen Huiqin,Jin Zhen.Oscillation Criteria of Solution for a Second Order Difference Equation with Forced Term[J].Discrete Dynamics in Nature and Society,2010:1-6,ID 171234.

[5]Chen Huiqin,d Jin Zhen.Monotonicity of eventually positive solutions for a second order nonlinear difference equation[J].International Conference on Computational Aspects of Social Networks,2010:189-191.

[6]陈慧琴,赵香兰.一类二阶微分方程最终正解的单调性[J].山西大同大学学报:自然科学版,2010,26(5):3-4.

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