具有一个非零公共值的亚纯函数的微分多项式唯一性

徐会彩，李效敏，李 超

（1.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009；2.中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

1 引言及主要结果

本文所提到的亚纯函数是指在整个复平面上的亚纯函数。设f与g是复平面内两个非常数的亚纯函数.并假定读者熟悉Nevanlinna理论的基本概念,例如 T（r，f）,m（r，f）,N（r，f）,（r，f）等等,这些概念可在文献[1]找到。 用E⊂（0，∞）表示线性测度有穷的集合,每次出现时可以不同。余项S（r，f）表示 S（r，f）=o｛T（r，f）｝（r→∞，r∉E）。 设 a 是一个有穷复数,如果f－a与g－a具有相同的零点且重数相同,则称f与g CM分担a,如果f－a与g－a具有相同的零点而不计重数,则称f与 g IM分担a(参看文献 [2])。 如果1／f与1／g CM分担0,则称f与g CM分担∞;如果 1／f与1／g IM分担0,就称f与g IM分担∞。另外还需要下述定义。

定义1[3]设p是一个正整数,并且a∈C∪｛∞｝。以下用表示f的重数不大于p的a－值点的计重数的计数函数,表示相应的精简计数函数;用表示f的重数不小于p的a－值点的计重数的计数函数,表示相应的精简计数函数。假设k是一个非负整数,记号定义如下:

1976年,杨重骏提出了下述问题:

问题1[4]假设f与g是两个非常数的整函数,n是一个正整数。如果f与g CM分担0,与f(n)与g(n)CM 分担 1,并且 2δ（0，f）＞1。

1990年,仪洪勋解决了问题1.1,证明了下述定理:

定理1[5]假设f与g是两个非常数的整函数,n是一个正整数。如果f与g CM分担0,f(n)与g(n)CM分担 1,并且 2δ（0，f）＞1，那么 f=g或者 f(n)g(n)=1。

1997年,I.Lahiri提出了下述问题:

问题2[6]如果两个非常数的亚纯函数的非线性微分多项式CM分担1。

1997年,杨重骏和华歆厚研究了问题2,证明了下述定理:

定理2[7]假设f与g是两个非常数的亚纯函数,n是一个正整数且满足n≥11。如果f(n)f′与f(n)f′CM分担1,那么f与g满足下述两种情形之一:

(1)f=tg其中t是一个常数,且满足tn=1;

(2)f=c1ecz，g=c2e－cz，其中 c，c1和 c2是非零常数,且满足（c1c2）n+1c2=－1。

2002年,方明亮证明了下述结果,在整函数条件下研究了问题2,证明了下述定理:

定理3[8]假设f与g是两个非常数的整函数,n，k是两个正整数且满足n≥2k+4。如果（fn）(k)与（gn）(k)CM分担1,那么f与g满足下述两种情形之一:

(1)f=tg其中t是一个常数,且满足tn=1;

(2)f=c1ecz，g=c2e-cz，其中 c，c1和 c2是非零常数,且满足（－1）k（c1c2）n（nc）2k=1。

定理4[8]假设f与g是两个非常数的整函数,n，k是两个正整数且满足n≥2k+8。如果（fn（f－1））k与（gn（g－1））kCM分担1,那么f=g。

本文将证明下述定理,这个定理改进了定理3,扩充了定理4。

定理5假设f是一个非常数的亚纯函数,n,k是两个正整数且满足 n＞3k+7。 如果（fn）k与（gn）kCM分担1和IM分担∞,那么（fn）k（gn）k=1或者（fn）k=（gn）k。

2 几个引理

引理1[1]假设f是一个非常数的亚纯函数,k是一个正整数,c≠0是一个有限值,那么

引理 2[9]假设其中｛ak｝和｛bj｝均为复数,并且 ap≠0,bq≠0。和fj为两个互素的多项式,那么 T（r，F）=max｛p，q｝T（r，y）+O（1）。

引理3[10]假设F是一个非常数的亚纯函数,k，p是两个非常数的正整数,那么

3 定理5的证明

假设

以下分两种情形讨论:

情形1假设H1不恒等于零。

设 z0是（fn）(k)－1 与（gn）(k)－1 的一个公共单零点。将（fn）(k)－1与（gn）(k)－1 在 z0点的 Taylor展示代入(1)可知,z0是H1的零点。于是由(1)的条件可得

即

同理

由(3),(4)和定理条件可得

再由(2),定理已知条件得

该式代入(5)式可得

同理

由(6)和(7)可得

由此可得n≤3k+7,这与已知条件n＞3k+7矛盾。

情形2假设H1=0。由(1)可得

由(8)连续积分两次可得

其中a和b是两个常数,并且a≠0。分三种子情形讨论如下:

1.假设a＝b。如果b=－1,由(9)可得（fn）(k)（gn）(k)=1,于是结论成立。如果b≠－1,那么(9)可变为

由(10)可得

由(11)和引理 1,引理2和引理3可得

同理可得

由(12)和(13)可得

由此可得n≤2k+4,这与已知条件n＞3k+7矛盾。

2.假设a≠b并且b≠0。如果b=－1,那么(9)变为

由于（fn）(k)与（gn）(k)CM分担∞,由(14)可得

由(15)和引理 1可得

由此得n≤k+2这与n＞3k+7矛盾。如果b≠－1,那么(9)变为

由于（fn）(k)与（gn）(k)CM分担∞,由(16)可得(15)。以下类似于上述推导过程可得n≤k+2这与n＞3k+7矛盾。

3.假设a≠b并且b=0。由(9)可得

当f，g是两个非常数的有理函数时,（fn）(k)与（gn）(k)均为非常数的有理函数。由于（fn）(k)与（gn）(k)CM 分担1,如果 1 是（fn）(k)与（gn）(k)的 Picard 例外值,那么结合(17)可得a=1,于是结论成立。如果1不是（fn）(k)与（gn）(k)的Picard例外值,存在（fn）(k)与（gn）(k)的公共1-值点z1,使得（fn（z））(k)｜z=z1=1,该式结合(17)可的a=1于是引理4的结论成立。以下假设当f，g是两个超越亚纯函数。一方面,由 (17)可得

其中P1是一个次数不超过k的多项式。假设P1不恒等于零,由(18)和引理2可得

由此得n≤3,这与这与n＞3k+7矛盾。于是P1=0,(18)变为afn=gn,由此得

再由引理 1可得(3)。由(3)可得

由(22)可知（fn）(k)－1 有零点。 注意到（fn）(k)和（gn）(k)CM分担 ,由(21)可知a=1,于是定理成立。 定理5证毕。

[1]Hayman W K.Meromorphic functions[M].Oxford:The Claredon,1964.

[2]仪洪勋,杨重骏.亚纯函数的唯一性理论[M].北京:科学出版社,1995.

[3]Lahiri I.Weighted sharing of three values and uniqueness of meromorphic functions[J].Kodai Math J,2001,24:421-435.

[4]Yang C C.On two entire functions which together with their derivatives have the same zeros[J].J Math Anal Appl,1976,56:1-6.

[5]Yi H X.Uniqueness of meromorphic functions and a question of C.C.Yang[J].Complex Var Theory Appl,1990,14:169-176.

[6]Lahiri I.Uniqueness of meromorphic functions as governed by their differential polynomials[J].Yokohama Math J,1997,44:147-156.

[7]Yang C C,Hua X H.Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions[J].Ann Acad Sci Fenn Math,1997,22:95-406.

[8]Fang M L.Uniqueness and value sharing of entire functions[J].Comput Math Appl,2002,44:823-831.

[9]A Z Mokhon′ko.On the Nevanlinna characteristics of some meromorphic functions,in:Theory of Functions,Functional Analysis and Their Applications,1971,14:83-87.

[10]Lahiri I,arkar A.SUniqueness of a meromorphic function and its derivative[J].J Inequal Pure Appl Math,2004,5(1):Article 20.