基于可靠性约束的热固耦合结构拓扑优化*

李冬梅 张宪民 王念峰 管贻生

(华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州510640)

式中，L为伴随载荷矩阵，U2为伴随载荷L产生的位移矩阵，u2为单元伴随位移矩阵.

结构拓扑优化的目的是寻求材料的最佳分布，以达到某种性能最优化.柔顺机构拓扑优化设计的目的是在机构输入端给定输入后，高效地将其转化为输出端的输出［1］.柔顺机构的输入可以是指定的力、位移、热量和电信号等.若在输入端加载热源，则结构会产生热应力，由此驱动柔顺机构运动，这种机构称为热固耦合柔顺机构.它的设计属于多场耦合的设计范畴，拓扑优化方法为其提供了工具［2］.由于不可避免地存在各种随机因素，拓扑优化研究正在由确定性拓扑优化［3-4］向可靠性拓扑优化方向发展［5-6］.

可靠性拓扑优化的目的是以最少的材料和最低的造价来获得性能更优的结构［7-8］.目前柔顺机构拓扑优化的大量工作集中在力场或温度场等确定性的物理场［9-10］中，所建立的模型绝大多数属于确定性模型，即将结构几何尺寸、材料特性、载荷环境、设计变量等均视为确定值.这在一定程度上简化了结构的设计，降低了计算量.但实际中存在着各种误差和不确定性因素，若未能合理考虑不确定性因素的影响，往往无法做出合理的分析与设计.Jung等［6］将可靠性分析与拓扑优化方法相结合用于结构优化中;Kharmanda等［7］提出了刚度最大化的可靠性拓扑优化方法，在使用等量材料的情况下得到最大的结构刚度;Maute等［8］将可靠性拓扑优化用于微机电系统(MEMS)的设计中.在国内，罗阳军等［11］以概率可靠性为约束，考虑多种参数的不确定性，得到了更合理的材料分布;占金青等［12］采用基础结构法建立了可靠性拓扑优化对偶数学模型，得到了性能比确定性拓扑结果更优的柔顺机构.迄今为止，虽然国内外关于可靠性拓扑优化的研究已有大量文献，但主要集中在单一物理场中，有关多场耦合的可靠性拓扑优化研究尚需补充和发展.

文中将可靠性方法和拓扑优化方法相结合，在保证一定概率可靠性约束的条件下，寻找最优的拓扑设计方案.考虑了材料属性、几何尺寸和温度场的不确定性，采用一次二阶矩法得到可靠性指标，然后以可靠性指标为约束条件，分别以结构柔度最小化和节点位移最大化为目标函数，建立热固耦合结构的可靠性拓扑优化数学模型，并使用数学规划法进行求解.

1 耦合场随机变量分析

物体受热将产生热膨胀，从而引发热变形和位移.由机械载荷与温度载荷共同作用的结构称为热固耦合结构，其有限元平衡方程为［13］

式中，K为结构整体刚度矩阵，U为位移列向量，Fm为机械外载荷，Fh为由温度变化引起的热载荷，φ(ρe)为与材料属性相关的函数，ρe为单元相对密度设计变量，α为热膨胀系数，E为弹性模量，ΔT为温度变化，ν为泊松比，N为设计域节点总数.

上述的分析是确定性分析，当材料属性、温度场及几何尺寸随机变化时，则式(1)应改写为

式中，x是由n个随机参数组成的随机向量，x= (x1，x2，…，xn)T.

设随机变量均服从正态分布.以E为例，其均值为μE，标准差为σE，即E～N(μE，σ2E).随机变量的标准差与均值的关系为

式中，γE为变异系数，当它为零时，表示该变量不具有随机性，即为确定性参数.

2 热固耦合结构可靠性分析

以随机向量x=(x1，x2，…，xn)T表示结构中的随机因素，各随机因素与结构功能状态间的关系为

式中，Z=g(x1，x2，…，xn)=0为极限状态方程，它将空间划分为失效和安全两个区域.结构处于失效状态的概率为Pf，用一次二阶矩法来求解Pf，通常是把基本随机变量x=(x1，x2，…，xn)T映射为标准化空间的标准正态变量y=(y1，y2，…，yn)T，即

式中，yi～N(0，1)，μxi、σxi分别为随机变量xi的均值与标准差.可靠度β的几何意义为原点到失效面G(y)=0的最短距离［14］.Pf与β存在如下一一对应关系:

式中，Φ(·)为标准正态分布函数.由式(6)可知，要使结构不失效，Pf要尽量小，可靠度β要尽量大.由此可将结构安全使用的条件转化为具有足够大的可靠性指标约束，即

式中，β*为许用可靠性指标，可以根据实际需要选择.符合许用可靠性指标约束的正态随机变量yi可由下式求出:

s.t.β(yi)≥β*.

可靠度对正态随机变量的敏度为

yi迭代的过程如图1所示，B*为初始迭代点，根据迭代公式确定下一迭代点，直至满足收敛条件.

图1 可靠性指标迭代搜索过程示意图Fig.1 Schematic diagram of iterative search process of reliability index

3 可靠性拓扑优化模型与敏度分析

3.1 热固耦合结构的可靠性拓扑优化数学模型

由方程(2)解出节点位移u后，可求出热固耦合结构的刚度与柔度［13］.结构刚度可由应变能 C来表征.以结构应变能最小化为优化目标，热固耦合结构的可靠性拓扑优化模型如下:

式中，U1为耦合场的整体位移矩阵，u1为单元位移矩阵，Ω为设计域，f为优化体积比，V0为整个设计域的初始体积，F1为外力矢量，ρmin为单元相对密度的最小值，N为结构离散单元数，μE为弹性模量的均值(确定性部分)，μK、μk0分别为整体刚度矩阵的均值和优化前单元刚度矩阵的均值，μΔT为温度变化的均值，μF1为外载荷的均值，β*为给定的可靠性指标，q为惩罚因子.

机构的柔性可由互应变能(MSE)来表征［13］.以机构输出位移最大化为优化目标，热固耦合柔顺机构的可靠性拓扑优化模型为

式中，L为伴随载荷矩阵，U2为伴随载荷L产生的位移矩阵，u2为单元伴随位移矩阵.

3.2 敏度分析

文中采用伴随矩阵敏度分析方法.自由度i处的位移ui可写为ui=LTU.在L中除输出位移自由度i处的载荷分量值设为单位力外，其他载荷分量均为0.位移敏度可写为

由于F1为给定的与设计变量无关的机械外载荷，则由平衡方程可推导出:

Fh为与设计变量相关的温度载荷，由式(11)得

将式(13)、(14)代入式(12)得到结构位移的敏度:

由式(10)可得

将式(14)代入式(16)得到结构柔度的敏度:

多场耦合的可靠性拓扑优化流程如图2所示.

图2 基于可靠性约束的热固耦合结构的拓扑优化流程图Fig.2 Flow chart of topology optimization of thermo-mechanical coupling structures based on reliability constraint

4 数值算例分析

算例1 考虑如图3所示的结构，对其均匀加热，温度变化ΔT=100K，在结构下边中点处施加一机械外载荷F=10N.初始设计域为80mm×30mm，实体材料与整个设计域之比为0.5，热膨胀系数α= 17.2×10-6/K，弹性模量与泊松比分别为 E=100 GPa、ν=0.3.在外载荷与温度载荷共同作用下，获得结构刚度最大化的可靠性最优拓扑结构.

图3 热固耦合结构的设计域与边界条件Fig.3 Design domain and boundary condition of thermo-mechanical coupling structure

以γL、γH、γF、γf、γΔT分别表示设计域的长和宽，外载荷、体积比和温度随机变量的变异系数(γi= σi/μi，i=L，H，F，f，ΔT)，采用正态分布3σ的准则描述随机变量的变化范围，得到反映随机变量特征的参数.可靠性拓扑优化主要取决于随机变量的均值和变异系数，表1中给出了通过求解式(10)表示的优化模型得到的拓扑优化结果.

表1中，模型a为确定性模型，各参数的变异系数为0;模型b和c为各随机参数的变异系数为0.1的随机模型，两个模型中随机参数具有相同的均值与标准差，但β*不同.对比模型b和c的拓扑优化结果可知，随着β*增大，应变能几乎不变，优化后结构的体积减小，说明优化后结构性能不变，而材料的用量减少.因此模型c相对于b最大限度地满足了经济性与安全性的要求.模型c和d的β*相同，除了温度变异系数不同外其他参数的变异系数均相同.对比模型c和d可知，随着ΔT的变异系数的增大，拓扑优化结果更复杂.这是因为ΔT的变异系数的增加导致温度载荷的不稳定性增加，而温度载荷是均匀分布在整个结构上的.

算例2 对图4所示的位移转向机构，在A点施加一水平机械外载荷Fin=10N，并且对其均匀加热，温度变化ΔT=100K.要求在机械载荷与温度载荷共同作用下设计一种机构，其在B点垂直方向上的输出位移最大.初始设计域为64 mm×64 mm，f= 0.35，附加在输入端的弹簧刚度Kin=100N/m，输出端弹簧刚度Kout=50 N/m.热膨胀系数α=17.2× 10-6/K，弹性模量与泊松比分别为 E=100 GPa，ν=0.3.

图4 位移转向机构设计域Fig.4 Design domain of displacement diverter

通过求解式(11)表示的优化模型，可得其拓扑优化结果，如表2所示.为了便于对比，本例中无论是确定性模型还是随机模型都采用相同的体积比(f=0.35)，且γL=γH=γF=γΔT=0.1.

由表2中随机模型的拓扑结果可知，随着β*的增大，柔顺机构的输出位移也增大，表明机构的柔度增加.这说明在材料用量相同、各个随机因素相同的情况下，可以通过可靠性拓扑优化设计，获得输出位移更大、失效概率减小的柔顺机构，即可通过控制失效概率和各参数的随机性，改善柔顺机构的功能(输出位移)与性能(失效概率).从表2中还可知，可靠性热固耦合拓扑机构的输出位移比确定性热固耦合拓扑机构的大，表明基于可靠性约束的热固耦合拓扑设计得到的柔顺机构具有更优的性能，这说明进行可靠性拓扑优化是非常必要的.

表1 不同可靠度及变异系数下的拓扑优化结果Table 1 Topology optimization results corresponding to different reliabilities and variable coefficients

表2 不同可靠度下的位移转向机构Table 2 Displacement diverter with different reliabilities

5 结语

文中将可靠性分析用于热固耦合拓扑优化中，用随机温度场及各物理参数的变异系数来表征各变量的随机性和不稳定性，提出一种基于概率约束的可靠性拓扑优化设计方法，并进行了数值算例分析.结果表明，可靠性拓扑优化可以找到经济性与安全性的最佳结合点，并能改善机构的功能，获得性能更优的柔顺机构.这说明在拓扑优化设计时进行可靠性分析是非常必要的.文中模型为多场耦合的可靠性拓扑优化设计提供了一种有益方法.

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