海洋细长结构参数激励不稳定区的确定方法

徐万海，吴应湘，钟兴福，何 杨，刘培林，冯现洪

(1.天津大学 建筑工程学院，天津 300072;2.中国科学院 力学研究所，北京 100190;3.海洋工程股份有限公司，天津 300451)

21世纪是海洋经济时代，随着世界经济的快速发展，能源短缺问题日益突出，由于陆上及近海的石油资源日益枯竭，深海油气开发已成为各国能源战略的重点。根据不同的海洋环境及经济方面的考虑，会采取不同的平台开采方案，如张力腿平台(TLP)，SPAR平台，半潜平台等。不论海洋油气开发采用何种平台方案，张紧式细长柔性结构如立管、张力腿等都会在其中扮演重要的角色。立管是进行深水油气开采必不可少的设备，它连接海底矿藏与海面的作业平台，进行钻探、导液和泥浆等工作。张力腿一般为圆柱形结构，是连接张力腿平台与海底锚固基础的关键部件，提供平台本体必要的结构刚度。立管与张力腿结构形式有很大的相似之处，最大的不同就是立管的轴向预张力比张力腿小，同时立管内部有流体流动［1］，如果忽略内流影响，两种结构的动力响应分析方法是一致的。

张力腿等细长的海洋工程结构，主要受到两种外部激励形式的作用，一种是平台纵荡而产生的受迫振动，第二种是平台垂荡引起的参数振动［2，3］。前人的研究工作主要集中在两方面:一种是将张力腿简化为线性Euler-Bernoulli梁模型，同时考虑平台纵荡和垂荡激励作用［2，3］;另一种是把张力腿看成非线性梁结构，为了简单起见，仅考虑平台的垂荡激励［4，5］。上述的两种简化方法，最终得到张力腿参数振动的控制方程均为Mathieu方程。当采用非线性梁模型，同时考虑平台垂荡与纵荡共同作用，研究张力腿的非线性动力响应还很少见。综合地考虑轴向与流向的非线性因素及耦合效应时，张力腿参数振动的控制方程不再是Mathieu方程，而变为更一般的 Hill方程［6］。

本文的主要目的是给出不同情况下，Hill方程不稳定区的确定方法，同时比较不同方法之间的不同之处，并给出各自的适用范围。

1 控制方程

张力腿被简化为两端简支的梁结构，假设顶端平台的运动是关于时间的简谐函数，采用Han和Benaroya［7］提出的非线性模型，忽略转动惯量和扭转效应的影响，应用Galerkin法和模态展开原则，得到描述张力腿等细长的海洋工程结构参数激励系统的无量纲Hill方程［6］:

Ua，Va分别为平台垂荡和纵荡的幅值，L为张力腿的长度。

2 Hill方程的不稳定区域确定方法

Hill方程的解会根据不同的δ，ε和M组合而变得稳定或者不稳定。由于水动力阻尼的存在，张力腿等一般不会发生参数失稳。但在不稳定区内，张力腿的动力响应幅值明显大于稳定区域内的结果，所以确定Hill方程不稳定区域是十分必要的。关于不稳定区的分析有很多种方法，其中摄动方法和傅里叶分析是比较常用的。

2.1 变形参数法［8］

令:

将式(4)代入Hill方程式(1)，根据ε的阶次整理:

方程(5)的解必须是周期为π或2π的周期函数:

因此:

由于变形参数法确定Hill方程不稳定区时，随着n数值的增加计算量会变得相当可观。在此只讨论n=0，1，2 的情况。

(1)n=0时

δ0=0，有v0=a，于是:

v1必须是周期的，因此δ1=0，化简求解式(10)，并将v1代入式(7)中:

其中NST为长期项，消去长期项，得到边界曲线为:

(2)n=1时

当n≠0时，方程(5)的通解为:

把式(13)代入式(6):

当n=1时，消去式(14)中的长期项:

消去式(17)中的长期项，边界曲线为:

消去式(19)的长期项，边界曲线为:

(3)n=2时

当n=2时，消去式(14)中的长期项:

消去式(23)中的长期项，边界曲线为:

消去式(25)中的长期项，边界曲线为:

2.2 改进的变形参数法

应用变形参数法进行稳定区域的理论分析时，必须满足ε≪1，很多情况下，ε≪1的假设并不满足，所以传统的变形参数法已经不再适用。很多学者对该方法进行了改进［9，10］，改进的变形参数法可以用来确定参数激励的幅值不是很小的Hill方程不稳定区。

设δ是ε的多项式函数，即:

式中:δ0，ω1，ω'2，ω'3，…均为任意常数。由于 ε 可以不是小量，引入一个新的小参数:

于是式(27)可以写成:

式中:δ0，ω1，ω2，ω3，…均为任意常数。

令:

把ε，δ，v的表达式代入式(1)中，比较α的同次幂项系数:

运用变形参数法确定参数振动不稳定区相同的公式推导方法，最终得到相应的边界曲线表达式:

(1)n=0时

边界曲线为:

(2)n=1时

为消除方程中的长期项，需满足如下关系式:

边界曲线为:

边界曲线为:

(3)n=2时

为消除方程中的长期项，需满足如下关系式:

边界曲线为:

边界曲线为:

2.3 傅里叶分析法

当δ和ε是小参数时，Hill方程的不稳定区域根据摄动方法可以获得，但是实际的海洋环境条件下，δ和ε不再是小参数，变形参数方法不再适用，而改进的变形参数方法仅仅能分析ε～1的情况，大参数情况下同样不适用。所以需要采用傅里叶分析法来确定Hill方程不稳定区域。

当δ是方程(1)的可列特征值时，下面的周期解满足式(1)［11］

把方程(44)、(45)、(46)和(47)代入式(1)，相应的cos(2nτ)，cos(2n+1)τ，sin(2nτ)和 sin(2n+1)τ 各项前面系数等于0，经过整理，得到无穷项的行列式关系如下:

可以根据实际工程设计需要，截取有限项n，应用简单的数值方法可以得到Hill方程的不稳定区图像。

3 Hill方程的不稳定区图像

应用MATLAB软件画出变形参数法以及改进的变形参数法得到的Hill方程不稳定区，分别取M=0，M=0.25，M=0.5，图1和图2分别给出了用上述两种摄动方法得到的Hill方程的前3阶不稳定区。

然后给出傅里叶分析方法获得的不稳定区。为了简化计算过程，同时保证最终结果的正确性和足够的精度，截取式(48)～式(51)中的有限10项，分别取M=0，M=0.25，M=0.5，应用 MATLAB 软件编程，画出大参数情况下方程(1)的不稳定图，δ和ε的取值范围限定在0到20，图3给出了Hill方程(1)的前3阶不稳定区。对比图1、图2和图3可以发现，大参数情况下，Hill方程(1)的不稳定区相比于小参数情形，具有明显的不同。

4 结论

本文给出了三种不同的确定Hill方程不稳定区方法、分别为变形参数法、改进变形参数法及傅里叶分析法，通过对三种方法优缺点的对比，可以得到如下结论:

(1)参数激励系统的控制方程是小参数的Hill方程时，可以采用变形参数法、改进变形参数法分析其不稳定特性，分析结果具有较高的精度。但计算量会随着不稳定区阶数的提高，变得十分巨大。

(2)参数激励系统的控制方程不是小参数的Hill方程时，需要采用傅里叶分析法讨论其解的不稳定性，实际计算表明，傅里叶分析法可以根据需求得到高阶不稳定区，并且其思路简单，计算量不大，建议在张力腿、立管等细长海洋结构的设计计算过程中采用。

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［11］ Patel M H，Park H I.Dynamics of tension leg platform tethers at low tension-part 1:Mathieu stability at large parameters［J］.Marine Structures，1991，4:257-273.