用SAS程序模拟抽样绘制t、F和χ2分布*

南京农业大学大豆研究所/国家大豆改良中心/作物遗传与种质创新国家重点实验室(210095) 邢光南 赵团结 盖钧镒

用SAS程序模拟抽样绘制t、F和χ2分布*

南京农业大学大豆研究所/国家大豆改良中心/作物遗传与种质创新国家重点实验室(210095) 邢光南 赵团结 盖钧镒△

△通讯作者：盖钧镒，E-mail：sri@njau.edu.cn

长期以来作为国际著名的统计软件SAS以其强大的统计功能受到广大使用者的青睐，并被广泛介绍〔1-3〕。利用计算机辅助教学有利于改进统计课程的教学〔4〕，对那些内容抽象，学生难以理解，用传统教学方法难以奏效的教学内容开展SAS系统辅助教学卓有成效〔5-7〕。t、F 和 χ2分布是重要的抽样分布，是 t、F和χ2检验的基础，由于这些分布的概率密度函数公式复杂，也是生物统计学教学的重点和难点。本文结合教科书的基本原理通过编写SAS程序模拟上述抽样分布，以加深教学过程中对t、F和χ2分布及其检验的理解。

基本原理

χ2分布若所研究的总体μ不知，而以样本代替，则，此时独立的离差个数为 n -1 个，v=n-1〔8〕。

F分布 在一个平均数为μ、方差为σ2的正态总体中，随机抽取两个独立样本，分别求得其均方和，将和的比值定义为 F ：F(vv，v2)=/，此 F 值具有的自由度v1和的自由度v2〔8〕。如果在给定的v1和v2下按上述方法从正态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的F值而形成一个F分布。

SAS程序实现

宏creat用于产生样本及其特征数如平均数、总和数、t值、u值、χ2值和F值，其中数据步data cy有三个循环语句，外循环语句用于产生100000个样本，两个并列的内循环语句分别用于产生样本容量分别为n1和n2的随机样本(F测验需要两个样本)，并分别于每个样本后计算相应的方差。依据基本原理中的相应公式，第一个内循环后计算样本容量为n1的t值、u值和χ2值，第二个内循环后计算分子样本容量为n1，分母样本容量为n2的F值。

宏pct用于输出t、u、χ2和F分布的特征数、分位数及绘制累积概率分布图。proc univariate过程用于输出t、u、χ2和F 分布的分位数，如常见的P=0.95，用于理解其为何作为假设检验统计推断的临界值。

宏dist通过调用宏creat、宏pct和改变宏参数，产生各种分布的特征数、分位数及绘制累积概率分布图和频数分布图。通过改变宏参数可随时改变样本容量，从而获得不同样本容量下的分布，以满足不同样本容量下各分布的异同比较。详细的语句解释见程序。

结果与分析

1.t分布及其与u分布的比较

t分布是一组对称密度函数曲线，具有一个单独参数v以确定某一特定分布，v是自由度〔8〕。本实验中当样本容量分别为5、10和30时，t分布的平均数分别为0.00541、-0.00045和 -0.00007，方差分别为2.00821、1.27955和1.06911。自由度较小的t分布比自由度较大的t分布具有较大的变异度。可见当v增大时，t分布趋向于标准正态分布。t分布曲线是对称的，围绕其平均数ut=0向两侧递降。由于t分布受自由度制约，所以t值与其相应的概率也随自由度而不同，如本实验中当样本容量分别为5、10和30时累积概率P=0.95对应的t值分别为2.15626、1.82674和1.68806，与文献〔8〕附表4一致。在假设测验时，当算得的|t|大于tα时，则表明其属于随机误差的概率小于规定的显著水平，因而可否定原假设。反之，若算得的|t|＜tα，则接受无效假设。

本实验中当样本容量分别为5、10和30时，同时模拟的u分布的平均数分别为0.00189、0.00204和0.00171，方差分别为 0.99367、0.99621 和 1.00937。可见差异不大，都是标准正态分布。

2.χ2分布

χ2分布图形为一组具不同自由度v值的曲线。χ2值最小为0，最大为+∞，因而在坐标轴的右面。自由度小时呈偏态，随着自由度增加，偏度降低，至+∞时，呈对称分布。该分布的平均数为v，方差为2v〔8〕，如在本实验中当样本容量分别为5、10和30时，模拟的χ2分布的平均数分别为4.01224、8.97165和28.9879，方差分别为7.98599、17.7960和58.1971。χ2分布分位数与文献〔8〕附表6一致。

3.F分布

从图1可见，F分布乃具有平均数μF=1和取值区间为〔0，+∞〕的一组曲线;而某一特定曲线的形状则仅决定于参数v1和v2。在v1=1或v1=2时，F分布曲线是严重倾斜成反向J型;当v1≥3时，曲线转为偏态。随着分子自由度的增加，F分布逐渐趋向于正态分布〔8〕。本实验中分母自由度为29，分子自由度分别为1、4和29的F分布平均数分别为1.06977、1.07854和 1.07491，方 差 分 别 为 2.50501、0.71181 和0.17673，可见随着分子自由度的增加，F分布的方差逐渐减小。本实验中F分布分位数与文献〔8〕附表5一致，说明了模拟的可靠性。

图1 样本容量n1分别为2、5和30，n2为30的F频数分布图和累积概率分布图

讨 论

本文通过学生较熟悉的SAS软件编写程序进行模拟抽样，获得了t、u、χ2和F抽样分布，统计出的抽样分布分位数与理论值一致。分位数是判断假设检验是否显著的标准。通过模拟抽样求出各自由度下t、χ2和F分布所对应的分位数加深了学生对t、χ2和F抽样分布和统计假设检验的理解。本文中的程序在课堂上作为讲授理论课的例子辅助教学，激发了学生的学习兴趣，收到了良好的教学效果。

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国家重点基础研究发展规划项目(2009CB118404)，教育部高等学校创新引智计划项目(B08025)，农业部公益性行业专项(200803060)，国家自然科学基金项目(30900902)