例谈数学应用题在高考中的作用

●郑 怡 (宁波市第三中学 浙江宁波 315040)

例谈数学应用题在高考中的作用

●郑 怡 (宁波市第三中学 浙江宁波 315040)

数学的应用是数学学科的重要组成部分，是这门学科存在价值的一个具体体现，同时也是数学教育的重要内容．新课程标准指出:“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”．在数学高考试题中，应用题是必不可少的组成部分，历来受到广大师生的重视．

1 考查要求

能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题;能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题;应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明．

2 考点回顾

浙江省从2004年开始实行自主命题．这几年来，对应用题的考查一直是比较稳定的，主要集中在概率、排列组合、随机变量的分布列等内容，题型以一个解答题为主，难度一般属于中档题．其中也有对函数、数列、不等式以及解析几何等高中数学重要内容的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，总体难度不高．

3 命题走势

笔者预计2011年浙江省数学高考应用题还将以常规的概率应用题为主，可能会结合新课程的部分考点，譬如统计、算法等．

4 典例剖析

例1甲、乙、丙3个人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是＿ (用数字作答)． (2009年浙江省数学高考理科试题)

评注本题主要考查了排列与组合的相关知识点以及分类讨论的思想．

例2已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员3次投篮恰有2次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中;再以每 3 个随机数为一组，代表3次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数:

据此估计，该运动员3次投篮恰有2次命中的概率为( )

A．0．35 B．0．25 C．0．20 D．0．15

(2009年福建省数学高考理科试题)

评注本题考查了独立重复事件的概率以及随机数的产生．

例3为了测量山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在点A，B进行测量，点A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括:(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);(2)用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．

图1

(2009年宁夏、海南数学高考理科试题)

方案1(1)需要测量的数据有:点A到点M，N 的俯角 α1，β1;点 B 到点 M，N 的俯角 α2，β2;A，B的距离d．

(2)第1步，计算AM，由正弦定理得

评注本题主要考查三角函数的实际应用，思路开阔，答案不唯一．

例45位同学围成一圈依序循环报数，规定:(1)第1位同学首次报出的数为1，第2位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前2位同学所报出的数之和;(2)若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次，当第30个数被报出时，5位同学拍手的总次数为＿＿ ．

(2009年福建省数学高考文科试题)

解这个数列的变化规律是:从第3个数开始递增，且是前 2 项之和，有 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987…，分别除以 3 得余数分别是1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0…．由此可见，余数的变化规律是按 1，1，2，0，2，2，1，0循环，周期是8．在这一个周期内第4个数和第8个数都是3的倍数，因此在3个周期内共有6位同学报出的数是3的倍数，后面6个报出的数中余数是1，1，2，0，2，2，只有1 个是3 的倍数，故3 的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7．

评注这样得到的数列是历史上著名的斐波那契数列．寻找规律是解决本问题的关键．

精题集粹

1．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序:①洗锅盛水2分;②洗菜6分;③准备面条及佐料2分;④用锅把水烧开10分;⑤煮面条和菜共3分．以上各道工序除了④之外，一次只能进行一道工序．问小明要将面条煮好，最少要用( )

A．13分 B．14分 C．15分 D．23分

2．在20．2℃，细菌受到5%的消毒溶液消毒，每小时细菌的死亡率为11%．在此环境下对一批消毒对象进行消毒，要使细菌的存活率低于原来的5%，消毒时间最少为＿＿ 小时(结果四舍五入精确到1小时)．

3．有一种游戏规则如下:口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同，则得100分;若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分;其他情况不得分．小张摸1次得分的期望是＿＿ ．

4．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如表1所示的列联表．

表1 学生爱打篮球情况

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为

(1)请将上面的列联表补充完整．

(2)是否有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由．

(3)已知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3，A4，A5还喜欢打羽毛球，B1，B2，B3还喜欢打乒乓球，C1，C2还喜欢踢足球．现从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．

临界值表2供参考．

表2 临界值

参考答案

4．(1)列联表补充如表3．

表3 学生爱打篮球情况

(2)因为