简述三角形四“心”的优美向量性质

●李显权 (富顺县城关中学 四川自贡 643200)

简述三角形四“心”的优美向量性质

●李显权 (富顺县城关中学 四川自贡 643200)

文献［1］和文献［2］分别讨论了三角形五心的一个统一向量性质．最近，笔者通过探究又得到了一组有关三角形重、内、外、垂等四心的优美向量性质．

图1

(3)若DE经过锐角△ABC的外心，则

利用以上定理，可得三角形四心的如下性质:

性质1条件同定理1．

(1)若DE经过△ABC的重心，则

(2)若DE经过△ABC的内心，则

(4)若DE经过锐角△ABC的垂心，则

证明(1)由DE经过△ABC的重心，易知λ=，代入式(1)即得结论．

(2)如图 2，由 DE经过△ABC的内心 I，利用文献［2］中性质2的证明过程，可知

图2

代入式(1)整理即得结论．

(3)参照图2，由DE经过锐角△ABC的外心O，利用文献［2］中性质1的证明过程，可知

代入式(1)整理即得结论．

(4)参照图2，由DE经过锐角△ABC的垂心，利用文献［2］中性质3的证明过程，可知

代入式(1)整理即得结论．

本文中得到的性质容易推广到四面体中，留给有兴趣的读者．

［1］ 李显权．三角形五心的一个统一向量性质［J］．数学通讯(下半月)，2010(7):19．

［2］ 陈和平．三角形五心的一个向量统一表示［J］．数学通讯(下半月)，2009(4):31-32．