数学高考中的计数原理刍议

●张春杰 (杭州学军中学 浙江杭州 310012)

数学高考中的计数原理刍议

●张春杰 (杭州学军中学 浙江杭州 310012)

1 考试要求

(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题;

(2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题;

(3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.

2 考点回顾

分类计数原理与分步计数原理、排列、排列数公式、组合、组合数公式、组合数的 2个性质、排列组合应用题.

3 命题走势

本部分是高考的必考内容,每年都有一道选择题或者填空题.纵观近 3年的高考试题,从难度程度看,排列组合试题时难时易.目前在考查能力、思想、应用、创新、综合的趋势下,排列、组合试题的难度中等偏上,有关排列、组合的应用题常以现实生活、社会热点为载体,同时也考查 2个基本原理.

4 典例剖析

例 1将标号为 1,2,3,4,5,6的 6张卡片放入 3个不同的信封中.若每个信封放 2张,其中标号为 1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )

A.12种 B.18种 C.36种 D.54种

分析 本题实际上是先分组再排列的问题,只不过标号为 1,2的卡片需要在同一个信封里.

评注本题主要考查排列组合知识,考查考生分析问题的能力.

例 2某单位安排 7位员工在 10月 1日至 7日值班,每天 1人,每人值班 1天,若 7位员工中甲、乙排在相邻 2天,丙不排在 10月 1日,丁不排在 10月 7日,则不同的安排方案共有 ( )

A.504种 B.960种

C.1 008种 D.1 108种

分析约束条件有些繁杂,抓住甲、乙必须相邻这个条件进行讨论.

评注在限制条件比较多的排列组合问题中应抓住问题的关键,合理地进行分类讨论

图1

例 3如图 1,用 4种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F这 6个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的 2个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有 ( )

A.288种 B.264种

C.240种 D.168种

分析由题目的对称性,可考虑 D,E,F,B用了几种颜色.

解法 1(1)若 B,D,E,F用 4种颜色,则有×1×1=24种涂色方法;

因此共有 24+192+48=264种不同的涂色方法.故选 B.

解法 2可以“无中生有”想象.上下各增加一个顶点,它们也连线,颜色可以相同也可以不同,这里增加的 2个顶点颜色相同,其他 3个顶点的颜色不同有 2种.如果新增加的顶点颜色不同,那么相当于 4个元素的错位排列,有 9种,因此共有(2+9)=264种方法.故选 B.

评注几何图形的染色问题是排列组合问题中的亮点和难点.

例 4有 4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重 ”、“立定跳远 ”、“肺活量 ”、“握力 ”、“台阶”5个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有＿＿ 种.

分析注意到上午的测试项目和下午刚好有一项不同,可以先分组后排列.

解先分为 4组.若“台阶”和“握力”在一组,则有 2种分组办法;若“台阶”和“握力”不在一组,则有=9种分组办法.再由 4个同学选择,同乘,共有 264种方法.

本题主要考查排列与组合的相关知识点,突出考查分类讨论思想和数学思维能力.

例 52位男生和 3位女生共 5位同学站成一排,若男生甲不站 2端,3位女生中有且只有 2位女生相邻,则不同排法的种数是 ( )

A.60 B.48 C.42 D.36

分析这里有特殊元素甲,可以从甲入手处理,也可以从 2位女生相邻处理.

解从 3名女生中任取 2人“捆”在一起记作A(A共有=6种不同排法),剩下一名女生记作 B,2名男生分别记作甲、乙,则男生甲必须在 A,B之间(若甲在 A,B两端,则为使 A,B不相邻,只有把男生乙排在 A,B之间,此时就不能满足男生甲不在 2端的要求),此时共有 6×2=12种排法(A左 B右和 A右 B左),最后在排好的 3个元素中选出 4个位置插入乙,因此共有 12×4=48种不同排法.

评注实际上目前高考中的排列组合问题元素个数不是很多,但约束条件比较多,思维的深度增加,因此考虑的角度很多.这些方面值得广大考生关注.

精题集粹

1.将 5名同学分配到宿舍 A,B,C中,每个宿舍至少安排 1名学生,其中同学甲不能分配到宿舍A,那么不同的分配方案有 ( )

A.76种 B.100种 C.132种 D.150种

2.若 a,b,c是取自集合{1,2,3,4,5,6,7}中 3个不同的数,且满足 a b+b c+c a为奇数,则 a,b,c不同选取方法共有 ( )

A.132种 B.96种 C.60种 D.24种

3.有 8张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6张卡片排成 3行 2列,要求 3行中仅有中间行的 2张卡片上的数字之和为 5,则不同的排法共有 ( )

A.1 344种 B.1 248种

C.1 056种 D.960种

4.若 m,n均为非负整数,在做 m+n的加法时各位均不进位(例如:134+3 802=3 936),则称(m,n)为“简单的”有序数对,而 m+n称为有序数对(m,n)的值,那么值为 1 942的“简单的”有序对的个数是 ( )

A.150 B.300 C.480 D.600

5.用 4种不同的颜色为正方体的 6个面着色,要求相邻 2个面颜色不相同,则不同的着色方法有( )

A.24种 B.48种 C.72种 D.96种

6.用 0,1,2,3,4这 5个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有 1个偶数数字夹在 2个奇数数字之间,这样的五位数的个数有 ( )

A.48 B.12 C.36 D.28

7.如图 2,用 6种不同的颜色给图中的 4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的 2个格子颜色不同,且 2端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有＿＿ 种.

图2

10.某高三学生希望报名参加某 6所高校中的3所学校的自主招生考试,由于其中 2所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这 2所学校,则该学生不同的报名方法种数是＿＿(用数字作答).

参考答案

1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.D