相依序列方差变点的非参数统计分析

邹美红， 程建强， 何幼桦

(上海大学理学院，上海200444)

在金融和经济数据的研究中，条件方差函数(即波动率)是一项重要的研究指标，它与金融衍生证券(如期权)的价格和交易资产的风险度量(如受险价值)密切相关.因此，方差函数的改变将对整个策略和风险管理带来很大的影响.我们把方差函数突然发生变化的时间点估计问题称为方差变点问题.近年来，方差变点的研究已经成为金融和数理统计学家研究的热门课题.

经典变点理论研究的主要内容是：给定一个随机变量的序列，在序列中某个未知时刻分布函数潜在地发生变化，需要使用已知观测数据来估计分布中变点的位置，并在理论上研究变点检验统计量的性质.近年来，已有很多学者对变点问题给出了较为详尽的参数和非参数估计方法［1-2］.对经济数据的分析中可以发现，在很多情况下数据之间具有相依性结构，且分布函数形式未知.文献［3-4］讨论了数据的相依结构对变点估计的影响.文献［5］给出了相依序列变点的非参数估计，并得到了估计的最优收敛速度.对于方差变点问题，文献［6-7］分别给出了方差变点的最大似然估计(maximum likelihood estimation，MLE)估计和线性结构下方差变点的估计方法.文献［8］建立了相依观测下方差变点的非参数估计表达式，并详尽地讨论了变点检验统计量的渐近分布，但是，其主要思想是把非参数问题转化为参数问题进行研究.

本工作针对一阶非参数自回归条件异方差模型方差变点问题，在严平稳的β-混合过程前提的假设下，采用核局部线性方法［9］对变点k前后的方差函数进行估计.相对一般的非参数核密度估计，局部线性估计的好处是其为无偏的，对在内部和边界上的点同样成立，均会产生较小的偏倚.然后，以估计值的差值作为变点检验统计量，通过经典变点理论构造变点估计表达式，并着重讨论检验统计量的分布.由于有限样本下统计量分布的复杂性，本工作主要讨论其渐近分布并由此给出变点检验的方法.最后，通过随机模拟展示估计结果的有效性.

1 相依序列下方差变点的非参数统计分析

1.1 相依结构下方差变点的非参数估计

考虑如下一阶非参数自回归条件异方差模型：

式中，{Xt|t=1，2，…，n}为严平稳的β-混合过程，m(x)=E(Xt|Xt-1=x)，σ2(x)=Var(Xt|Xt-1=x)＞0分别为回归函数和方差函数，均具有二阶连续导数且函数形式未知.然而，某些情况下方差函数在某个未知时刻k可能发生变化，模型(1)也相应地转化为

本工作主要考虑模型(2)的方差变点估计及检验问题.文献［8］已建立了相依序列下方差变点的非参数估计表达式，并对变点检验统计量的渐近分布进行了详尽的讨论，但其主要思想是把非参数问题转化成参数问题来研究.本工作主要采用一般的非参数方法对方差变点进行估计，并进一步讨论检验统计量的渐近性质，进而得到变点检验的方法.

首先，给出变点检验统计量，即

为方便起见，上述检验统计量简记为Tk，从而由经典变点理论构造变点估计表达式为

1.2 相依结构下方差变点检验统计量的渐近性质

对于一般的变点问题，在变点估计之后还需考虑该估计点是否真的为变点，因此，我们需要对变点检验统计量Tk的分布进行讨论.然而，有限样本下检验统计量的分布较为复杂，所以，在此主要讨论统计量的渐近分布.

先给出假设(A1)～(A5)，在此假设下，可得到检验统计量的渐近性质.

(A1)对于给定的点x，序列{Xt|t=1，2，…，n}的一维概率密度函数p(x)＞0，方差函数(x)＞0，其中i=1，2，当k=3，4时，E(|Xt-1=z)在点x处连续.此外在包含点x的一个开集内一致连续.

(A3)核函数K为对称密度函数，在R内存在有界支撑和紧子集.此外，对于实值x1，x2，有|K(x1)-K(x2)|≤c|x1-x2|，并且|p(x1)-p(x2)|≤c|x1-x2|，其中c为与x1，x2有关的常数.

(A4)严平稳过程{Xt}是绝对正则的，即

在给出定理1的证明之前，我们先给出以下2个引理，其中由引理2可得到变点k前后方差函数非参数估计(x)和(x)的渐近分布.记(x)，(x)分别为前k个和后n-k个观测下回归函数m(x)的局部线性估计，其中引理1可由文献［10］中的引理1直接得到.

引理1 在假设(A3)～(A5)同时满足的条件下，令G⊂{p(x)＞0}为使得假设(A1)成立的紧子集，则当n→∞时，下式对x∈G一致成立：

式中，

文献［9］和文献［11］分别给出了无变点情况下回归模型方差函数的非参数估计，并对估计的渐近正态性给出了较为详尽的证明.下面在文献［11］的基础上，给出未知变点k前后方差函数估计(x)和(x)的渐近分布.

引理2 在假设(A1)～(A5)同时满足的条件下，当n→∞时，有

此引理的证明可参考文献［11］中的定理8.5，其中只需把样本容量n分成前k，后n-k两部分讨论即可.

下面给出定理1的证明.

I'j(1≤j≤8)与Ij定义方式相同，只是在第t个求和中，多了一个因子(Xt-1-x)/h.

由式(3)～(5)可知

由文献［10］中的定理1可知，当n→∞时，有

所以，本工作主要讨论{I6-I2}的渐近分布.

由假设(A2)和(A3)可知

绝对正则意味着α-混合，且α(j)≤β(j)，故由假设(A4)和文献［11］中的定理2.21及上述引理2可知，{I6-I2}渐近正态.

因为，

为方便起见，令k=nθ(0＜θ＜1)，则上式可转化为

对任意的t≥2(j＞t)，有

由假设(A4)的绝对正则条件和文献［12］中的引理1，可得

绝对值的上界为

对任意的t，j≥1，令

由于

当n→∞时，上式右端第一项和第三项都为0，而式(8)的值也为0，故

从而有E(I2I6)=0.由引理2可得，I2，I6的渐近方差分别为

故定理1得证.

1.3 方差变点检验

在讨论了变点检验统计量的渐近分布之后，我们给出变点存在的检验方法.由定理1可知，在原假设H0∶(x)=(x)(即模型不存在变点)成立的条件下，有

检验统计量Tk满足下式：

2 数值模拟

针对模型Xt=σ(Xt-1)ϵt，{ϵt|Xt-1，t=1，2，…，n}i.～i.dN(0，1)，方差函数σ2(x)在观测区间内有一个变点k0(0.1n＜k0＜0.9n)，其模型为

在如式(11)所示的方差函数形式下，变点k0前后样本序列的变化不明显，用目测方法几乎察觉不到变点的存在，但是通过本工作给出的方法却可以估计出变点的位置，并检验其是显著的.

下面采用本工作给出的变点估计表达式及检验方法，对不同样本容量n=100，200，400下不同位置的变点k0=0.3n，0.5n，0.7n，0.8n进行估计，并给出检验统计量‖Tk‖/Ck的p值，估计结果如表1所示，其中括号内的数值为p值.

表1 给定样本容量下的变点估计及检验统计量‖Tk‖/Ck的p值Table 1 Estimation of change point and p-value of test statistic‖Tk‖/Ckwith the given sample sizes

表1只是给定样本容量n=100，200，400下的一次模拟结果.通过多次随机模拟发现，对于较小样本容量(n≤200)下的变点估计，本工作提出的方法不是很理想，但对于较大的样本容量(n≥400)，估计及检验结果较为理想.对不同样本容量n=200，500，1 000下，变点位置分别为k0=100，300，500的点，随机模拟10次，最终得到估计值以及检验统计量‖Tk‖/Ck的p值，结果如表2所示.

表2 给定变点下随机模拟10次的变点估计值以及检验统计量‖Tk‖/Ck的p值Table 2 Estimation of change point for ten-time simulations and p-value of test statistic‖Tk‖/Ckwith the given change points

从表2可以看出，当样本容量n≤200时，估计结果较不稳定，产生误差较大，这是因为本工作所提出的变点估计是基于非参数模型，对样本容量的要求较高.当n≥500时，估计值k^0的精度随n的增加而提高，特别是在样本容量n=1 000，变点k0=500的情况下，模拟效果较为理想.

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