一类Cartan型余分裂李代数的例子

沈彩霞,夏利猛

(江苏大学理学院,江苏镇江 212013)

一类Cartan型余分裂李代数的例子

沈彩霞,夏利猛

(江苏大学理学院,江苏镇江 212013)

研究了正特征域上的一类Cartan型单李代数,得到了这类李代数的余分裂结构,同时得到了一类非半单的余分裂李代数.这一结果无法使用Carsimir算子方法得到.

余分裂;半单李代数;对偶;正特征域

0 引言

在文献[1]中,作者介绍了余分裂李代数的概念,即在李代数结构上带有一个容许的李余代数结构,简单地说,一个李余代数就是满足下面条件的三元组(L,μ,δ):

(1)(L,μ)是一个李代数;

(2)(L,δ)是一个李余代数;

(3)(容许条件)μ°δ=idL.

特别是对于复半单李代数来说,它们的伴随作用就是一个李余代数的余乘法运算,可以配以适当的系数使之满足余分裂李代数的容许条件,在文献[1]中已经证明了这一结果.

文献[1]中,得到了特征零的代数闭域上的余分裂定理,通过余分裂结构建立了Killing型和伴随作用之间的关系.

任意有限维复单李代数具有余分裂结构.设Xl型李代数是sln的子李代数L,则

其中,B表示sln的对偶空间到sln的同构,实际上和sln的Killing型有关,δres是X l的余乘法,等式右端则是Xl的伴随表示.

在文献[2]中,作者用Casimir算子(相关内容可见文献[3])和非退化对称不变双线性型的观点解释了余分裂性质,并将余分裂李代数的结构推广到了一般特征域上具有非退化对称不变双线性型的所有李代数上.在文献[4-5]中,余分裂的结构分别被推广到A(m,n)和一般具有非退化Killing型的李超代数上,使有关余分裂内容的研究更加丰富.

现在已知的余分裂单李代数的例子中(还有一些非半单的例子),无论零特征还是正特征,只有典型李代数的情形存在(A,B,C,D,E,F,G型在适当的特征域上).一个很自然的问题是,一般的Cartan型没有非退化对称不变双线性型,是否存在余分裂结构呢?

另外,假设L是一个特征p(p＞2)域上的Cartan型单李代数,没有非平凡的不变双线性型,则它和其对偶作为L模一定不是同构的.否则可定义同构映射

由于

因此在L上定义了一个非退化的对称不变双线性型,显然是矛盾的.因而作为L-模L和L＊是不同构的.

当L是余分裂的,则L＊也是余分裂李代数,那么L和L＊作为李代数一定是不同构的,因此另外一个问题是L＊会是什么样的?一定也是单李代数吗?

在本文中,我们将构造一类Cartan型单李代数的余分裂结构,特别是它们的对偶不再是单李代数的(甚至不是半单的).

1 一个李余代数的例子

在我们的构造中,一个李余代数的结构起到了重要的作用.设犉是一个特征不等于2的数域,在线性空间L=spanF{e,f,h,u,v}上定义余乘法:

2 一类Cartan型的余分裂李代数

引理得证.

其中每个M r均是sl2的自然表示,并且[M r,M s]=0.

注2.1在以往有关余分裂李代数的工作中,有一大部分单李代数被证明是余分裂的,而它们由于都具有非退化对称不变双线性型,因而都是自对偶的,或者说还不知道是否能有其他的余分裂结构(余分裂是否唯一的问题).而本文中给出的例子拓展了这方面的研究范围,即某些单余分裂李代数的对偶不再是(半)单的,某些半单李代数与某些非半单李代数之间存在的密切联系将是一个比较有意义的问题。

[1] XIA L,HU N.Introduction to co-split Lie algebras[J/OL].Algebra and Rep resentation Theory,to appear,DOI 10.1007/ s10468-009-9183-0.

[2] FARNSTEINER R.Lie algebras with a coalgebra splitting[J/OL].Algebra and Rep resentation Theory,to appear,DOI 10.1007/s10468-009-9178-x-0.

[3] KAC V.Infinite dimensional Lie algebras[M].3rd edition.Cambridge:Cambridge Press,1990:22-23.

[4] 夏利猛,胡乃红.A(m,n)型余分裂李超代数[J].中国数学年刊,2009,30A(1):127-130.

[5] 夏利猛,沈彩霞.具有非退化Killing型的余分裂李超代数[J].东北师大学报:自然科学版,2009,41(4):9-12.

A class of co-split L ie algebras of Cartan type

SHEN Cai-Xia,XIA Li-meng

(College of Science,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

In this paper,a classof Cartan type simp le Lie algebras are studied and their co-sp lit stucture is obtained,aswell as a class of non-semi-simp le co-sp lit Lie algebras are given.

co-sp lit;semi-simp le Lie algebras;duality;positive characteristic field

O 152.5

110·2125

A

1000-1832(2010)04-0017-04

2010-04-12

国家自然科学基金天元基金资助项目(10726036);国家自然科学基金青年基金资助项目(11001110);江苏大学高级人

才启动资金资助项目(07JDG035,07JDG038);江苏大学博士后基金资助项目(1143001034).

沈彩霞(1977—),女,博士,讲师;夏利猛(1976—),男,博士,副教授,主要从事李代数及其表示理论研究.

(责任编辑:陶 理)