三维Anti de Sitter空间中Lo rentzian曲面的S1t×S1s-值光锥Gauss映射的奇点分类

于海鸥,高瑞梅,孔令令,裴东河

(1.东北师范大学人文学院,吉林长春 130117; 2.东北师范大学数学与统计学院,吉林长春 130024)

三维Anti de Sitter空间中Lo rentzian曲面的S1t×S1s-值光锥Gauss映射的奇点分类

于海鸥1,2,高瑞梅2,孔令令2,裴东河2

(1.东北师范大学人文学院,吉林长春 130117; 2.东北师范大学数学与统计学院,吉林长春 130024)

利用A rnol'd的Legendrian理论,对三维A nti de Sitter空间中Lo rentzian曲面进行了研究.引入光维高度函数概念研究了三维Anti de Sitter空间Lo rentzian曲面的S1t×S1s-值、光锥Gauss映射的奇点,进行了奇点分类,揭示了类光Causs-k ronecker曲率之间的关系;并研究了Lorentzian曲面的一些基本几何性质.

Lo rentzian曲面;三维Anti de Sitter空间;S1t×S1s-值光锥Gauss映射;Lorentzian光维高度函数

文献[1-3]研究了四维M inkow ski空间中的类空曲面的光锥Gauss映射和类光超曲面的奇点,并且建立了这些奇点和相应曲面在Lorentzian群作用下的几何不变量之间的关系.Anti de Sitter空间是物理学中爱因斯坦广义相对论的数学模型,同时可视为嵌入到指标为2的伪欧氏空间中的三类伪球模型之一,所以研究Anti de Sitter空间的子流形的奇点尤为重要.本文着重对指标为2的四维伪欧氏空间的三维A nti de Sitter空间中的Lo rentzian曲面进行了研究.我们首先采用类似于四维欧氏空间中曲面理论的方法[4],建立了三维Anti de Sitter空间中的Lorentzian曲面的局部微分几何理论[5].但我们所研究的情况与欧氏和四维M inkow ski空间的情形有本质的区别.例如,在三维Anti de Sitter空间中,我们总是可以沿着Lorentzian曲面选择两个类光法方向,利用这两个方向,定义了一个Lorentzian不变量Kl(1,±1),并称它为Lorentzian曲面的类光Gauss-Kronecker曲率.其次,引入了光锥高度函数的概念,并揭示S1t×S1s-值光锥Gauss映射的奇点,光锥高度函数的奇点,以及类光Gauss-Kronecker曲率之间的关系.另外还研究了Lorentzian曲面的一些基本的几何性质.

本文中所涉及的映射与子流形均为C∞的.

1 三维Anti de Sitter空间中的Lorentzian曲面的局部微分几何

2 光锥垂足曲面

3 与类光超平面的切触

4 S1t×S1s-值光锥Gauss映射和光锥垂足曲面的奇点分类

假设(x0,y0)是一个类光抛物点,则S1t×S1s-值光锥Gauss映射只有折叠点和尖点.如果点(x0,y0)是一个折叠点,则存在(x0,y0)的一个邻域,在此邻域上S1t×S1s-值光锥Gauss映射是2到1,除非在类光抛物曲线上(即折叠曲线).如果点(x0,y0)是一个尖点,则临界值是一个普通的尖点.由标准形式,可以知道S1t×S1s-值光锥Gauss映射在临界值区域内是3到1.另外点(x0,y0)在这个区域的边界上.这意味着条件(4)中的(e)成立.我们注意到,在一个尖点的附近,存在2到1的点接近(x0,y0).然而,其中的一个点总是类光抛物点.由于其他类型的奇点在此种情况下不出现,所以条件(3)中的(e)(条件(4)中的(e))刻画了一个折叠(一个尖点).

若用光锥垂足曲面代替S1t×S1s-值光锥Gauss映射,则奇点只有尖棱或燕尾.对于燕尾(x0,y0),存在一个自相交曲线接近点(x0,y0).在这个曲线上,存在两个不同的点(xi,yi)(i=1,2),使得L PσM(x1, y1)=L PσM(x2,y2).这说明M=X(U)在点(xi,yi)的切类光超平面是相同的.由于此种情况没有其他类型的奇点,条件(4)中的(f)刻画了L PσM的一个燕尾.证毕.

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Singularities of S1t×S1s-valued lightcone Gaussmap of Loren tzian surface in An ti de Sitter 3-space

YU Hai-ou1,2,GAO Rui-mei2,KONG Ling-ling2,PEIDong-he2

(1.Institute of Humanities,Northeast Normal University,Changchun 130117,China; 2.School of M athematics and Statistics,Northeast No rmal University,Changchun 130024,China)

Use A rnol'd Legendrian singularity theory,established in Anti de Sitter 3-space of partial differential geometry Lo rentzian surface theo ry,introducing the concep t of light cone highly function, study the singularities ofS1t×S1s-valued lightcone Gaussmap of a Lorentzian surface in Anti de Sitter 3-space,and reveals the Gauss light-Kronecker curvature of the relationship betw een them,in addition,the research of some basic p roperties of Lorentzian surface.

Lo rentzian surface;A nti de Sitter 3-space;S1t×S1s-valued lightcone Gauss map;Lo rentzian light cone highly function

O 192

110·51

A

1000-1832(2010)04-0035-11

2010-09-04

国家自然科学基金资助项目(10871035);教育部新世纪杰出人才资助项目(NCET05-0319);东北师范大学人文学院

青年教师科研基金资助项目(2010003).

于海鸥(1982—),女,硕士,讲师;通讯作者:裴东河(1964—),男,博士,教授,主要从事奇点理论在微分几何中的应用研究.

(责任编辑:陶 理)