关于极值点的必要条件

赵 坚,高 夯

(1.中央广播电视大学数学系,北京 100031; 2.东北师范大学数学与统计学院,吉林长春 130024)

关于极值点的必要条件

赵 坚1,高 夯2

(1.中央广播电视大学数学系,北京 100031; 2.东北师范大学数学与统计学院,吉林长春 130024)

介绍了函数极值问题、泛函极值问题和最优控制问题,给出极值点与最优控制的必要条件,阐述了最优控制问题的新进展及它们之间的联系.

极值点;最优控制;必要条件

1 函数的极值点问题

2 泛函极值问题

泛函极值问题如同函数极值问题一样,具有大量的实际问题作为背景,如捷线问题、最小曲面问题、等周问题等.设集合

可以证明,集合Y(Y⊂C2[a,b])是一开集.设f是关于其各变量连续可导的函数,在Y上定义如下的泛函:

3 最优控制问题

其中,U⊂R是紧集.

假设f满足如下的条件:

(C1)f关于变量t可测,关于变量y连续可微,关于变量u连续.

注8在(3.1)式中,若A是有界算子,则方程(3.1)是常微分方程,且X=Rn.若A是无界算子,则方程(3.1)可以是偏微方程.例如A=Δ(拉普拉斯算子).则可选择X=W2,p0(Ω).对于任意的u∈U ad,在条件(C1)下,方程(3.1)存在唯一解.因此,可以在U ad上定义如下的泛函:

以及Uad=L2(Ω)等情形下,利用变量置换与惩罚泛函等手段,得到了相应的最优性条件.

在文献[12-13]中,作者在问题(3.9)中U是有限点集的情形,通过构造抛物控制系统,得到抛物系统最优控制的必要条件,证明了扰动的抛物系统的最优对收敛到原椭圆系统的最优对,从而得到椭圆系统最优对的必要条件.

在文献[14]中,作者为了克服U ad不凸的困难,采用了松弛方法[15].将松弛方法用到多解控制系统是作者的一个重要创新之处.同时,我们也看到了松弛控制方法也很难使用到很一般的情形.

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On the necessary conditions of m in imal element

ZHAO Jian1,GAO Hang2

(1.Department of Mathematics,China Central Radio and TV University,Beijing 100031,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Northeast Normal University,Changchun 130024,China)

In this paper,discuss the p roblem s of function minimal element,functional m inimal element and p roblem of op timal control.Give the necessary conditions of m inimal elements and op timal control.On one hand,the new p rogress is introduced on op timal control research,on the other hand, give the relation of minimal elements and op timal control.

m inimal element;op timal control;necessary condition

O 231.2

120·30

A

1000-1832(2010)04-0001-05

2010-09-15

国家自然科学基金资助项目(10871039).

赵坚(1958—),女,硕士,副教授,主要从事应用数学研究;通讯作者:高夯(1956—),男,博士,教授,博士研究生导师,主要从事控制理论研究.

(责任编辑:陶 理)