模糊同余关系下的模糊粗糙群的运算

张金玲

(襄樊学院 数学与计算机科学学院, 湖北 襄樊 441053)

模糊同余关系下的模糊粗糙群的运算

张金玲

(襄樊学院 数学与计算机科学学院, 湖北 襄樊 441053)

以群上的模糊正规子群与群上的完备的模糊同余关系的对应出发，研究模糊同余关系下的模糊粗糙群的若干运算性质，补充和丰富模糊集与粗糙集的交叉理论.

模糊正规子群；模糊同余关系；模糊粗糙群

Zadeh首先提出了模糊集的概念. 随后Sanchez利用模糊思想对模糊关系进行了研究，Nemitz和Murali更将结果扩展到模糊等价关系的范畴. 而此后的 Samhan在具有代数运算的半群基础上，引进了模糊同余的概念，把模糊等价关系与一定的代数结构相结合研究了商结构. 波兰数学家Z.Pawlak首先提出了粗糙集理论，此后Pawlak粗糙集模型的推广一直是粗糙集理论研究的主流方向. 自从1996年Banerjee and Pal.S.K等人在近似空间上定义了模糊集的粗糙集(即粗糙模糊集)后，这方面的推广工作已有人做了尝试性研究.

本文在此基础上，通过群上的模糊正规子群与群上的完备的模糊同余关系的对应出发，研究了模糊同余关系下的模糊粗糙群的若干运算性质.

1 预备知识

定义 1.1[1]设G是一个群, 称G上的模糊等价关系ρ为G上的一个模糊同余关系,若ρ满足: 对∀ a,b, x ∈ G ,ρ( ax, bx) ≥ ρ( a, b)，ρ(xa, xb )≥ ρ(a, b).

引理 1.1[1]设ρ，θ是群G上的模糊同余关系，则是群G上的模糊同余关系的充要条件是.

引理 1.2[1]设ρ是群G上的一个模糊同余关系，则,∀x∈ G 是G的模糊正规子群，且；反之，设N是群G上的一个模糊正规子群，在G上定义模糊关系，则是群G上的一个模糊同余关系，且，其中，.

于是，G /ρN= {[a ]ρN|∀ a∈ G} = {a N|∀ a∈ G}是 ρN关于群G的一个模糊划分，称为群G的一个模糊商集.

定义 1.3[1,6]称群G上的一个模糊同余关系ρ称为是完备的模糊同余关系, 如果对∀a, b∈G，有.

下面给出的定义和结论都散见于相关的文献中，作为后文主要结果的预备知识.

引理 1.3[1]设N是群G上的一个模糊正规子群，则由N决定的模糊同余关系Nρ是完备的模糊同余关系.

定理 1.1[1]设G是一个群,则群G上的所有的完备的模糊同余关系与G上的所有的模糊正规子群之间存在一一对应.

注：本文所提及完备的模糊同余关系均指由G上的某一模糊正规子群所决定的完备的模糊同余关系.

引理1.4[2]设ρ是论域U上的一个模糊同余关系，则 ∀λ∈ [0,1]，= {(a, b) ∈ U × U |ρ( a, b)≥ λ}是U上的一个同余关系.

定义1.4 设ρ是论域U上的一个模糊等价关系，称(U,ρ)为一个模糊近似空间. 对于U上的一个模糊子集A，则的λ−截集和强λ−截集分别定义如下：

引理1.5[3]设(U,)ρ为一个模糊近似空间，对于U上的一个模糊子集A，则

2 模糊粗糙群的运算

群中关于模糊正规子群同余的模糊粗糙群有着很好的一些运算性质.

引理2.1 设ρ，θ是群G上的完备的模糊同余关系，则Nρ∩θ= Nρ∩ Nθ.

证明 ∀a∈ G, Nρ∩θ( a )= (ρ∩θ) (e, a ) =ρ( e, a ) ∩θ(e, a ) =Nρ(a ) ∩Nθ(a )=(Nρ∩Nθ)(a). 所以，.

对应地，有

引理2.1＊设 ρN，ρH是群G上分别由模糊正规子群N, H决定的模糊同余关系，则 ρN∩H=ρN∩ ρH.

证明 ∀a, b ∈G,(ρ ∩ρ)(a, b )= ρ(a, b ) ∧ρ (a, b ) =N( a−1b ) ∧H( a−1b)=

NH N H (N ∩H )(a−1b)=. 所以，ρ=ρ ∩ ρ.N∩HNH

推论2.1 设 ρN是群G上的由模糊正规子群N决定的模糊同余关系，则 ρNρ=ρ.

证明 ∀a, b ∈ G,ρNρ(a, b )= Nρ(a−1b ) =ρ(a, b). 所以， ρNρ=ρ.

引理2.2 设ρ，θ是群G上的完备的模糊同余关系，则∀a∈G， a( Nρ∩ Nθ)= aNρ∩ aNθ.证明. 所以，a( Nρ∩ Nθ)= aNρ∩ aNθ.

引理2.2＊设是群G上分别由模糊正规子群N, H决定的模糊同余关系，则

证明 ∀a∈G，[a ]ρN∩ρH=[a ]ρN∩H=a( N ∩H ) =aN∩aH =[a ]ρN∩[a]ρH. 所以，∀a∈G， [a ]ρN∩ρH=[a]ρN∩[a]ρH.

推论2.2 设ρ，θ是群G上的完备的模糊同余关系，则∀a∈G，.

证明 ∀a∈ G,[ a ]ρ∩θ= a Nρ∩θ= a ( Nρ∩ Nθ) =(a Nρ) ∩ (aNθ) =[a ]ρ∩[a]θ. 所以，.

定理2.1 设ρ，θ是群G上的完备的模糊同余关系，则ρ∩θ是群G上的完备的模糊同余关系.

证明 因为ρ，θ是群G上的完备的模糊同余关系，所以，ρ，θ分别对应于群G的模糊正规子群Nρ, Nθ，从而，是群G的模糊正规子群，于是Nρ∩θ对应的模糊同余关系ρ∩θ是群G上的完备的模糊同余关系.

定理2.2 设ρ，θ是群G上的完备的模糊同余关系，则 ∀A ∈ F( G)，则

引理2.3＊设是群G上的分别由模糊正规子群N, H决定的模糊同余关系，则 ρNH=ρNρH.

证明 ∀a, b ∈ G, z ∈G ，记a−1z = x, z−1b =y ，则 xy=a−1b，且(a, b)=ρNH(a, b)，所以， ρNH=ρNρH.

引理2.4 设ρ，θ是群G上的模糊同余关系，则∀a, b∈G，[a b]ρθ= [ a]ρ[ b]θ.

证明 ∀a, b∈G，[ab ]ρθ= a bNρθ= a bNρNθ=aNρbNθ=[a ]ρ[b]θ，所以，[ab ]ρθ= [ a]ρ[ b]θ.

3 结语

上面所讨论的模糊同余关系下的模糊粗糙群的运算性质，可为进一步研究模糊同余关系下的模糊粗糙群的同态等结构研究作出必要的准备. 在此后的学习和研究中，作者将致力于这方面的工作.

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[7] JACOBSON N. 基础代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987.

The Operation of Fuzzy Rough Groups Based on Fuzzy Congruence Relation

ZHANG Jin-ling
(School of Mathematical & Computer Sciences, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

In this paper, based on the corresponding relation between fuzzy normal subgroups and complete fuzzy congruence on a group, the operation properties of fuzzy rough groups based on fuzzy congruence relation were studied. Some interesting results were obtained which supplemented and enriched the cross theory concerned with both fuzzy sets and rough sets.

Fuzzy normal subgroups; Fuzzy congruence relation; Fuzzy rough groups

O115

A

1009-2854(2010)05-0005-03

2010-05-07

张金玲(1974— ), 女, 湖北宜城人, 襄樊学院数学与计算机科学学院副教授.

饶 超)