一道中考题的追溯、提炼及其应用

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(定远中学 安徽定远 233200)

一道中考题的追溯、提炼及其应用

●韩敬

(定远中学 安徽定远 233200)

作为衡量学生学习成果的中考试题，凝聚着中考命题专家们的智慧，体现了新课改精神和命题的导向.深入研究中考试题的命题背景以及与往年中考试题的关系，并从中总结规律，对于提高学生的解题能力是一个很好的途径.下面以2009年安徽省数学中考试卷中的一道题为例说明，以飨读者.

1 试题及其解析

例1如图1，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．

(1)写出图中3对相似三角形，并证明其中的1对；

(2009年安徽省数学中考试题)

图1 图2

分析(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下证明△AMF∽△BGM．由∠AMG=∠MGB+∠B且∠AMG=∠AMF+∠DME，可得

∠AMF=∠MGB.

又因为∠A=∠B，所以

△AMF∽△BGM．

(2)略．

2 追溯

由这道题联想到课本中的一道习题：沪科版第95页C组复习题的第1题.

例2如图2，△ABC，△DEF均为正三角形，点D，E分别在边AB，BC上,请在图中找出一个与△DBE相似的三角形并证明.

分析由题意知：∠B=∠C=∠DEF=60°，不妨找△ECH与△DBE相似.因为∠1+∠DEF=∠2+∠B，所以∠1=∠2.又∠B=∠C，故

△ECH∽△DBE.

同理可得 △DAG∽△DBE;△GFH∽△DBE.

因此与△DBE相似的三角形有△DAG，△GFH，△ECH.

3 对比反思、提炼基本图形

由例2中的隐含条件“∠B=∠C=∠DEF=60°”到例1中的“∠DME=∠A=∠B=α”这一变化，可以看出例1的形成是以例2为背景的，例1是例2的延伸、拓展.这里体现了“一般与特殊”的关系,这样的关系促使我们再来思考例1.经过探索发现：如图3所示，在△ABC中，AB=AC，当∠B=∠C=∠EPF=α时，总有△BPE∽△CFP；

类似地，把这里的“等腰三角形”替换为“等腰梯形”，如图4所示.显然当∠B=∠C=∠EPF=α时，也总有△BPE∽△CFP.特别地，当∠B=∠C=∠EPF=90°时，如图5所示,显然有△BPE∽△CFP，于是得到了3个较为常见的基本图形.

图3 图4 图5

4 探索应用

从近几年的中考数学试题可以发现这3个基本图形频频出现，命题者以此模型为背景，直接或间接地利用这样的模型，命制出一批构思巧妙、立意新颖的好题.

4.1 直接应用

例3如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°.设AE=x，DF=y.

(1)求y与x的函数表达式；

(2)当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

(2007年江苏省南京市数学中考试题)

分析(1)由∠ABC=60°，可知∠A=∠D=120°，所以∠A=∠D=∠BEF=120°.由基本图形4可得，△ABE∽△DEF，于是

AB∶DE=AE∶DF，

即

6∶(6-x)=x∶y，

整理得

评注此题将相似三角形与二次函数的内容有机结合，解决本题的关键是解决第(1)小题.而在第(1)小题中,巧用基本图形4是迅速解决问题的突破口.由基本形易得2个三角形相似，再根据“相似三角形的对应线段成比例”这一性质，从而得到了函数表达式.要完成第(2)小题，只要对这个表达式进行正确的配方即可.

图6 图7

例4如图7，正方形ABCD边长为4，M，N分别是BC，CD上的2个动点，当点M在线段BC上运动时，保持AM和MN垂直.

(1)证明：Rt△ABM∽Rt△MCN.

(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式.当点M运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积.

(3)当点M运动到什么位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.

(2009年广东省数学中考试题)

分析(1)由∠B=∠C=∠AMN=90°，可得基本形图5，易得Rt△ABM∽Rt△MCN.

当x=2时,y取到最大值,即当点M为BC的中点时,ABCN的面积最大,最大值为10.

(3)要使Rt△ABM∽Rt△AMN，只要AB∶AM=BM∶MN成立即可.由第(1)小题知Rt△ABM∽Rt△MCN，显然AB∶AM=MC∶MN，因此

BM∶MN=MC∶MN，

即BM=MC，故M为BC的中点，此时x=2.

评析这是一道关于点运动型的综合性较强的试题.本题把相似三角形的内容与二次函数内容巧妙地融合，对于第(1)小题，利用基本图形5，易证得2个三角形相似，这对相似三角形是解决后2个问题的必要条件；利用这对相似三角形中的成比例线段，第(2)小题顺利得解；尤其是第(3)小题，由逆向思考，再结合原相似三角形中的成比例线段，从而巧解该小题.

4.2 逆向应用

图8

例5如图8，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P,Q同时从点A,B出发，分别沿AB,BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，当点Q到达点C时，点P,Q都停止运动.设运动时间为t(s)，解答下列问题：

(1)当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

(2)设△BPQ的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；

(3)作QR∥BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

(2008年福建省福州市数学中考试题)

分析(1)易证△BPQ为等边三角形.

(2)易得

(3)由QR∥BA可得,∠APR=∠QRP及BQ=AR.要使△APR∽△PRQ，只需∠A=∠QPR=60°即可.当∠QPR=60°时，有

∠A=∠B=∠QPR=60°，

可得基本图形3，易知△BQP∽△APR，所以

BQ∶BP=AP∶AR，

即

2t∶(6-t)=t∶2t，

评注本题是一个关于点运动型的问题.前2个小题学生容易解答.对于第(3)小题，难度较大.若考虑到将其转化为基本图形3，巧妙地构造出2个三角形相似，利用比例线段,易求得t值.本小题运用逆向思维,把问题转化为基本图形来解决,这一转化使问题变得简单、易解，学生的逆向思维能力得到提高，也渗透了转化思想.

4.3 构造应用

图9

(1)求证:△AOE与△BOF的面积相等.

(2)记S=S△OEF-S△ECF,当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

(3)请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，点C恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

(2008年浙江省湖州市数学中考试题)

分析(1)容易证得△AOE与△BOF的面积相等.

S△EOF=S矩形AOBC-S△BOF-S△AOE-S△ECF=

12-k-S△ECF,

因而

S=S△EOF-S△CEF=12-k-2S△ECF=

(3)假设存在点F，使得将△CEF沿EF对折后，点C恰好与边OB上的点G重合.作EH⊥OB于点H，则

∠EHG=∠GBF=∠EGF=90°.

可得基本图形5，显然△EGH∽△GFB，因此

EH∶GB=EG∶GF.

代入解得

在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，即

评析前2个小题考查的是反比例函数图像上点的几何意义，不难解决;第(3)小题是一个折叠型问题,又是一个关于“点是否存在型说理题”，难度较大.但在假定点F存在的情况下，巧妙地构造出基本图形5，这是解决问题的突破口，题目难度也因此大大降低.由“相似三角形对应边成比例”的性质，可求出GB，再结合勾股定理，建立方程解得k值，从而说明点F是存在的.

图10

例7如图10,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0，1)，且b=-4ac.

(1)求抛物线的解析式.

(2)在抛物线上是否存在一点C，使得以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆心点P的坐标.

(3)根据第(2)小题的结论，你发现B，P，C这3个点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

(2008年湖北省荆门市数学中考试题)

分析(1)易知c=1,由b2-4ac=0与b=-4ac,可得b=-1,从而

因此

(2)假设存在满足题设条件的点C.设C(x,y)，则

∠AOB=∠ADC=∠BAC=90°，

可得基本图形5，易得

△AOB∽△CDA，

于是

AO∶OB=CD∶DA，

即

2∶1=y∶(x-2)，

解得

y=2x-4.

由

解得

x1=10,y2=16或x2=2,y2=0.

因此点C存在，且坐标为(10，16)或(2，0).

当C(10，16)时,P2为BC的中点,过点P2作P2F⊥OD于点F，可得点F为OD的中点.由梯形中位线定理,易知

所以

(3)设B(x1,y1),P(x2,y2),C(x3,y3)，由第(2)小题的分析可知

图11

评析第(1)小题利用方程思想，易得所求函数的解析式;求解第(2)小题的关键在于利用“直径所对的圆周角为直角”，巧妙地构造出基本图形5，这一转化可以说是化陌生为熟悉，大大缩短了思考时间.在假定点C存在的情况下，利用2个三角形相似及原函数的关系式，联立方程组求出点C的坐标，易判断点C存在，也由此探究出第(3)小题的结论.

例8如图11，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是(-1,2)．

(1)求点B的坐标；

(2)求过点A，O，B的抛物线的表达式；

(3)连结AB，在第(2)小题中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO．

(2009年陕西省数学中考试题)

分析(1)过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E．由

∠AFO=∠AOB=∠OEB=90°

可得基本图形5，显然

Rt△AFO∽Rt△OEB，

所以

即BE=2，OE=4，故点B的坐标为B(4，2)．

(2)易求得抛物线的表达式为

(3)由题意知AB∥x轴.设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，则

易得d=2，显然点P的纵坐标只能是0或4.

当y=0，即

时，解得x=0或x=3，因此符合条件的点为P1(0,0)，P2(3,0)；

同理可得:当y=4，即

时,解得

评析本题是一道融几何与代数为一体的综合性试题，此题中的3个小题的设计有梯度，后1个小题的解决都是建立在前几个小题的基础上，因此第(1)小题解答的正确与否直接关系到后2个小题.显然，巧妙地构造出基本图形5是解决本题的关键，这一构造把求点的坐标转化为相似问题来解决，体现了转化和数形结合的思想．