B2型的基及其基变换

郝晓斌,原新凤

(河南工程学院 数理科学系，河南 郑州 451191)

量子群作为经典李群、李代数的基本对称概念的推广，有着丰富的代数、几何及物理性质.近二十年来，量子群理论引起了许多数学家和数学物理学家的注意，目前这一理论已取得了很大的发展.例如，Lambe 和Radford 等系统地研究了量子群和一般Hopf代数与量子Yang-Baxter方程的解的关系[1]；Luszting、Rosso和Anderson等研究了任意有限维半单李代数g的量子包络代数Uq(g)的表示[2-6].文献[7]给出了A′上B2型量子代数的两组典范基.本文进一步分析这两组基的结构，给出了它们之间基变换.

令(aij)n×n是Cartan矩阵，aij=2，aij≤0(i≠j)，(d1，…，dn)∈Z×…×Z,满足di∈{1，2}，且使(diaij)是正定对称矩阵.

令v是未定元，A=Z[v，v-1],A′=Q(v) 是A的分式域.对于给定的整数M，N，m，n，d≥0，定义:

以上两组基都有无限个元素.本文的结论是在一组基中任取一元素，都可以在这组基中找到一个包含该元素的有限集合，对应地在另一组基中找到另一个有限集合，这两个有限集元素个数相等，两者元素可互相表出.

1 B2型量子代UA′数的子代数的典范基

定理2.1 令H=(a，b，c，d)∈N4.则元素θ(a，b，c，d)∈B可由下式子给出:

θ(a，b，c，d)=

式中ξ0(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′.

证明利用文献[7]的2.2中(1′)～(6′)式易证.

引理2.2 令a，b，c，d∈N，则:

式中η(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′.

证明根据上面的交换公式以及Lusztig的公式有:

η3(r，s，t，u，o，p，q，m),η1(r，s，t，u，o，p，q，m，i，j，k)，η5(r，s，t，u，o，p，q，m，i，j，k)∈A′.

定理2.2 令H=(a，b，c，d)∈N4. 则元素θ(a，b，c，d)∈B可由以下式子给出:

θ(a，b，c，d)=

式中η0(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′.

证明由引理2.2 可得:

再根据文献[7]，其中的6个表达式可以统一为:

θ(a，b，c，d)=

式中η6(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′. 定理得证.

2 B2型量子代数UA′的子代数的基变换

N+∪{0}}}，

证明首先M=Ø，事实上，对于任意一组非负整数t1，t2，则(t1，0，0，t2)∈M. 易知M是有限集合. 设(a，b，c，d)∈M，根据定理 2.1和定理 2.2得:

θ(a，b，c，d)=

(1)

(2)

所以(a+r，s，t，d+u)∈M， 因此

设M中元素个数为n, 则I和I′中元素个数也分别为n, 对M中每一组解，都可得到一个等式，所以有:

由 ξ0(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′，

η0(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′，可知A，B的元素属于A′. 因为典范基中的元素θ(a，b，c，d)和I， I′中的元素分别是A′线性无关的，所以A，B为n阶可逆矩阵，命题得证.

参考文献：

[1] LAMBE L A, RADFORD D E. Algebraic aspects of the quantum Yang-Baxter equation[J]. J.Algebra, 1993(154):228-288.

[2] ANDERSEN H H, POLP P, WEN K X. Representations of quantum algebras[J].Invent Math,1991(104):1-59.

[3] LUSTING G.Finite dimensional hopf algebras from quantized universal enveloping algebras[J].Amer. Math Soc,1990(3):257-296.

[4] LUSTING G.Canonical bases arising from quantized enveloping algebras[J].Amer. Math Soc,1990(3):447-498.

[5] LUSTING G.Modular representations and quantum groups [J]. Contemp. Math,1989(82):59-77.

[6] LUSTING G.Quantum groups at roots 1[J].Geom. Dedicata,1990(35):89-113.

[7] XI Nanhua.Canonical basis for type B2[J]. Journal of Algebra,1999(214):8-21.