多级抗混叠滤波器的优化设计

周卫星， 占履军， 林雪君

(华南师范大学物理与电信工程学院，广东广州 510631)

多级抗混叠滤波器的优化设计

周卫星， 占履军， 林雪君

(华南师范大学物理与电信工程学院，广东广州 510631)

针对在大抽取率的情况下，采样率变换系统对抗混叠滤波器性能指标的高要求，讨论了采用多级变换实现大抽取率采样变换的工作原理，并利用MATLAB对多种分级组合时滤波器的阶数和乘法运算量进行了仿真分析，最后给出了实现多级采样率变换系统优化设计的基本原则.

采样率变换； 抗混叠滤波器； 多级系统

采样率变换在信号处理中有着广泛的应用. 20世纪70年代出现的两通道正交镜像滤波器组应用于语音信号的压缩，就是采样率变换的一个典型应用. 另外，随着软件无线电技术的发展，ADC器件越来越接近系统的前端，所产生的数据量也越来越大，使后续的DSP器件或FPGA器件不堪重负. 无线电接收机接收的是系统的整个频段，但对单个用户来说，在一个时间内，只会占用其中一个很窄的信道，因此，可以通过采样率变换降低信道的数据量，以减轻基带处理部分对DSP或FPGA计算能力的要求[1]. 降低采样频率称为抽取，当抽取率很高时，通常采用多级抽取技术. 多级抽取所需的计算量要比单级直接抽取小得多，但如何在设计中合理分配各级的抽取率，保证混叠误差最小的情况下使滤波器的效率最佳，是多级抽取滤波器设计的关键之一[2].

1 采样率转换系统的多级实现

要进行无失真的抽取，必须进行抗混叠滤波，这个抗混叠滤波器的通带宽度为fS/(2D)，D为抽取因子. 以移动通信系统为例，D一般为100～1 000，这样高倍数的抽取因子，所要求的抗混叠滤波器的带宽很窄，且过渡带也非常陡峭. 过渡带非常陡峭的数字滤波器，其阶数都会很大，可达到几百甚至上千阶，这对滤波器的实现会带来很大的困难. 而且阶数太大，还容易会使系统的特性非常不稳定. 因此在实际的设计中，一般都采用多级结构进行分级滤波和抽取，以求降低对抗混叠滤波器的要求.

图1 J级整数因子抽取的级联Fig.1 The cascade of J-level integer factor extraction

图1中输入序列的采样频率Fx=Fs，第i级输出序列的采样频率为：Fi=Fi-1/Di(i=1,2,3,…,j),hi(n)是第i级的抗混叠滤波器，其阻带截止频率应满足：

ωsi=π/Di.

(1)

(2)

按照式(1)和式(2)设计的每一级抗混叠滤波器，可以保证各级抽取后无频谱混叠现象. 但通过下面的分析可以证明，在保证总抽取系统输出要求的情况下，各级滤波器的过渡带可以放宽，从而使滤波器的阶数降低.

按整数因子D抽取,只能且只需保留输入信号x(n)中的频谱成分的范围为：0≤|f|Fx/(2D)，所以用多级实现时，只要使每级滤波器在该频段上无频谱混叠，就可保证系统输出信号的频谱成分在0≤|f|Fx/(2D)中无混叠分量.

设系统总的频率响应如图2(a)所示，其中：通带为0≤|f|fp;过渡带为fp≤f≤fs;阻带截止频率为fs≤Fx/(2D).

在多级级联系统中，为保证总系统的通带，各级滤波器的通带截止频率fpi应不小于系统总响应的通带截止频率fp. 这里取第i级的通带截止频率为

fpi=fp(i=1,2,3,…,j);

(3)

第i级的阻带截止频率为

fsi=Fi-fs(i=1,2,3,…,j).

(4)

此时，第i级滤波器的频率响应特性如图2(b)所示，第i级抽取器输出端频谱示意图如图2(c)所示.

图2 频谱示意图Fig.2 Spectrum diagram

由图2(c)可见，在0≤|f|fs上无频谱混叠.

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用式(2)确定hi(n)阻带截止频率时，其过渡带宽度为：

用式(3)和式(4)确定hi(n)阻带截止频率时，其过渡带宽度为：

ΔB2=fsi-fp=Fi-fs-fp.

采用上述2种条件确定的过渡带之间的变化为：

通常总有Fi>2fs，可见，采用式(3)、(4)确定的hi(n)的过渡带，其宽度要大于由式(2)确定的hi(n)的过渡带. 由于过渡带变宽,滤波器的阶数会减少,使滤波器的实现更为方便.

2 多级采样率变换系统的优化分析

当抽取因子D确定后，在进行多级变换时，怎样合理地分配各级的抽取系数Di，使系统的空间和时间代价最低，是设计多级系统的一个关键. 在实际设计中，各级一般采用抽取率为2的抽取器为基本单元，若抽取率D=D1×2K，则在第一级采用运算简单的级联积分梳状抽取(Cascaded Integrator-Comb，CIC)滤波器，其抽取率为D1，其后，采用K个半带滤波器和2倍抽取器[1].

首先分析一个实例. 考虑从带宽为4 000 Hz(采样频率为Fs=8 000 Hz)的信号中分离出40 Hz以下的频率成分. 采用降采样的抽取技术，将采样频率由8 000 Hz降到80 Hz,即D=100. 为了进行比较，图3分别给出了单级直接抽取时，线性相位FIR滤波器的幅频响应(虚线)和D1=25、D2=4的两级抽取后的输出幅频响应(实线).

图3 100倍直接抽取和25*4二级抽取的幅频响应图

Fig.3 The amplitude frequency response diagram of direct extraction of 100 times and 2nd-level extraction of 25*4

2种方式的其他数据比较如表1所示. 从表1可以看出，采用二级抽取时，不但系统的频率响应比直接抽取时要好，而且对应滤波器的阶数也只占直接抽取时的6.650 7%，乘法运算量占直接抽取的13.799 3%.

表1 100倍直接抽取和二级抽取的比较

Tab.1 The comparison of direct extraction of 100 times and 2nd-level extraction

滤波器阶数乘法运算量/(次·秒-1)直接抽取5022401760二级抽取33455440

显然，对于D=100的抽取要求，采用多级级联时，各级的抽取率并不只有25*4一种分解的可能，20*5、10*5*2、5*5*2*2等都可以组成多级系统，这时就存在一个哪种分解方案最优的问题. 图4、图5是运用matlab计算出D=50和D=100倍抽取时各种分解方案的比较.

图4 D=50时，多级滤波器的阶数占直接抽取的百分比

Fig.4 The percentage of the order of multistage filter whenD=50

图5 D=100时,各种组合时滤波器的总阶数

Fig.5 The total order of filter by various combinations whenD=100

数字滤波器的乘法运算量与滤波器的阶数是直接相关的，一般情况下，阶数越大，对应的乘法运算量越大. 由图4、图5可见，不同的分级组合在空间(阶数)和时间(乘法运算)的复杂度上会有很大的不同.

分析上面的结果，可以看出，由一级、二级到三级的方案中，滤波器的阶数和计算量递减较快，但由三级到四级阶数和数据量的减少远不如一级到二级、二级到三级明显. 对于二级组合D=25*4：总阶数为334,乘法运算量占直接抽取13.80%；三级组合D=10*5*2：总阶数为182,乘法运算量占直接抽取的11.33%；四级组合D=5*5*2*2:总阶数为165,乘法运算量占直接抽取的11.79%.

3 总结

当数字信号多速率变换时要求有较大的抽取率，采用单级实现时，对相应的抗混叠滤波器(抗镜像滤波器)将有很高的指标要求，有时这些指标是难以实现的. 而如果将单级实现转化为多级级联实现，则可使各级滤波器的阶数大大下降，对应的运算量也大幅减少. 利用前述matlab软件进行的各种设计方案的比较，可以得到下面结论：

(1)运算量降低的方案与优化存储量的设计方案基本一致.

(2)抽取率很大时，采用多级结构，不管是运算量还是存储量都较单级结构优越.

(3)当各级抽取比满足D1≥D2≥D3≥…≥Di，多级结构较优.

当需要的抽取率并不是整数时，需要通过内插和抽取的组合. 例如,当需要进行2.5倍的抽取时，可先进行2倍内插，然后进行5倍的抽取. 本文只对抽取进行了分析，对于内插，读者可参考有关文献.

[1] 李翔，万栋义. 数字下变频中抽取技术研究[J].电子科技大学学报,2006,35(4):471-473;523.

LI Xiang, WAN Dongyi.Research on decimation technique of digital downconversion[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2006,35(4):471-473;523.

[2] 郑拯国,陈光梦. 一种用于软件无线电中的有效的采样率转换算法[J]. 微型电脑应用,2007,23(11):9-10.

ZHENG Zhenguo, CHEN Guangmeng. An effective conversion algorithm of sampling rate applied in software wireless[J]. Microcomputer Applications,2007,23(11):9-10.

[3] 伯卡斯，拉卡斯.数字信号处理：原理、算法与应用[M].张晓林，译.北京：电子工业出版社，2004.

Keywords： sample rate conversion; anti-aliasing filter; multi-level system

【责任编辑 庄晓琼】

OPTIMIZATIONOFMULTI-LEVELANTI-ALIASINGFILTER

ZHOU Weixing, ZHAN Lujun, LIN Xuejun

(School of Physics and Teleommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

The realization principle of large extraction rate sampling transform by multi-stage sampling rate conversion is discussed for large decimation rate. The order and multiplication computation of various combination filters are calculated in virtue of the Matlab language. Finally, the basic realization and optimization principle of multi-stage sampling rate conversion system are proposed.

2010-03-31

广东省科技攻关资助项目(2008B0080701053)；广东省产学研资助项目(2009B090300336)

周卫星(1958—),男,江苏睢宁人,华南师范大学副教授, 主要研究方向：信号处理和嵌入式系统, Email: zhouwx@scnu.edu.cn.

1000-5463(2010)03-0050-03

TN911.72

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