与一般球面三角形关联的空间体体积

韩随军，郝晓辉

（1.迁安市第二中学，河北 迁安 064400；2.唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

球面几何的知识与人类的生产、生活密切相关，航海、航空、卫星定位等都离不开球面几何的有关知识。对球面几何的性质已有许多研究[1,2]，尤其是球面三角形，如同平面几何中的平面三角形一样，因其在球面几何中的重要性，对球面三角形的研究更为人们所关注[3,4]。

有些问题并不直接属于球面几何的研究范围，但与球面几何有密切关系。这类问题的研究也有其理论价值和实用价值。本文中将研究与一般球面三角形关联的空间体的体积，这在材料学形核理论中有重要应用。

1 一般球面三角形

任意一个平面与球面有三种位置关系：相离、相切和相交，其中相切可看作相交的特殊情形。这三种位置关系中，最重要的是相交的情形。此时，截面是一个圆，即平面与球面的交线是一个圆。把经过球心的平面截球面得到的圆叫大圆，不经过球心的平面截球面得到的圆叫小圆。大圆的半径就是球的半径，而小圆的半径则小于球的半径。我们通常所说的球面三角形是球面上三个大圆的劣弧首尾依次相接构成的封闭图形。而过球体内任意一点的任意三个相交平面截球面也可以构成封闭图形，此时称为一般球面三角形。显然，通常所说的球面三角形是一种特殊情形。

把一般球面三角形以及构成球面三角形的三个相交平面所围成的空间立体称为与一般球面三角形关联的空间体。

2 与一般球面三角形关联的空间体体积

构成一般球面三角形的三个相交平面的交点可不通过球心，它的位置是任意的，并且三个平面也是任意的，因而与一般球面三角形关联的空间体也是任意的，其体积的计算比较困难。文中只对一种特殊情形进行研究，即三个平面相互垂直且各自截球体所得的球冠的高都相等。此时记球冠的高为h，设球的半径为R，考虑0＜h＜R的情形。如图1所示。此时，与一般球面三角形关联的空间体体积V可由以下积分得到：

为方便计算，令R-h=k，则

图1 与一般球面三角形关联的空间体示意图

类似的分析，在 R≤h＜ 2R的情形下结论完全一致。

如果构成空间体中的三个相互垂直的平面截球体所得球冠的高不全相等，此时体积的计算更为复杂，可作进一步的研究。