关于某些形状的素数

管训贵

(泰州师范高等专科学校数理系,江苏泰州 225300)

关于某些形状的素数

管训贵

(泰州师范高等专科学校数理系,江苏泰州 225300)

设 p是素数,证明了当且仅当 p=3时,p2-2,2p2-1,3p2+4,Mp=2p-1以及 Fp=+1都是素数。

素数;合数;Schinzel假设

1 引言及主要结论

人们一直在努力寻找产生素数的公式。几百年来许多优秀的数学家都做过尝试[1]。

1772年Euler获得了常表素数的多项式 f(n)=n2-n+ 41(-39≤n≤40),此公式等价于 g(n)=n2-79n+1 601(0≤n≤79),即 g(n)=f(n-39)。1793年Legendre获得了常表素数的多项式 f(n)=2n2+29(0≤n≤28)。1963年Bredi-hin证明了二元函数 f(x,y)=x2+y2+1对无限多对整数(x,y)都产生素数,且能给出所有的素数,而每个奇素数恰好各取一次。尔后,Honsberger又给出下面的公式这里 A=x(y+1)-(y!+1),当(x,y)为正整数对时,只产生素数,并给出所有素数,且每个奇素数正好各取一次[2]。1987年沈明刚[3]证明了当且仅当m=2,3,5,11,17,41时,f(n)=n2-n+m对于1≤n≤m-1均常表素数。在此之前的1958年,Schinzel和Sierpinski曾经提出过一个猜想:设 f1(x),f(x),…,fk(x)都是首项系数为正整数且次数大于零的有理数域上的不可约多项式,则存在无穷多个正整数n,可使 f1(n),f2(n),…,fk(n)都是素数。

上述猜想称为 Schinzel假设。此猜想可能存在这样的问题,因为我们可以构造 k个多项式满足上述条件,但对任何正整数 n,f1(n),f2(n),…,fn(n)不可能都是素数。比如,取 fi(n)=n2+i(i=1,2,…,k),当 i为奇数时,取 n为奇数;当i为偶数时,取 n为偶数。易知,总存在 i,使2|fi(n)。

2005年Bencze[5]进一步对 n仅为素数的情形提出如下问题:哪些素数 p可使 p2-2,2p2-1以及3p2+4都是素数?笔者将问题加强为:哪些素数 p可使 p2-2,2p2-1, 3 p2+4,Mp=2p-1以及 Fp=+1都是素数?并解决了上述问题,即证明了如下的定理。

定理当且仅当 p=3时,p2-2,2p2-1,3p2+4,Mp= 2p-1以及 Fp=+1都是素数。

为完成对上述定理的证明,需有以下引理。

引理F7=+1=59 649 589 127 497 217×5 704 689 200 685 129 054 721是合数。

证明由文献[6]知,Fn=+1(n≥5)是合数的充要条件是:不定方程有正整数解(x0,y0)满足2n+1x0>y0,并且在有解(x0,y0)的情况下

Fn=(22n+3x0-2n+2y0+1)·(22n+3x0-2n+2y0+1)。 (3)可以验证,不定方程216x2+x-2110=y2有正整数解(x,y)= (21 761 889 840 218 569,5 570 927 295 99-189 021)。

因为28×21 761 889 840 218 569=5 571 043 799 095 953 664>5 570 927 295 99-189 021,因此,F7是合数。

将 x=21 761 889 840 218 569,y=5 570 927 295 99-189 021代入(3),可得 F7=59 649 589 127 497 217×5 704689 200 685 129 054 721。引理得证。

2 定理的证明

证明 p=2时,3p2+4=16是合数。

p=3时,p2-2=7,2p2-1=17,3p2+4=31,Mp=2p-1=7,Fp=+1=257都是素数。

p=5时,2p2-1=49是合数。

p=7时,Fp=+1是合数。

若 p=7k(k是大于1的正整数),则Mp=27k-1=127× (128k-1+…+1)是合数。

若 p=7k±1(k是正整数),则3p2+4=7(21k2±6k+1)是合数。

若 p=7k±2(k是正整数),则2p2-1=7(14k2±8k+1)是合数。

若 p=7k±3(k是正整数),则 p2-2=7(7k2±6k+1)是合数。

综上,定理得证。

[1] 左宗明.世界数学名题选讲[M].上海:上海科学技术出版社,1990:18-25.

[2] 吴振奎,吴旻.数学的创造[M].上海:上海教育出版社,2003:72-75.

[3] 沈明刚.n2-n+p常表素数的完全确定[J].科学通报, 1987(11):801-803.

[4] Schinzel A,Sierpinski W.Surcertaines hypothesis con-cemant lesnambers premiers[J].Acta.A rith.,1958 (4):185-208.

[5] Bencze M.Proposed problem 7348[J].Octogon Math. Mag.,2005,13(IB):655.

[6] 管训贵.费马数是合数的一个充要条件[J].四川理工学院学报:自然科学版,2009,22(4):23-24.

(责任编校:夏玉玲)

On the Primes of Some Form

GUAN Xun-gui

(Departmenet of Mathematics&Physics of Taizhou Teachers Junio r School,Taizhou 225300,China)

P being a p rime num ber p roves that only if p=3,p2-2,-p2-1,3 p2+4,Mp=2p-1 and Fp=+1 are all p rime numbers.

p rime number;composite number;Schinzel’s Hypothesis

O156.1

A

1672-349X(2010)06-0020-02

2010-06-07

泰州师范高等专科学校重点课题资助项目(2009-ASL-04)

管训贵(1963-),男,副教授,主要研究方向为基础数论。