自共轭四元数矩阵特征值和的界

吴雪莎

（重庆电子工程职业学院，重庆401331）

自共轭四元数矩阵特征值和的界

吴雪莎

（重庆电子工程职业学院，重庆401331）

本文利用自共轭四元数矩阵迹与特征值的一些关系式，将求特征值和的界的问题转化为两个优化问题，得到自共轭四元数矩阵的部分特征值的界。设自共轭四元数矩阵有n个特征值，如果已知自共轭四元数矩阵的最小（最大）特征值，可以得到其前k（1≤k≤n）个最大（最小）特征值的和的上（下）界。

自共轭；特征值；界

对于特殊的四元数矩阵，我们知道自共轭四元数矩阵的右特征值一定为实数。本节将借助于自共轭四元数矩阵迹与特征值的一些关系，得到其部分特征值和的界。

引理1 设A为自共轭四元数矩阵，λ1(A),λ2(A),…，λn(A)为A的n个右特征值，则

引理2 设为自共轭四元数矩阵，λ1(A),λ2(A),…，λn(A)为A的n个右特征值，则

证明：设λ为A的右特征值，则Aα=αλ，从而

AAα=Aαλ⇒AAα=αλλ⇒A2α=αλ2⇒λ2为A2的右特征值。

又因为A为自共轭四元数矩阵，所以（A2）*=（AA）*= A*A*=（A*）2=A2

故A2为自共轭四元数矩阵。又由引理（1）可得

定理1 设为自共轭四元数矩阵，λ1(A),λ2(A),…，λn(A)为A的n个右特征值，则

且当且仅当λ1=λ2=…=λn时等号成立。

且当且仅当λ1=λ2=…=λn时等号成立。

证明1 由引理1，显然可得式（1）。

证明过程可仿照（3）的证明，显然可得。

上面的关系式表明可以定义集合

令f(x1,x2,…，xn-1)=x1+x2+…+xk

下面解决两个最优化的问题：

可以得到

所以

整理得

进而得到

可以看出

因此，如果(x1,x2,…，xn-1)是拉格郎日函数L的稳定点，则

或者

又

即得到

取x1=sk，那么由（10）得

因此x1-xk+1<0且λ2>0。

故Δ2L(x,λ)=2λ2I是正定矩阵。

f在式（11）给出的x点取得最小值，fmin=ksk。

现取x1=lk，由式（10），得

此时x1-xk+1>0且λ2<0，故2L(x,λ)=2λ2I是负定矩阵，fmax=klk。

因此有如下结论。

定理3 设λi(i=1,2,…n)是自共轭四元数矩阵A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn.如果λn已知，那么

且

其中

特别的，对于定理2，取k=1，有以下结论：

推论1设λi(i=1,2,…n)是自共轭四元数矩阵A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn.如果λn已知，那么

其中f(A)如式（18）。

注意：在式（19）和（20）中，我们看到给出了包含特征值的一个区间。这个区间可以不用计算A2就可以得到，因为

定理4 设λi(i=1,2,…,n)是自共轭四元数矩阵A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn≥0。那么

且

其中

特别的，λ1≤β1,a1≤λn。

定理5 设λi(i=1,2,…,n)是自共轭四元数矩阵A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn。 如果λ1已知，那么

且

其中

推论2设λi(i=1,2,…,n)是自共轭四元数矩阵A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn。 如果λ1已知，那么

且

[1]曹重光.四元数自共轭矩阵的几个定理[J].数学研究与评论, 1988(08):346～348.

[2]FuZhen.Zhang.Quaternions and Matrices of Quaternions[J].Linear Algebra and its Applications.251(1997):21～57.

[3]李文亮.四元数自共轭矩阵迹的一些不等式 [J].长沙电力学院学报(自然科学版)，1996(01):54～59.

[4]陈湘贇.四元数矩阵特征值的估计定理 [J].南京工程学院学报(自然科学版),2008(06):10～12.

[5]张树青.关于四元数矩阵之迹的几个定理 [J].数学研究与评论，1993(04):18～22.

[6]黄礼平.关于四元数矩阵迹的不等式[J].湖南数学年刊，1992 (03):409～454.

[7]曹重光.关于四元数自共轭矩阵迹的几个不等式 [J].数学杂志,1988(08):313～314.

[8]庄瓦金.四元数矩阵的特征值与奇异值不等式[J].数学进展, 1988(10):403～407.

责任编辑 郑 文

Bounds of the Sum of Self-conjugate Quaternion Matrix Eigenvalues

WU Xuesha
（Chongqing College of Electronic Engineering,Chongqing 401331，China)

In this paper,by use of the relation between eigenvalue and trace of self-conjugate quternion matrix,to solve the bound of sums of eigenvalues is changed into two optimization questions and we obtain the solutions.In addition,suppose a self-conjugate matrix have n eigenvalues，if its the minimum(maximum)is known，then the bound of sums of the first k（1≤k≤n）largest(smallest)eigenvalues can be achieved.

self-conjugate；eigenvalue；bound

O17

A

1674-5787（2010）03-0139-03

2010-04-20

吴雪莎（1983—），女，重庆市人，重庆电子工程职业学院人文素质部，助教。