光学双稳与混沌实验

孙 萍,尤秉信

(北京师范大学物理系,北京100875)

光学双稳与混沌实验

孙 萍,尤秉信

(北京师范大学物理系,北京100875)

借助自主研制的“液晶光电混合型光学双稳与混沌系统”研究了光学双稳态与混沌运动的一般规律.在有反馈的条件下,对于1个入射光强,存在着2个不同的透射光强,并以滞后迴线形式为特征,即系统呈现双稳态.依然在有反馈的条件下,系统的运动状态随着延迟时间的增加,由周期振荡、倍周期分岔演化到混沌,而且,混沌对于初始值具有高度敏感性.

双稳态;混沌;液晶;光电混合型;初值敏感性

1 引 言

光学双稳态自1969年被Seidel[1]和Szöke[2]理论预言至今,理论已经比较完善,应用也得到了迅速的发展.双稳态光学器件具有双稳态电子器件类似的功能,可以用作存储器、放大器、振荡器、限幅器和开关元件,在实际应用中具有十分重要的意义.自从Ikeda[3]在理论上指出一个光学双稳系统在失稳的情况下将出现分岔和混沌,光学双稳系统的混沌行为便引起人们极大的兴趣[4-6].混沌是一种普遍的自然现象,大至宇宙,小至基本粒子,无不受混沌理论的支配.随着对混沌理论的深入研究,近年来,混沌在科学和工程技术领域中的应用研究也迅速发展起来,如气象预测、保密通信、神经网络和医学、化学、经济学等众多领域[7].物理学研究的是事物发展的规律,从而预言事物的发展趋势并进而加以控制,以满足人们的特定需求.通常,我们认为规律是确定的,事物只有按照确定的轨道发展,才能够在掌握规律之后,对事物发展的趋势进行预测.自然界中的各种现象的这种确定性和可预测性,对于学过经典力学的人来说深信不疑.多年来,人们一直固守着这样一种传统的思维习惯.但是,混沌现象的出现使得传统的思想观念面临严重的挑战.混沌揭示了在确定性和随机性之间存在着由此及彼的桥梁,有助于将物理学中确定论和概率论2套描述体系联系起来,这在科学观念上有着深远的意义.目前,许多高校都已将概率论的物理思想融入大学的理论课和实验课的教学当中[8-14].

目前,在国内研制“光学双稳与混沌实验”教学仪器的主要高校有吉林大学[9]、北京师范大学[11-12]、北京大学[10]和南京理工大学[14],其中后2所高校仅开发了光学双稳装置.吉林大学和北京大学以LiNbO3晶体为非线性介质:其工作电压约1 000 V,需要加强高压屏蔽的防护,才能确保学生的安全.南京理工大学和我校都是以液晶为非线性介质,液晶材料比起LiNbO3晶体,有工作电压低、受光面积大、易制作、易控制和易实现器件集成化等优点.我校研制的“液晶光电混合型光学双稳与混沌系统”,既可以用来研究双稳态,又可以研究混沌运动.本文利用该系统研究了光学双稳态与混沌运动的一般规律.

2 实验原理

2.1 双稳态

所谓光学双稳态是指光在通过某一光学系统时其光强发生非线性变化的一种现象,即对于入射光强Ii,存在2个不同的透射光强Io,并以滞后迴线形式为特征,如图1所示.

液晶光电混合型光学双稳装置由电光调制系统与输出反馈系统2部分组成.图2是光电混合型光学双稳装置原理图.Ii为输入光强,Io为输出光强.为了使透射光强最大,液晶分子轴在起偏器P上的投影与P的透光轴成45°角.P,A和液晶构成正交光路.液晶上加直流偏压Vb,以便使液晶处在适当的工作状态.Io经光电探测器实现光电变换,得到的电信号经过放大器放大后加到液晶上,从而构成了光电混合反馈回路,控制输出光强,促成Ii-Io之间的双稳关系.定义透过率T=Io/Ii,Ii和Io满足下列平行偏振光干涉方程[15]

图1 光学双稳曲线

图2 光电混合型光学双稳系统原理图

式中,δ是平行和垂直于液晶分子轴的2个振动分量产生的相位差,与加在液晶两端的电压U成正比,与液晶的半波电压Vπ成反比,即δ=πU.

Vπ在液晶光电混合系统中,加在液晶两端的电压U是初始偏压Vb、反馈电压V、附加电压Vs(液晶剩余应力引起)的总和.故(1)式可以写成:

如果将输出光强Io通过光电转换器件线性地转换成电信号V,反馈加在液晶的控制电极上,则反馈电压V正比于输出光强,即V=kIo,其中k为包括光电探测器和放大器在内的光电转换系数.将该式变换为

方程(2)是正弦平方曲线,方程(3)是直线.联立求解方程(2)和(3)可得到表征器件工作状态的解.分别作出方程(2)的调制曲线和方程(3)的反馈直线,它们的交点即为两方程的共同解.由图3可见,当入射光强由小到大按照变化时,工作点则依次按照A→B→C→D→ E变化,在C和D点透过率产生由低到高的突变;反之,若减小入射光强,使其按照变化时,工作点则沿E→D→F→B→A变化,在F和B点产生由大到小的突变.因此,系统的Ii-Io关系成为如图1所示的滞后迴线.如果方程组的解是单值的,则无双稳态.因此,要求整个系统必须工作在双稳态临界范围之内.所谓临界范围是指方程组具有双解的范围,图3中B, C,D,F所包围的区域即为临界范围,对应1个初始偏压Vb有1个临界范围.

图3 当入射光强变化时系统的状态点

2.2 混沌态

混沌是指在确定性的动力学系统中的无规行为或内在随机性.对相空间的一定区域进行长时间观察会发现系统运动轨迹的各态遍历性.一个系统可以导致混沌运动出现的基本思想是实现这样的数学反馈回路:系统的输出能够不断地反馈到它自身作为新的输入.这种回路无论简单还是复杂,都可以出现稳定的行为和混乱的行为.它们的差别仅仅在于系统的某一参量取值不同.这个参量只要有极小的变化,就会造成回路系统的行为从有序状态平滑地转化为表面上看来似乎是杂乱无章状态,即逐步地演化为混沌.系统的混沌运动可由确定的方程来描述.一般来说,当描述系统运动的常微分方程组不小于3个时,在适当的条件下,系统会出现混沌运动.一个延时方程在数学上可化成无穷阶的自治方程组,所以用延时方程描写的动力学系统一定会出现混沌运动.液晶光电混合光学双稳系统可用如下的延时耦合方程来描述:

(4)式中第一个方程是描述系统的调制方程,第二个方程是描述反馈系统的弛豫方程.这里V(t)是考虑了时间变量的反馈电压,tR表示系统的延迟时间,τ是反馈系统的弛豫时间.在双稳态的讨论中事实上只考虑了系统的定态[即dV(t)/dt= 0的情况],而没有考虑其动态效应.若令y(t)=

则(4)式可以合并为一个有延时tR的无量纲自治微分方程:

对方程(5)的数值计算表明:若入射光强一定,系统的输出随着延迟时间的增加,由周期振荡,经倍周期分岔演化到混沌(如图4所示);若延迟时间一定(长延迟),系统的输出随着入射光强的增加,也会出现与图4类似的结果;在短延迟情况下,系统的输出随着入射光强的增加,由周期振荡直接进入到混沌;精确计算还表明,系统在混沌状态下存在着稳定的周期窗口.

3 实验结果及分析

液晶光电混合型光学双稳与混沌系统的工作原理如图5所示.当测试双稳迴线时,半导体激光器(波长650 nm,功率4 mW)发出的单色光,经过旋转的半波片H(波长为650 nm)和偏振器P1后,强度由小→大→小连续变化.2个正交的线偏振器P1和A及液晶LC组成了电光调制器,输出光强由光电池D2接收.将D2输出的信号经放大器AMP2放大后,分成1和1′两路,1路加在液晶上作为反馈电压,1′路接在示波器上,实时观察输出信号的变化.旋转偏振片P2可以改变光电池D2接收到的光强,即改变液晶的反馈电压.为了监测输入光强,在光路中加了分束镜BS,通过光电池D1接收,信号经放大器AMP1放大后作为液晶上的入射光的参考信号.

当测试混沌振荡曲线时,首先将D2输出的模拟信号经放大器AMP2放大,再由模数转换卡A/D将模拟信号转换成数字信号输入到计算机中.通过软件对数字信号进行延时处理,最后经由计算机输出.输出的延时信号经放大器AMP3后,分成2和2′两路,2路加在液晶上作为反馈控制信号,2′路接在示波器上.

图6是实验光路图,所有光学元件放置在导轨上.其中白屏在混沌实验中用来遮挡光.电子仪器有示波器、信号源和自制的控制箱,其内有提供液晶电压的电源、光电信号放大器、数模转换卡,通过控制箱面板上的端口进行通信.

首先,测试液晶的调制曲线,即在无反馈、无偏压状态下测试Io-Ii关系曲线.选择信号源输出锯齿波信号,取频率为0.5 Hz,振幅为8 V,直接加在液晶的2个电极上,此时的Ii即为锯齿波信号.图7为示波器上显示的调制曲线,其中横坐标为Ii,纵坐标为Io.曲线形状为正弦平方形式,与方程(2)的理论结果相吻合.

图5 光电混合型光学双稳与混沌系统工作原理图

图6 实验光路图

图7 调制曲线

然后,观察双稳态.使入射光强连续变化,在有Io反馈的条件下测试双稳曲线.分别调节初始偏压Vb、反馈电压Io和液晶转角φ(入射线偏振光的透过方向与液晶分子的夹角),观察双稳迴线的形状、面积的变化.图8是当固定反馈电压和液晶转角时示波器上显示的1组双稳迴线,即Io-Ii关系曲线,但此时的Ii是连续变化的入射到液晶前表面的光强.可见,当初始偏压Vb增加时,双稳迴线的面积也增加,但当Vb大于5.50 V时,双稳态消失,双稳迴线变成1条直线.在方程(4)中,当du(t)/dt=0,且t→∞时,可以得到对应双稳态的解.数值计算表明,当θ增加时,双稳迴线的面积也增加,这种现象在实验中正好体现了Vb与双稳迴线面积的关系.分别改变反馈电压和液晶转角也会出现类似图8的结果.

图8 双稳滞后迴线所围成的面积随液晶的初始偏压Vb的变化情况

最后,依然在有反馈的条件下观察混沌态.固定入射光强、反馈电压和液晶转角,改变延迟时间tR,观察实验现象.图9是在固定反馈电压和液晶转角时示波器上显示的1组混沌曲线,即Iot关系,其中横坐标为时间,纵坐标为输出光强,所有的曲线均为长时间观察后截取的其中一段.可见,系统的运动状态随着延迟时间tR的增加,由周期振荡、倍周期分岔发展到混沌.在图9(d)中可以观察到阵发混沌现象,即在稳定的倍周期中夹杂着不稳定的混沌运动,这种阵发混沌只是由稳态到不稳态的临界状态.只要tR再增加一小量(10 ms),系统便完全进入混沌[见图9(e)],并且一直延续下去[见图9(f)],而且混沌运动的状态是随机的.当分别改变入射光强和液晶转角时,系统也会出现类似图9的结果,但曲线的振幅、周期、形状都不同,运动形式多种多样,十分丰富.对初值的敏感性是混沌的一个典型特征,在实验中每当变化延迟时间、入射光强和液晶转角参量中的任何1个,且仅变化一小量,都会导致系统的运动状态发生巨大的变化,充分验证了混沌这一基本特征.

图9 系统随延迟时间的增加由周期振荡、倍周期分岔、阵发混沌过渡到混沌状态

除上述实验内容,还可以测试系统的弛豫时间和光学双稳态的另一种方式Vb-Io曲线.还可利用本系统研究液晶的电光效应和双折射效应.

4 结束语

借助自主研制的“液晶光电混合型光学双稳与混沌系统”研究了光学双稳态与混沌运动的一般规律.在有反馈的条件下,对于1个入射光强,存在着2个不同的透射光强,并以滞后迴线形式为特征,即系统呈现双稳态.依然在有反馈的条件下,改变延迟时间tR,系统的运动状态随着延迟时间tR的增加,由周期振荡、倍周期分岔演化到混沌,而且,混沌对于初始值具有高度敏感性.该系统还可以扩展其他实验内容,如测试系统的弛豫时间、测试液晶的双折射率、研究液晶的电光效应等.研究结果表明,该实验可以使学生通过对非线性一般规律的观察,充分认识到对于一个确定性的系统在某一条件下可以发生随机性行为,从而意识到客观世界是确定性和随机性的对立统一.多年的教学实践表明,对于培养大学生对客观规律的认知和提升他们的科学素质,光学双稳与混沌实验起到了积极的作用.

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Experiment of optical bistability and chaos

SUN Ping,YOU Bing-xin
(Department of Physics,Beijing Normal University,Beijing 100875,China)

The general law of optical bistability and chaos of liquid crystal is studied by means of photoelectric system.Under the condition of feedback,the system has two output corresponding to an input and shows the characteristic of lag loop-line namely bistability.Further more,the system evolves from period and multi-period into chaos as delay increases.The chaos also shows the initialization sensitivity.Teaching practice demonstrates that the experiment of optical bistability and chaos is important to cultivate cognization and improve scientific quality of students.

bistability;chaos;liquid crystal;photoelectric hybrid;initialization sensitivity

O415

A

1005-4642(2010)09-0001-06

[责任编辑:任德香]

“第6届全国高等学校物理实验教学研讨会”论文

2010-05-30

孙 萍(1963-),女,吉林长春人,北京师范大学物理系高级工程师,博士,从事信息光学和近代物理实验研究.