一类新弱化缓冲算子的构造

刘永菲，张辉，解忠诚

(中国传媒大学理工学部，北京100024)

1 引言

灰色系统的特色是研究“小样本”与“贫信息”等不确定性问题。因此充分开发利用已占有的信息来挖掘系统本身固有的规律是灰色系统理论的基本准则。我们可以通过社会、经济、生态等系统的行为特征数据来寻求因素之间或自身的变化规律。灰色系统理论认为，尽管客观系统的表象复杂、数据离乱，但它们总有自身的整体功能，必然蕴藏某种内在的规律，关键是如何选择适当的方法来挖掘和利用它。在文献［1-3］［6］中，刘思峰等学者提出了冲击扰动缓冲算子的概念，并构造出一种得到较广泛应用的强化缓冲算子。本文在他们的工作的基础上，又构造出一类新弱化缓冲算子，从而推广了缓冲算子的类型。

2 基本概念

定义2.1设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，若

(1)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)＞0，则称 X 为单调增长序列。

(2)∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)＜0，则称 X 为单调衰减序列。

(3)若，∃k1，k2∈{2，3，…，n}，有 x(k1)-x(k1-1)＞0，x(k2)-x(k2-1)＜0，则称 X 为振荡序列。令，称 M-m 为振荡序列 X 的振幅。

定义2.2设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经算子D作用后所得到序列记为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，则称 D 为序列算子。

对序列连续作用，可得二阶算子，一直可以作用到r阶算子，分别记为XD2，…，XDr。

公理2.1［4］(不动点公理)设为系统行为数据序列，D为序列算子，则有x(n)d=x(n)。

公理2.2［4］(信息充分利用公理)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k)(k=1，2，…，n)，都应充分地参与算子作用的整个过程。

公理 2.3［4］(解析化与规范化公理)任意的 x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一个统一的 x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表达式表达。

满足上述三公理的序列算子称为缓冲算子，XD称为缓冲序列。

定义2.3［5］设为系统行为数据序列，D为序列算子，当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列，缓冲序列XD比行为数据序列X的增长速度(或衰减速度)放慢或振幅变小，则称缓冲算子D为弱化算子。

定理1［5］(1)设X为单调增长序列，XD为缓冲序列，则D为弱化缓冲算子⇔x(k)≤x(k)d(k=1，2，…，n);

(2)设X为单调衰减序列，XD为缓冲序列，则D为弱化缓冲算子⇔x(k)≤x(k)d，(k=1，2，…，n);

(3)设X为振荡序列，XD为缓冲序列，D为弱化缓冲算子，则

由定理1可知，单调增长序列在弱化缓冲算子作用下，数据膨胀;单调衰减序列在弱化缓冲算子作用下，数据萎缩。

3 弱化缓冲算子的构造

刘思峰等学者在其文献［4］中构造了下列弱化缓冲算子，设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，令 XD1=(x(1)d1，…，x(n)d1)，其中

则当X为单调增长序列、单调衰减序列，D1为弱化缓冲算子。

在弱化缓冲算子D1基础上，我们给出一种新的弱化缓冲算子。

定理2 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，其中

令 XD2=(x(1)d2，…，x(n)d2)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，D2为弱化缓冲算子。

即D2满足缓冲算子公理一。而对于缓冲算子公理二，公理三显然也成立，故D2为缓冲算子。

下证D2为弱化缓冲算子。

(1)当X为单调增长序列时，由于

则有所以D2为弱化缓冲算子。

(2)当X为单调衰减序列时，因

所以D2为弱化缓冲算子。

(3)当X为振荡序列时，令

对任意的 i∈{1，2，…，n}有

故D2为弱化缓冲算子。

定理3 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，则

即弱化缓冲算子D2比弱化缓冲算子D1弱化能力更强。

证明:考虑

定理4 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，m为自然数。其中

令 XDm=(x(1)dm，…，x(n)dm)

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，Dm为弱化缓冲算子。

即Dm满足缓冲算子公理一。至于缓冲算子公理二，公理三显然也成立，因而Dm为缓冲算子。

下证Dm为弱化缓冲算子

(1)当X为单调增长序列时，因为

则有

所以Dm为弱化缓冲算子。

(2)当X为单调衰减序列时，因为

所以Dm为弱化缓冲算子。

(3)当X为振荡序列时，令

对任意的 i∈{1，2，…，n}有

故Dm为弱化缓冲算子。

定理5 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，m为自然数，则

即弱化缓冲算子Dm+1比弱化缓冲算子Dm弱化能力更强。

证明:考虑

定理6 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，且x(i)＞0，k≤l均为自然数，则

即弱化缓冲算子Dl比弱化缓冲算子Dk弱化能力更强。

证明:由定理5即得。

4 实例分析

以上海市国际互联网用户数为例［7］，验证本文构造的弱化缓冲算子在GM(1，1)模型预测中的应用。选取该市2002—2007年国际互联网用户数(单位:万户)作为原始数据:

X=(420，432，633，803，957，1080)从原始数据可以发现，上海市上网用户数增长势头迅猛，增长率分别为:2.857%，46.53%，26.856%，19.178%，12.85%，年平均增长率为21.65%，显然互联网用户数不可能一直保持如此高的增长率，因此直接用原始数据建模，预测结果将会与真实值出现很大偏差。观察数据可以看出，原始序列前半部分增长速度较快，后半部分增长速度较慢，因此要进行若干年后上网用户数的预测，必须弱化其增长趋势，削弱冲击扰动因素的干扰，使得模型预测精度提高，预测结果与实际情况相符合。

以2002—2006年数据作为建模数据，以2007年数据为模拟检验数据。用D1和D2分别对原始序列进行一阶缓冲算子作用，得到一阶缓冲序列如下:

显然，弱化缓冲算子D2比弱化缓冲算子D1弱化能力更强。对原始序列及缓冲算子作用后的新序列分别建立GM(1，1)模型，得到的原始序列模拟值分别为:

经计算得原序列平均相对误差为5.22%;经D1作用后序列的平均相对误差为0.945%;经D2作用后序列的平均相对误差为0.08%，并预测2007年国际互联网用户数为1032.9万户。可以看出，经弱化缓冲算子得到的序列都比直接建模的平均相对误差小，其中经D2作用后得到的弱化缓冲序列平均相对误差最小。而2007年国际互联网用户的真实值是1080万户，相对于预测值1032.9万户，误差率为4.36%，显然，在长期预测中，该预测精度会有所提升，如何适当选择Dm中的m值进行建模及预测是接下来的研究重点。

5 结论

本文在已有的文献基础上，构造了一类新的弱化缓冲算子，对具有前半部分增长速度较快，而后半部分增长速度较慢特征的原始数据序列，用所构造的缓冲算子能够充分有效地消除原始数据序列中的冲击扰动因素的干扰，提高预测精度。

［1］刘思峰.冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子［J］.华中理工大学学报，1997，25(1):25-27.

［2］Liu Sifeng.The three axioms of buffer operator and their application［J］.The Journal of Grey System，1991，3(1):39-48.

［3］刘思峰，党耀国，方志耕.灰色系统理论及其应用(第三版)［M］.北京:科学出版社，2004.

［4］党耀国，刘思峰，刘斌，唐学文.关于弱化缓冲算子的研究［J］.中国管理科学，2004，12(2):108-111.

［5］党耀国，刘斌，关叶青.关于强化缓冲算子的研究［J］.控制与决策，2005，20(12):1332-1336.

［6］谢乃明，刘思峰.强化缓冲算子的性质与若干实用强化算子的构造［J］.统计与决策，2006，4:9-10.

［7］上海统计局.上海统计年鉴［M］.上海:上海统计出版社，2008.