一类四阶非线性系统的全局稳定性

李 涛,谢景力,孙长军

(1.怀化职业技术学院,湖南怀化 418000;2.吉首大学数学与计算机科学学院,湖南吉首 416000; 3.连云港职业技术学院数学教研室,江苏连云港 222000)

一类四阶非线性系统的全局稳定性

李 涛1,谢景力2,孙长军3

(1.怀化职业技术学院,湖南怀化 418000;2.吉首大学数学与计算机科学学院,湖南吉首 416000; 3.连云港职业技术学院数学教研室,江苏连云港 222000)

在研究非线性系统的全局稳定性中,类比法是一个常用的方法.运用类比法构造了一类四阶非线性系统的李雅普诺夫函数,从而推出了该类系统的零解的全局稳定性的充分条件.

非线性系统;李雅普诺夫函数;全局稳定性

0 引 言

平衡位置的稳定性是动态系统运动过程中备受关注的一个问题.研究非线性系统零解全局稳定性的一个有效工具就是Liapunov函数法.文献[1]导出了二阶和三阶常系数线性系统的李雅普诺夫函数公式,并应用相应的公式研究了二阶和三阶常系数非线性系统的李雅普诺夫函数的构造与应用,以及解决了一类三阶非线性系统的平凡解的全局稳定性问题.文献[2]、[3]利用类似的方法导出了四阶常系数线性系统的Liapunov函数公式,并研究了相应的四阶非线性系统的Liapunov函数的构造与应用.文献[4]、[5]给出了一类四阶非线性系统的局部稳定性.

文献[6]通过做变换,

且运用类比法构造了一类三阶非线性系统,的李雅普诺夫函数,从而推出了该类系统的零解全局渐近稳定的充分条件(即引理1).这里,c是常量,函数f(x,y)是连续的且有连续的二阶偏导数.

引理1 如果c＞0,并且存在b＞0,使得函数f(X,Y)满足条件：

[bfXX+cfYX]Y≤0,

则系统(1)的零解是全局渐近稳定的.

1 主要结论

在本文中,我们主要研究如下一类四阶非线性系统,

的全局稳定性,这里,d是常量,函数f(x,y,z)是连续的且有连续的二阶偏导数.

做变换,

将系统(2)转换成如下等价系统,

所对应的线性系统,的李雅普诺夫函数[2,7].

其中,a,b,c,d均大于0,ab-c＞0,abc-c2-a2d＞0.

用 fX(X,Y,Z),fY(X,Y,Z),fZ(X,Y,Z)分别代替上式的 c,b,a,则得系统(3)的李雅普诺夫函数,

对(6)式按(3)式求导得：

由此可得如下：

定理1 如果系统(3)在区域{(Y,Z,U)|YU≥0,ZU≥0,YZ≥0}中成立,d＞0,且存在a＞0, b＞0,c＞0,并满足如下条件：

则系统(3)的零解为全局稳定.

证明 由条件显然可见,

当 Y≠0时,V(X,Y,Z,U)≥d(abc-c2-a2d)Y2/c＞0;

当 Z≠0时,V(X,Y,Z,U)≥(abc-c2-a2d)Z2/a＞0;

当 Y=0,Z=0,但X≠0时,V(X,Y,Z,U)≥ad2X2＞0;

当X=Y=Z=0,但X≠0时,V(X,Y,Z,U)≥cU2＞0.

因此,只要(X,Y,Z,U)≠(0,0,0,0),必有V(X,Y,Z,U)＞0,即V是正定的.

其次,证明正定函数具有无穷大性质.

当 Y→∞时,V(X,Y,Z,U)≥d(abc-c2-a2d)Y2/c→∞,

如果 Y有界,且 X→∞时,V(X,Y,Z,U)≥(abc-c2-a2d)Z2/a→∞;

如果Y,Z有界,且Z→∞时,V(X,Y,Z,U)≥a(dX+cY+→∞;

如果Y,Z有界,且U→∞时,V(X,Y,Z,U)≥c(U+aZ+c→∞.

因此,V(X,Y,Z,U)→∞,当 X2+Y2+Z2+ U2→∞时.

综上讨论,并由文献[1]知系统(2)的零解是全局渐近稳定的.

[1]王 联,王慕秋.非线性常微分方程稳定性分析[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,1987：381-422.

[2]梁在中.关于一类四阶非线性系统李雅普诺夫函数构造的研究[J].应用数学和力学,1995,16(2)：181-188.

[3]沈家骐,卢亭鹤,金 均.一类四阶方程 Л Я П у Н О В函数的作法[J].上海师范学学报,1983,25(3)：1-5.

[4]徐 静,李玉洁.一类四阶非线性系统的稳定性[J].大学数学,2001,15(1)：47-49.

[5]徐 静.一类四阶非线性李雅普诺夫函数的稳定性[J].广西师范学院学报,1993,11(3)：38-41.

[6]吴 檀,邹长安,车克键.一类三阶非线性系统的全局稳定性[J].应用数学学报,1997,22(3)：438-441.

[7]黄明谦.一类四阶非线性系统的李雅普诺夫函数的构造[J].湖南师范大学自然科学学报,1989,12(4)：295-300.

Global Stability of 4-Order Nonlinear System

LI Tao1,XIE Jingli2,SUN Changjun3

(1.Huaihua Vocational and Technical College,Huaihua 418000,China; 2.School of Mathematics and Computer Science,Jishou University,Jishou 416000,China; 3.Section of Mathematics Teaching and Research,Lianyungang Technical College,Linyungang 222006,China)

Analogism is a normal method of studying the global stability of nonlinear systems.Using this method,Liapunov’s function of a nonlinear system isformulated to derive sufficient conditionsfor its global stability when it has null solution.

nonlinear system;Liapunov’s function;global stability

O175.13

：A

1004-5422(2010)02-0115-03

2010-02-03.

湖南省教育厅教育科学“十一五”规划立项课题基金资助项目(XJK06CZC061).

李 涛(1963—),男,硕士,副教授,从事非线性系统研究.