离散数学中等价关系的教学导入与导出

王新春,李晓颖,马俊红

(河北理工大学理学院,河北唐山 063009)

离散数学中等价关系的教学导入与导出

王新春,李晓颖,马俊红

(河北理工大学理学院,河北唐山 063009)

等价关系;教学导入;教学导出

阐述了等价关系在离散数学中的教学设计,主要涉及在介绍等价关系时,如何进行等价关系的教学导入;在该课程几近结束时,为了强调等价关系在离散数学中的重要地位,如何进行等价关系的教学导出。强调了离散数学中等价关系对计算机专业的重要性。通过等价关系的学习,学生的抽象思维能力将会提高。

目前很多大学生反映对学过的知识甚至是整门课经常没有留下深刻的印象。作为教师,应随时给与学生全面而深入的指导。这就要求教师对教学进行精心的设计,特别是对一些重要的知识。对于重要的知识,首先设计教学导入,由浅入深,不让学生产生畏难情绪。在该门课将近结束时,安排关于这部分知识的教学导出。下面是离散数学中等价关系的教学导入与导出的研究。

一 等价关系的教学导入

课堂教学的导入与教学效果有着直接的联系。精心设计课堂教学的导入,能够集中学生的思维活动,引起学生的好奇与思考,创设一种较佳的问题情境,启发和刺激学生的学习兴趣,充分调动学生的学习积极性,使学生进入一种有着高求知欲的振奋状态[1]。从而使课堂教学从铺垫转化为探索新知的过程。这一环节如果安排和设计得好,就能紧紧吸引学生的注意力,活跃学生的思维,使学生进入最佳的学习状态,教学就会取得良好的效果。实践证明,教师对课堂导入环节是否重视,是否精心设计,教学效果迥然不同。

通过温故知新法可进行由已知知识向未知知识的教学导入。温故可找到与新知识相联系的支点。在每次上课开始,让学生复习旧课内容,逐渐导入新知识,形成知识的自然衔接、过渡到新课内容。这种导入符合学生学习知识由浅入深、循序渐进的认知规律。

在讲述等价关系时,先向学生提问中学里介绍的三角形的全等和相似的概念并归纳其性质。在总结了自反性、对称性和传递性三个性质后,我们就从上述诸问题中抽象出等价关系的概念,以及等价类的概念。

定义 1 设 R是非空集合A上的关系,如果关系 R同时具有自反性、对称性和传递性,则称 R是 A上的等价关系。

定义 2 设A是非空集合,R是上的等价关系,∀x∈A,令,[x]R= {y|y∈A,xRy}则称 [x]R为x关于R的等价类[2]。

为了更好地理解等价关系,举一些从日常生活中观察到的例子。比如,日常生活中常会碰到对一些对象进行分类的问题。例如,对一些几何图形,我们可以使用面积之间的相等关系将这些几何图形分类,即面积相等的几何图形算作一类。这种分类使得每个几何图形都必定属于某类,并且不同类之间没有公共元素。事实上,任何一个分类法总是在某一观点下把一些元素看做是同样的,并且希望每一个元素在这种分类下都必定属于且仅仅属于某一类,具有这种功能的分类方法在数学上就是一个等价关系。

二 等价关系的教学导出

为了加深对某一部分知识的掌握,重复是一个很好的方法。为了加深对这部分知识的理解,需要将这部分知识拓广,研究它的应用。实践中,常利用关系把事物进行分类。分类是人们认识事物性质的一种方法,而按等价关系分类恰是一种分类的抽象方法。它要求首先找到事物间的等价关系,再按照等价关系把事物分类,使得属于同一类的事物相互间是等价的,不同类的事物都没有等价关系。在代数中所有等价的矩阵就是一个等价类,所有等价的向量组也称为一个等价类。在矩阵论中的矩阵的合同关系,相似关系等都是等价关系;线性空间的同构关系也是等价关系。此外,整数可按模 k的同余关系分类,余数分别为: 0,1,2,k—1,因此可将整数可按模 k同余分为 k类。方程可按未知数的幂次分类。方程组可按同解分类,等等。数理逻辑中,命题公式 A和 B的等值关系是一种等价关系。这样,按照命题公式是否等值将所有命题公式划分成若干个等价类,属于同一等价类中的命题公式彼此等值。因此,命题公式的等值关系是获取命题公式性质的基础。

集合论中,集合A与B的等势关系是建立在所有集合为元素的集合上的一个等价关系,它实际上是从集合含有元素多少的角度来对集合进行划分。只要两个集合所含元素的个数相同,就把他们视为是相同的集合,可将它们归为一类。另外,在集合上,每个等价关系对应集合的一种划分,集合的每一种划分又对应于集合的一个等价关系。不同的等价关系对应的集合的划分也不同。一般地,对有n个元素的集合,有种不同 Bn的划分,这里。

代数结构中有代数系统的同构,代数系统的同构关系是指全部代数系统构成的集合上的等价关系。利用代数系统的同构关系可以对代数系统进行划分。从而使属于同一等价类但表现形式不同的代数系统具有同样的运算性质。因此只要知道一个代数系统的性质,便可将其性质移植到与之同类但表现形式可能不同的新的代数系统上去。

图论中,无向图中点与点间的连通关系是一种等价关系。它是建立在由无向图中所有结点做成的集合上的等价关系,只要两个结点间存在通路,则这两个结点就是等价的,它们便归为同一类。无向图中连通分支的概念就建立在连通关系的基础之上。图的同构也是图论中十分重要的等价关系。

通过上面各种具体的等价关系的描述可以看到,尽管它们分属于离散数学的各个不同的分支,所基于的集合中的对象表现形式和描述方式千差万别,但它们都是基于一个集合上的二元关系,且均具有自反性,对称性和传递性。将它们的共性抽象出来便可将这些具体的等价关系都统一到定义中来。从而实现了从特殊到一般的认识规律。

三 等价关系的应用研究

1 等价关系在计算机领域的应用

(1)在软件工程领域,为了尽可能多地找出软件设计过程中可能存在的各种错误,常常使用一种被称为“等价类划分”的软件测试法。这种方法将所有待测试的数据所构成的集合划分成若干个符合软件规格和设计规定的有效等价类和与之相反的无效等价类。然后在每个有效等价类和无效等价类中各取一个数据进行测试,若某个等价类中的一个数据能测出软件中的错误,说明该等价类中的其他数据也能测出错误;相反,若不能测出软件中的错误,则该等价类中的其它数据也不能测出错误。这样,可大大提高软件的测试效率。

等价类测试是有效减少测试用例而避免冗余测试用例的一种高效测试方法 ,但是对于测试者来说,寻找一种等价类测试的划分方法十分重要,等价类测试的关键问题是等价类测试用例构成集合的划分 ,划分后的等价类测试用例是一组互不相交的子集。且这些子集是整个集合,这说明了测试的完备性和无冗余性[3]。通过进行等价类测试划分 ,可以大大减少测试用例,具有较强的实践指导作用 ,能快速确定测试的最小集,降低测试成本,提高软件的可靠性等方面有着重大的意义。

(2)在数据库理论中,分组查询是一种重要的数据库操作,它本质上也是一种等价类的划分。它将相关数据表中的所有记录作为一个集合,根据记录的一个或多个属性的值是否相同来进行分类,属性值相同的归为一类,在此基础上可进行进一步的分组统计等操作。

数据库中关联规则挖掘是数据挖掘领域研究的一个重要课题。关联规则挖掘可以发现大量数据中项集之间的关联或相关联系。从大量商务事务中发现有趣的关联关系,可以帮助许多商务决策的制定。基于等价关系和等价类来生成侯选频繁项目集;并利用参照数据集代替原始交易数据库进行侯选频繁项目集中支持度计数的测试,以此来减少对原始交易数据库的扫描次数。这种方法在一定程度上提高侯选频繁项集和频集的生成效率[4]。

2 等价关系在粗集领域的应用

粗集理论是由波兰数学家 Z.Paw lak于 1982年提出的,它是建立在等价关系的基础上,因为等价关系可以把论域U上的元素划分为不同且不相交的等价类,而且同一等价类里的元素是不可分辨的[5]。

粗糙集理论是一种处理模糊和不确定知识的数学工具,其主要思想就是在保持分类能力不变的前提下,通过知识约简,导出问题决策和分类规则。目前,粗糙集理论已被成功地应用于机器学习,决策分析,模式识别,过程控制和知识发现与数据挖掘等众多领域。

四 结论语

在开始学习等价关系的时候要先行强调等价关系的重要性,简略指出它应用非常广泛。这为后期对等价关系引申和应用埋下伏笔,使每个新知识点的出现都成为有源之水[6]。前后知识一连贯,使一本书先读厚了再读薄了。这样教学的各个环节是紧凑有机的统一体,只有前后照应,课堂教学才能成功。同时,这样做还能够保持学生的求知欲和探索精神,从而会真正对离散数学课程感兴趣。唯有如此,学生才会对这门课程的学习留下深刻印象,才能最大限度地发挥教学应有的功能。

[1] 殷佳琳 .《电工电子技术》课教学的导入技巧 [J].机械职业教育,2005,8.

[2] 周忠荣 .离散数学及其应用 [M].北京:清华大学出版社,2007.12.

[3] 易国洪,卢炎生 .基于 EFS M模型的等价类测试 [J].计算机科学,2007.Vol.34 NO.1.

[4] 王燕 .基于等价关系的关联规则挖掘算法研究 [J].计算机工程与应用,2006.08.

[5] 徐晓静,裴海峰 ,史开泉.模糊等价关系基础上的粗集分解[J].系统工程与电子技术,2007,4.

[6] 杨传林 .概率统计课程中拓广引申式教学法探索 [J].数学的实践与认识,2005,4.

Key words:equivalence relation;teaching import;teaching export

Abstract:The paper described teaching design of equivalence relation in the discrete mathematics.It contains how to carry on teaching importwhen introducing the equivalence relation and how to teach export when the course is just about to end,which aimed to stress the importance of equivalence relations to computer science.By studying the equivalence relation,students’abstract thinking ability will be improved.

The Study of Teaching I mport and Export on Equivalence Relation in D iscrete InstructureMathematics

WANG Xin-chun,L IXiao-ying,MA Jun-hong
(College of science,Hebei Polytechnic University,Tangshan Hebei 063009,China)

G 424.1

A

1673-2804(2010)05-0087-02

2009-09-30