一种基于部分数据的阶跃响应辨识方法

张二青,余善恩,尚群立,黄存坚

(杭州电子科技大学自动化学院,浙江杭州310018)

0 引 言

气动技术[1]由于具有无污染、结构简单、价格低廉、操作方便和气体来源充足等特点,被广泛应用于工业自动化领域。但由于气体本身固有的可压缩性、阀口流动的非线性,气缸摩擦力的影响和气动系统的低阻尼特性等原因,气动伺服系统本质上属于非线性系统,这使得气动执行机构的精确位置控制难以完成。近年来,随着科学技术的发展,数学模型已经从分析研究的工具,发展成为直接应用于实际、解决实际问题的手段。数学模型的建立,不仅可以更好地了解系统的动态特性,还可以更有效地进行控制器的设计。工业过程控制系统中,对象数学模型的确定具有重要意义。一般来说,建立过程数学模型有两种方法,分别是机理分析法[2]和试验建模法[3]。机理分析法通常需要分析过程的运动规律,运用一些已知的定理、规律建立过程的数学模型;试验建模法利用系统输入输出数据所提供的信息来建立过程的所需模型,也称为辨识。对复杂的实际生产过程,机理分析法具有很大的局限性。工业过程控制系统中,对象数学模型一般利用阶跃响应[4]曲线做适当数据处理后得到。本文研究气动定位系统的阶跃响应辨识[5],在分析几种阶跃响应辨识方法的基础上,提出了一种用部分数据辨识系统模型的方法,实现了用气动定位系统阶跃响应部分数据对系统整体模型的辨识,并验证了模型的有效性,提高了模型的计算精度。本文首先介绍系统模型并对比了特征面积法、飞升曲线法和最小二乘法三种方法,在分析实验数据的基础上提出了基于部分数据最小二乘的辨识方法,最后给出了仿真结果。

1 系统组成及原理

气动执行器[6]定位控制系统由电气阀门定位器、气动薄膜执行机构和阀位反馈机构组成,如图1所示。电气阀门定位器包括控制器、力矩马达、继动器和阀位反馈机构;气动薄膜执行机构由膜头和弹簧机构组成。其工作过程是：它以压缩空气为动力源,电-气阀门定位器接收DCS系统提供的阀位给定,与阀位反馈机构获取的阀位比较,通过计算得偏差作为控制信号,控制电压驱动力矩马达产生背压,由此驱动继动器,使气源在膜头内产生一定的气压,由气体压力压缩弹簧推动阀杆运动,进而推动调节阀。阀位反馈机构得到阀杆位置,阀杆位置信号与阀位给定比较得到控制信号,最终使阀杆位置跟随阀位给定。

本文研究的是电气阀门定位器、气动薄膜执行机构和阀位反馈机构组成系统的开环建模,如图1所示,其中实线框为待建模对象,虚线部分为整个控制系统闭环回路。

图1 气动执行器定位控制系统

要实现气动执行器的定位控制,需对模型进行在线辨识,还需要知道被控对象的终值。在实际工业过程中,最容易实现和容易操作的就是在输入端输入一个0-100%的阶跃信号,通过分析系统的输出-阶跃信号曲线(对应阀位),所以本实验选择系统的阶跃响应曲线来分析。

在工业过程控制系统中,求解对象模型常用的的试验建模方法主要有特征面积法[7]、飞升曲线法[8]等,此外还有最小二乘法[9]等计算机方法。如图2所示曲线图,分析特征面积法、飞升曲线法、最小二乘法的特点。特征面积法在求解模型参数时需用到系统的稳态值y(∞),而在实际工业过程中,所得稳定值受到机械限位组件的影响,它并非推杆达到满量程时所得响应的稳态值,所以特征面积法在求解模型参数时存在较大误差。从图2可以看出所得时延较实际值偏大,时间常数偏小。同理,飞升曲线法的归一化过程也存在上述问题,误差也较大,所得时延较实际值偏小,时间常数偏大。基于全部数据的最小二乘法所得时延较实际值偏大,且两条曲线几乎不重合,误差很大。这是由于阀杆在运动过程中受到机械限位[10]组件的影响,阀杆并不能达到它应该的稳态值而是被卡死在某一稳定值保持不变。由于强制限位,阀位稳定值在模型辨识中属于无效数据。因此,寻求一种精度更高的辨识方法就具有很强的实际意义,通过分析模型数据,本文提出了一种基于部分数据的阶跃响应辨识方法。

由于特征面积法和飞升曲线法适用于阶跃响应曲线可以达到稳态值的情形,而本文所得实验数据曲线只能达到其稳定值而非稳态值,因此本文在最小二乘法的基础上提出了一种基于部分数据的阶跃响应辨识方法。

2 基于部分数据的阶跃响应辨识方法

2.1 基于最小二乘法的模型辨识

最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合等问题的求解[11]。

图2 特征面积法、飞升曲线法、全部数据最小二乘法所得模型的比较

考虑一个带纯滞后的一阶环节模型,用微分方程来表示：

式中,u(t)和y(t)分别是过程的输入、输出值,δ是过程时延,e(t)认为是零均值的白噪声信号。过程辨识的目的是希望从已有的实验数据中得到a0、b0和δ的值,考虑信号不同阶次的积分：

i是积分阶次。当输入为单位阶跃信号且t≥δ时：

对式1进行一次积分得：

用最小二乘法的形式,估计方程可以写为：

对式4再进行一次积分得：

式中 ,(t-δ)2=t2-2tδ+δ2,式 7 变形为：

参数a0、b0可通过最小二乘法直接辨识[12,13]得到,δ可通过计算得到。

2.2 系统阶跃响应部分数据的获取

由于强制限位,阀位稳定值在模型辨识中属于无效数据,因此提出一种基于部分数据的阶跃响应辨识方法。在获取部分数据时,首先截掉实际阶跃响应曲线稳定值的数据。在确定系统阶跃响应需保留的部分数据时,需要通过计算得到一个数值区间,进而逐步缩小区间以尽可能精确部分数据的选取。

数据筛选步骤：

(1)由图2得,全部实验数据的时间范围是(0,35)s。当15s≤t≤20s时,实验数据上升速度逐渐减小且达到一定的稳定值保持不变,而t>20s后数据无效,可首先取有效数据截止时刻tc的取值范围是(15,20)s;

(2)计算15s≤t≤20s时,系统阶跃响应曲线的斜率。

设N为实验数据长度,Y为全部实验数据,其中Y=[y(t1),y(t2),y(t3)…y(ti)…y(tN)]T,y(ti)表示时刻ti处取得的数据,K为斜率,其中K=[k(t1),k(t2),k(t3)…k(ti)…k(tN)]T,k(ti),表示时刻ti处计算得到的斜率,15s≤ti

计算斜率的方法如下：

(1)初始化K=0;

(2)while 15s≤ti≤20s do;

(3)td=ti+1-ti;

(4)k(ti)=[y(ti+1)-y(ti)]/td;

(5)i=i+1;

(6)end while。

由上述方法得系统阶跃响应的斜率曲线,如图3、4所示。

图3 系统阶跃响应的斜率曲线(15s-20s)

图4 系统阶跃响应的斜率曲线(18s-18.7s)

由图3得,系统阶跃响应曲线斜率在18s后减小到0且出现振荡,有效数据截止时刻的取值范围是(18,19)s。图4为系统阶跃响应曲线在(18,8.7)s的斜率值,可看到斜率在此区间内取值为(0,0.0075)。之所以选择(18,8.7)s,一方面由于斜率在这一时间段迅速减小,另一方面由于斜率在此区间取到了斜率为0的点。由于18.7s后斜率出现振荡且达到0,故其余斜率为0的点不予考虑。由图4分析得,取[18.3,18.65]s为部分数据截止时刻的阈值范围。

(3)在上述阈值范围内,逐个运用最小二乘法对模型进行辨识,模型仿真曲线如图5、6所示(设所取部分数据的截止时刻为tc)。

图5 部分数据辨识所得模型曲线(15.5s邻域)

图6 部分数据辨识所得模型(延时部分)

由图5、图6得,在截止时刻tc∈[18.3,18.65]s的范围内取定辨识数据时,随着截止时刻的推迟,所得模型延时误差增大,但是在上升部分(如图5),曲线更加接近实际曲线,由此分析出模型的完全精确辨识是永远达不到的。在截止时刻tc=18.3s时,所得模型延时误差最小,但是曲线与实际曲线的偏差最大;而当截止时刻tc=18.65s时,所得模型曲线与实际曲线的偏差最小,但延时误差最大。综合上述分析,最优模型应该折中考虑延时以及模型曲线与实际曲线的偏差。由图5和图6知,在当截止时刻tc=18.46s时,模型曲线出现突变,此时模型曲线大幅接近实验曲线且延时较小;同时在截止时刻tc=18.64s时,模型曲线出现另一个突变,此时随着的增大,模型曲线变为缓慢靠近实验曲线但延时突然变大。综上分析,用系统阶跃响应部分数据辨识时,所取部分数据截止时刻tc∈[18.46,18.62]s。

2.3 模型仿真分析

对气动定位系统阶跃响应数据用最小二乘法进行直接辨识,得全部实验数据和部分数据的最小二乘法辨识模型比较,如图7所示：

图7 部分数据辨识法所得模型的阶跃响应仿真曲线

由图7可以看出,当用最小二乘法辨识系统阶跃响应的全部数据时,由于受到机械限位组件的影响,稳定值并非实际模型过程的稳态值,所得时延较实际值偏大,且两条曲线几乎不重合,误差很大。用部分数据辨识实际工业过程中气动定位系统模型与实验数据在[0,17]s高度吻合。与面积法、飞升曲线法、基于全部数据的最小二乘法等方法相比,模型精度得到很大提高,对工业过程中由于仪器本身机械限位等影响的过程模型辨识有很强的指导意义。

3 结束语

本文在分析气动定位系统阶跃响应数据的基础上,提出了一种基于部分数据的阶跃响应辨识方法。该法通过分析实验数据、求解斜率曲线以及比较辨识模型曲线,在逐步缩小部分数据截止时刻阈值范围的基础上,最终筛选出部分数据。这种方法实现了气动定位系统整体模型的辨识,提高了辨识的精度,具有较强的实用性。该研究为提高模型辨识精度提供了新的方法和途径。

[1] 王鹏,彭光正,武清河.比例阀控气动位置伺服系统数学模型的建立及研究[J].润滑与密封,2003,(4)：4-8.

[2] 俞金寿,蒋爱平,刘爱伦.过程控制系统和应用[M].北京：机械工业出版社,1997：23-26.

[3] 孙新民,张秋玲,丁洪生.现代设计方法实用教程[M].北京：清华大学出版社,2009：181-182.

[4] Wang Q G,Guo X,Zhang Y.Direct identification of continuous time delay systems from step responses[J].Journal of Process Control,2001,11(5)：531-542.

[5] 胡德文.非线性与多变量系统辨识[M].长沙：国防科技大学出版社,2000：140-157.

[6] 尚群立,蒋鹏.智能电气阀门定位器的研制[J].仪器仪表学报,2007,28(4)：718-721.

[7] 董红生,李战明.基于阶跃辨识的自整定PID控制器[J].兰州工业高等专科学校学报,2003,10(2)：12-16.

[8] 施人,刘文江.自动化仪表与过程控制[M].北京：电子工业出版社,1999：184-191.

[9] 刘钦圣.最小二乘问题计算方法[M].北京：北京工业大学出版社,1989：28-30.

[10] 黄翔.纺织空调除尘技术手册[M].北京：中国纺织出版社,2003：740-741.

[11] Ahmed S,Huang B,Shah S L.Identification from step responses with transientinitial conditions[J].Journal of Process Control,2008,18(2)：121-130.

[12] Ahmed S,Huang B,Shah S L.Parameter and delay estimation of continuous-time models using a linear filter[J].Journal of Process Control,2006 16(4)：323-331.

[13] Wang Q G,Guo X,Zhang Y.Robust identification of continuous systemswith dead-time from step responses[J].Automatica,2001,37(3)：377-390.