桅杆结构脉动风速模拟与风荷载计算＊

鲁丽君 瞿伟廉 李 明

（山东理工大学建筑工程学院1） 淄博 255049） （武汉理工大学道路桥梁与结构工程湖北省重点实验室2） 武汉 430070）（淄博市规划设计研究院3） 淄博 255037）

高耸结构（电视塔、桅杆、烟囱等）高度较高，刚度较柔，对风荷载的作用比较敏感［1］，对于这类结构，风荷载是重要的控制荷载.近年来发展了多种风模拟方法，主要有线性滤波器法、谐波叠加法、逆傅里叶变换法和小波变换法等［2］.M.Shinozuka，C.M.Jan［3］，王之宏［4］详细介绍了风荷载模拟谐波叠加法的基本理论；王吉民［5］，J.S.Owen［6］等采用线性滤波器法模拟了膜式结构表面上的风荷载；曹映泓［7］、胡亮［8］在桥梁的风场模拟中引入快速傅里叶变换以改进谐波叠加法的运算效率.谐波叠加法虽然是一种有效模拟随机风荷载的方法，但它计算效率低，模拟多维风速时程将耗费大量机时.本文在风自功率谱、互功率谱及模拟公式中采用统一的自变量——圆频率，并利用引入FFT改进的谐波叠加法模拟桅杆结构的多维风速时程，根据由Bernoulli定理导出的风速与风压间的关系将所得到的风速时程转化为动力计算分析所需的风荷载时程.

1 风的的基本特性

自然风包含平均风和脉动风2种成份.平均风是在给定的时间间隔内风力大小及方向等不随时间改变的量；而脉动风则具有明显的随机性，一般可用零均值平稳Gauss随机过程来描述.作用于结构上任意处的风速为平均风速和脉动风速之和，风的模拟主要是针对脉动风而言的.

1.1 平均风速剖面

平均风沿高度的变化规律，常称为风速梯度或风速剖面.平均风速随高度的变化的规律常采用以下表达形式

1.2 脉动风自功率谱

目前关于脉动风速谱的研究较多，常用的风速谱主要有不随高度变化的Davenport谱、与高度有关的Kaimal谱、Simiu谱等.我国国家规范采用不随高度变化的Davenport谱.其表达式为［9］

式中：k为反映地面粗糙度的系数；ω为圆频率.

1.3 脉动风互功率谱和空间相关性

实际观测表明，作用在结构上不同高度处的风速不是完全相关的，有时甚至是无关的.造成这一现象的原因在于：类似圆球形状的阵风首先作用于结构的较高处，在经历了一个时间差后，才作用于结构的较低处.因此可推知风的互相关函数是不对称的.故互谱密度函数一般为复数形式.

式中：coh（ω）为相干函数；φ（ω）为互谱的相位角，在风荷载模拟中，可按以下公式选取.φ（ω）值与量纲一的量有关

相干函数coh（ω）用来描述风的空间相关性，空间相关性主要包括上下相关性和侧向的左右相关性，有时还包括前后相关性.由于高耸结构的高度尺寸一般远远超过深度和宽度尺寸，通常只需考虑脉动风的竖向相关性.竖向的上下相关性已经研究得比较成熟，Davenport建议相干函数采用：

2 脉动风速时程模拟及风荷载计算

2.1 脉动风速时程模拟方法

如果将模拟风荷载应用于实际结构计算，则要求模拟的风荷载尽可能地接近自然风的基本特性.如平均值、均方差、自功率谱和互率谱以及相位角关系等尽可能接近.通常采用谐波叠加法来模拟风荷载.

式中：Δω＝（ωu－ωl）／N；ω（k）＝ωl＋（k－1／2）×Δω；ωu和ωl为截止频率的上限和下限；φkl为0到2π范围内同一随机变数；N为充分大的正整数；元素Hjk（ω）由互功率谱密度函数矩阵S（ω）的Cholesky分解得到.

H＊T（ω）是下三角矩阵H（ω）的转置共轭矩阵.复数功率谱矩阵的Cholesky分解可以参考文献［10］，θjk（ωk）＝arctan［Im（Hjk（ωk）／Re（Hjk（ωk））］，为2个不同作用点之间的相位角.

谐波叠加法模拟脉动风速时程理论完备，精度较高，但计算效率低，模拟多维风速时程需耗费大量机时.利用FFT算法（快速傅里叶变换）改进谐波叠加法，模拟效率显著提高，改进公式如下.

取M＝2π／ΔωΔt，引入FFT算法，式（7）可写成以下形式

式中：

2.2 脉动风荷载计算

当不考虑结构与风的耦合作用及漩涡影响时，根据Bernoulli定理，自由流动的风速提供的单位面积上的风压力为［11］

结构任一高度处的瞬时风速Vi为平均风速与脉动风速vi之和：Vi＝＋vi

则作用在结构上的风压W

平均风压：

脉动风压：

式中：γ为空气质量密度.平均风压反映了风对结构的静力作用，脉动风压wi反映了风对结构的动力作用.一般平均风速远大于脉动风速，在忽略了脉动风速的平方项后，脉动风压wi近似为

而作用在结构上的脉动风荷载和脉动风压的关系可以表示为

式中，Ai是结构挡风面积；μs为风荷载体型系数.将式（1）、（16）代入式（17）得脉动风荷载与脉动风速的关系为

3 算 例

图1所示为一座建立在平地上的150m通信桅杆，所处地貌为B类，有两层纤绳，每层均为3根，纤绳平面A、B、C互交120°.桅杆杆身为无缝钢管等截面组合构件，截面面为等边三角形，边宽为1m，弦杆 102／6，腹杆 54／4，钢材弹性模量E＝200GPa2；剪切模量为G＝80GPa2.纤绳采用镀锌钢丝绳，上层直径d2＝18.5mm，截面积A2＝2.688×10－4m2；下层直径d1＝14.5mm，截面积A1＝1.65×10－4m2；纤绳弹性模量Ek＝120GPa2；纤绳初应力均为250MPa，风向ψ＝0°，风荷 载 体 型 系 数μs＝1.478，杆 身 迎 风 面 积∑Ac＝0.316m2／m，¯v（10）＝25m／s.

图1 150m高桅杆

本文采用引入FFT算法改进的谐波叠加法在配置为Celeron（R）CPU2.40GHz，256MB内存的电脑上进行了风速时程模拟.模拟沿桅杆杆身高度分布的15条风速时程曲线，持续时间为1 200s，时间间隔取0.1s.

将模拟所得到的风速时程离散点数据、结构迎风面积及其他相关的已知条件代入式（18）即可得到相应桅杆杆身相应高度处的脉动风荷载.图2和图3分别为下层纤绳与杆身连接处（高度55 m）、上层纤绳与杆身连接处（高度为115m）的风荷载时程曲线.

图2 下层纤绳与杆身连接处（高度55m）的风荷载时程

图3 上层纤绳与杆身连接处（高度115m）的风荷载时程

在同样的配置的电脑上、相同的模拟参数条件下采用谐波叠加法对桅杆结构进行了15维风速时程曲线模拟，共耗时7h45min，而改进的FFT算法仅耗时53min.由此可见改进的FFT法计算效率显著提高.

图4 高度55m处的脉动风自功率谱比较图

图5 高度125m处的脉动风自功率谱比较

为了检验模拟精度，本文将桅杆高度为55m和125m处的模拟风速时程曲线的自功率谱与Davenport谱进行了比较（见图4、图5）.由图可以看出两种模拟方法的自功率谱均与Davenport谱符合较好，表明模拟的脉动风特性与自然风基本特性相近.

4 结 束 语

对土木工程中桅杆类高耸结构进行风致动力响应分析，特别是疲劳分析时，需要事先对多个风向、不同等级参考风速工况进行多维风速时程模拟，模拟工作量十分巨大，谐波叠加法较低的运行效率不能满足大量风速时程模拟的要求，严重影响结构的后续计算分析.而引入FFT算法改进的谐波叠加法，不仅模拟精度高，而且运行速度快，可以大幅减少多维风速时程模拟的总运算时间，极大地提高了计算效率，为后续结构动力计算提供方便.

［1］王肇民.桅杆结构［M］.北京：科学出版社，2000.

［2］Deodatis G.Simulation of ergodic multivariate stochastic processes［J］.Journal of Engineering Mechanics，1996，（8）：778－787.

［3］Shinozuka M，Jan C M.Digital simulation of random processes and its applications［J］.Journal of Sound and Vibration，1972，25（1）：111－128.

［4］王之宏.风荷载的模拟研究［J］.建筑结构学报，1994，15（1）：44－52.

［5］王吉民，李 琳.脉动风的计算机模拟［J］.浙江科技学院学报，2005，17（1）：34－37.

［6］Owen J S，Eccles B J，Choo B S，et al.The application of auto－regressive time series modeling for the time－frequency analysis of civil engineering structures［J］.Engineering Structures，2001，23（5）：521－536.

［7］曹映泓，项海帆，周 颖.大跨度桥梁随机风场的模拟［J］.土木工程学报，1998，31（3）：72－78.

［8］胡 亮，李 黎，樊 建.基于特征正交分解的桥梁风场模拟［J］.武汉理工大学学报：交通科学与工程版，2008，32（1）：16－19.

［9］瞿伟廉.高层建筑和高耸结构的风振控制设计［M］.武汉：武汉测绘科技大学出版社，1991.

［10］韩大建，邹小江.大跨度桥梁考虑桥塔风效应的随机风场模拟［J］.工程力学，2003，20（6）：19－22.

［11］徐建波.桅杆结构风振响应及疲劳分析［D］.上海：同济大学建筑工程系，2004.