一维费米Hubbard模型的相变研究

胡继宏， 高先龙

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

Hubbard模型是固体物理中描述金属绝缘体相变的一个简化模型[1].在Hubbard模型中仅仅考虑近邻格点之间的跳跃和同格点上的相互作用.对处于低温周期性势场中的粒子，Hubbard模型是个很好的简化模型，因为在这种条件下，所有的粒子都占据在最低能带，次近邻格点之间的跳跃和不同格点间的相互作用可以略去.因此，建立在紧束缚近似基础上的Hubbard模型在固体物理中有着广泛的应用.例如，Hubbard 模型正确预测了强关联体系中的Mott绝缘相；解释了凝聚态物理中电子的巡游性质和高温超导的部分特性等.此外，现在的原子冷却技术可以将原子束缚在光晶格中，形成真正严格的Hubbard模型而非凝聚态体系中的近似模型，这就为理解Hubbard模型提供了实验体系，为验证束缚在光晶格中的费米Hubbard模型并理解其丰富的相图[2]提供了可靠的依据.

束缚在光晶格中的冷原子为研究凝聚态物理中的关联开拓了一个新的领域.例如:研究玻色Hubbard和费米Hubbard模型的相图;玻色和费米超流及超导等物理特性.实验上已经可以实现一维光晶格中的强相互作用的玻色Tonks气体和束缚在光晶格中的费米气体.因此，利用实验可以验证一维Hubbard模型的理论及数值模拟研究的结果.

实验还可以模拟不同组分的极化气体的性质和系统处于不同外势的性质，如单势阱和双势阱束缚等.这些实验进展使得研究光晶格中的费米Hubbard模型具有更加现实的意义.研究强关联体系，需要利用比平均场更加精确和有效的数值或者解析的方法,如Bethe-ansatz方法[3]、量子蒙特卡洛、密度矩阵重整化群和用于小体系的精确对角化方法.本文研究非均匀费米Hubbard模型，采用建立在Bethe-ansatz解基础上的托马斯-费米近似方法.这种方法已经被证实能很好地体现非均匀体系的相变特性.当外势或者系统参数变化引起相变时，研究者可以测量系统的局域密度的变化、体系压缩比[4]和双占据[5]等物理量.本文通过计算压缩比、双占据和双占据对密度的导数来反映由外势和体系参数变化所引起的相变.

1 模型及其性质

1.1 模型及处理方法

考虑一个单带两组分的费米Hubbard链，系统大小为Ns，粒子数为Nf，则体系的哈密顿量可以写为

i.

(1)

一维费米Hubbard 模型的物理性质可用一维关联系统的Luttinger 液体理论来描述，当u=U/t<0，即相互作用是吸引时，由Luther-Emery 液体理论表述.在零温和热力学极限条件下(Nf,Ns→∞,但是Nf/Ns是有限值),体系的性质由填充密度n=Nf/Ns和无量纲的常数u决定.文献[3]给出了Hubbard模型的基态性质.在此之后,Kocharian等[6]和Tanaka等[7]分别用不同的方法求解了均匀及非均匀吸引费米Hubbard模型的基态及激发态的性质.

由于边界条件或者外势引起的非均匀性，方程(1)一般没有解析解，通常要借助于数值方法求解.常用的数值解法除了以上提及的方法外还有动态平均场方法、密度泛函理论等.

1.2 u<0时因外势引起的式(1)的相变性质

笔者借助于Hubbard模型的Bethe-ansatz解，利用托马斯-费米近似方法验证体系的相变过程.在相互吸引作用下,方程式(1)中所表示的哈密顿量的化学势可以通过托马斯-费米近似求解，即求解如下局域平衡态方程:

μ=μhom(n,u)|n→ni+V2(i-(Ns+1)/2)2.

(2)

2 数据与结果

由均匀体系中双占据的定义D=∂E/∂U，笔者分别给出了双占据对粒子密度和相互作用的依赖关系，具体见图1.图1(a)中:当体系无相互作用(u=0)时，D=n2/4;当体系有相互作用且粒子数密度n>1.0时可以利用基态能量的对称性E(u,n>1.0)=u(n-1)+E(u,2.0-n)得到D(u,n>1.0)=n-1.0+D(u,2.0-n).相互作用相同的情况下，随着粒子数密度的增大双占据单调增大到1.0；在粒子数密度相同的情况下，相互作用越大双占据越大，体系越趋于形成紧束缚的单态.图1(b)是以相互作用u为变量对不同的粒子数密度得到的双占据，对相同的u,双占据随着密度的增大而增大.当相互作用非常强时,双占据D≈n/2；当粒子数密度为2.0时，双占据等于1.0.

(a)对密度的依赖关系

(b)对相互作用u的依赖关系

图2 均匀体系中双占据对密度求导

图3 以ρ和u为参数得到的相图

图4 谐振势作用下体系的双占据

图5 双占据对密度ρ求导和压缩比的局域分布

3 结 论

借助于Hubbard模型的Bethe-ansatz方法采用托马斯-费米近似，讨论了在谐振势作用下的一维吸引型Hubbard模型的相变性质.本文主要通过测量压缩比、双占据及其对密度ρ的导数来验证体系的相变过程.从数据结果可以看出，用局域压缩比、双占据及其对密度的导数，可以很好地反映吸引型Hubbard 模型从金属相到带绝缘相的相变过程.

参考文献：

[1]Altland A,Simons B.Condensed Matter Field Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,2006:58.

[2]Gao Xianlong,Polini M,Tanatar B,et al.Interacting Fermi gases in disorder one-dimensional lattices[J].Phys Rev B,2006,73(16):161103.

[3]Lieb E H,Wu F Y.Absence of Mott Transition in an Exact Solution of the Short-Range,One-Band Model in One Dimension[J].Phys Rev Lett,1968,20(25):1445-1448.

[4]Scarola V W,Pollet L,Oitmaa J,et al.Discerning Incompressible and Compressible Phases of Cold Atoms in Optical Lattices[J].Phys Rev Lett,2009,102(13):135302.

[5]Kollath C,Iucci A,McCulloch I P,et al.Modulation spectroscopy with ultracold fermions in an optical lattice[J].Phys Rev A,2006,74(4):041604.

[6]Kocharian A N,Yang C,Chiang Y L.Self-consistent and exact studies of pairing correlations and crossover in the one-dimensional attractive Hubbard model[J].Phys Rev B,1999,59(11):7458-7472.

[7]Tanaka K,Marsiglio F.Even-odd and super-even effects in the attractive Hubbard model[J].Phys Rev B,1999,60(5):3508-3526.