基于电磁矢量阵列孔径扩展方法的相干目标DOA估计

刘兆霆 何 劲 刘 中

①(南京理工大学电子工程系 南京 210094)

②(康考迪亚大学电子与计算机工程系 加拿大)

1 引言

极化敏感阵列通常是由电磁矢量传感器(EmVS)按一定空间位置排列组成的阵列，可同时测量目标的空间和极化角度信息，因此EmVS在阵列信号处理方面得到了广泛的应用，提出一系列目标参数估计算法[1−11]。这其中，文献[6]通过对电场和磁场导向矢量进行向量叉积(vector cross-product)得到目标DOA和极化参数估计，该方法无需阵元的位置信息，因此可以采用阵元任意分布的阵列结构，并且阵元间隔大于半波长时不会出现估计值的模糊问题，但增加阵元间隔对估计性能的改善作用不大。而文献[7,8]采用EmVS均匀稀疏分布阵列，先得到模糊的DOA估计，然后通过去模糊处理得到目标真正的DOA估计。该方法能够通过增加阵元间隔显著改善算法的DOA估计性能。然而，目前大多数算法都是基于特征值或奇异值分解[6−8,12−14](以得到信号/噪声子空间)，运算量比较大，因此不适合阵元较多以及需要对参数进行实时估计的情况。文献[9]推广了文献[6]的方法，提出了一种基于传播算子[9,10]的DOA估计算法，虽然有相对较低的运算量，但和文献[6]的方法一样，增加阵元间隔不会明显改善参数的估计性能。另外，上述的许多算法基于信号的协方差矩阵为非奇异的假设，因此也不适合处理在多径环境下的相干信号。文献[11]提出了一种解相干预处理技术，即极化平滑算法(PSA)，并结合MUSIC算法解决了利用EmVS阵列实现相干信号的DOA估计问题。相比空间平滑(SS)[12]算法，PSA没有减少阵列的孔径，但阵元间隔必须小于半波长；虽然可采用阵元任意分布的阵列结构，但需要2维搜索，运算量较大。

针对上述问题，本文利用稀疏且均匀分布的EmVS矩阵阵列，推导了一种新的解相干预处理方法-协方差矩阵平滑(CMA)，由该方法得到的信号子空间包含不存在相位模糊的EmVS导向矢量，利用此特点可实现去模糊处理。论文结合CMA的可去模糊性和PSA具有不减少阵列孔径的优势，采用传播算子实现了相干信号的DOA估计，无需奇异值分解和角度搜索，有相对较低的运算量；并且通过增加阵元间隔其估计性能能够得到显著改善。

2 信号模型

考虑K个全极化相干窄带平面波信号从不同方向入射到EmVS均匀分布的L×M矩形阵列[7,8]，其中L和M分别表示与x和y轴平行的阵元个数。令第k个入射波参数为(θk, ϕk, γk, ηk)，其中0≤ϕk＜2π，0≤θk＜π/2分别表示该入射波的方位角(与x轴夹角)和仰角(与z轴夹角)，而0≤γk＜π/2和−π≤ηk＜π为其极化参数。不失一般性，考虑6分量EmVS，它是由相互正交且共点的3偶极子加三3磁环单元构成的，其6×1维导向矢量ck=[c1,k,…,c6,k]可表示为

其中Θ(θ, ϕ)=[χ1, χ2]和g(γ, η)=[sinγejηcosγ]，且b(θ, ϕ)=[cosϕcosθ,sinϕcosθ,−sinθ]T,b(θ, ϕ)=12[−sinϕ cosϕ]T，。对于阵列的第(l,m)个阵元，其在时刻t所得到的6×1维测量矢量为

其中sk(t)表示第k个信号的复包络。在入射波信号为全相干的情况下，sk(t)可表示为sk(t)=(t)，β为一非零复常数；=ej2πΔxukλ和q=kλ分别表示平行于x轴和y轴方向相邻v阵,k元的空间相位因子，Δx和Δy分别表示x和y方向的阵元间隔，λ为波长；nl,m(t)表示高斯白噪声矢量。整个矩形阵列的6LM×1维导向矢量可表示为qu(uk)⊗qv(vk)⊗ck，其中qu(uk)=[qu,k,…,]T,qv(vk)=[qv,k,…,]T, 而⊗表示Kronecker积。

3 协方差矩阵平滑(CMA)算法

第(l,m)个阵元和第(a,b)个阵元测量矢量的协方差矩阵可表示为

且N=M－K+1;ak≜qu(uk)⊗(vk)⊗ck;(vk)=[qv,k,…,]T;V=[v0,…,vK−1],vn=diag(,…,)；H(a,b)=⊗Γ(a,b)，Ii是i×i单位阵，矩阵 W(a,b)由相应的LM个噪声协方差矩阵(l=1,…,L; m=1,…,M)构成。容易证明的秩为K，且可得到平滑矩阵

其中Ω =V[H(1,1),…,H(1,M),…,H(L,M)]，W=[W(1,1),…,W(1,M),…,W(L,M)]。

文献[11]提出的PSA也是一种解相干预处理方法，它首先计算矢量阵列中EmVS的6个测量分量的自相关矩阵Ri=Q(ΛiRsΛi)HQ+Rw,i(i =1,…,6)，其中Λi=diag(ci,1,…,ci,K)，Rs和Rw,i分别为信号和噪声的协方差矩阵，Q=[qu(u1)⊗qv(v1),…,qu(uK)⊗qv(vK)]为LM×K维Vandemonde矩阵。由于信号相干，Q(ΛiRsΛi)HQ 为秩亏矩阵，但是当K≤6时，可通过对相关矩阵Ri(i=1,…,6)进行相加平滑得到满秩矩阵=R1+,…,+R6。PSA的好处是不存在阵列孔径的损失，因此有更低的估计误差。但PSA处理的相干信号的个数受所采用的EmVS类型的限制；对于基于PSA的子空间方法，矩阵Q张成信号子空间，且其只包含空间相位因子qu,k和qv,k，当阵元间隔大于半波长时，根据qu,k和qv,k得到的方向余弦估计存在周期性的相位模糊，因此利用PSA无法实现去模糊处理。而对于CMA算法，从式(6)的协方差平滑矩阵R可以看出，A张成其信号子空间，且A不仅包含空间相位因子qu,k和qv,k，也包含导向矢量ck，而ck中的元素不存在相位模糊，因此可以利用CMA算法的特点来实现去模糊处理。

4 基于传播算子方法(PM)的DOA估计

其中P表示K×(LM-K)维线性算子或传播算子矩阵[9,10]。相似地，极化平滑矩阵可分割为两个子矩阵=[,]H，其中和分别由的前K行和后LM-K行构成。因此可通过下面的式子得到传播算子矩阵P的估计

利用得到的传播算子矩阵P，分别计算空间相位因子qu,k和qv,k，从而得到信号的方向余弦。当阵元间隔大于半波长时，结合CMA算法实现方向余弦的去模糊处理。

4.1 相位因子qu,k和qv,k的估计

同样为了得到qv,k估计，定义和且

其中Π1和Π2为两个块对角矩阵，分别包含L个对角块和，则=Dv，Dv=diag(qv,1,…,qv,K)，因此存在算子矩阵P使得=[()T,(Dv)T,从而可通过特征值分解得到相位因子{qv,k, k =1,…,K}，其中Pv,1，Pv,3，和的定义类似于Pu,1，Pu,3，和。

命题1 分割算子矩阵P=[P1, P2,…, PL]，使得P1为K×(M-K)维子矩阵，而Pi(i=2,…, L)为K×M维子矩阵，那么Pu能表示为Pu=[P1,P2,…,PL−1, P2,…, PL]。

由命题1和命题2可以知，算子矩阵Pu和Pv可通过P直接变换得到，无需重新计算；另外，Pu ,3和P的特征值分解具有相同的特征矢量集，因此v,3在实际的应用中，估计值{,k=1,…,K}和{,k=1,…,K}可通过它们对应的特征矢量关系实现配对[6]。

4.2 去模糊处理

与文献[7]提出的基于ESPRIT的孔径扩展算法相比，本文的算法(PSA/CMA-PM)有两个优势：其一是有相对较低的运算量。本文提出算法主要是涉及两个传播算子矩阵P和P的计算，共需要的计算量(乘法单元数)级为O(7LMKF－6LK2F+6LKF)[9,10]，其中F表示快拍数；而ESPRIT算法[7]需要特征值分解来获得信号/噪声子空间，相应的运算量为O((6LM)2F)。分析可知本文算法与ESPRIT算法[7]的比值小于O(7K/36LM)，且阵元越多，本文算法所表现出来在计算量上的优势就越明显。其次，本文能够实现相干信号的DOA估计，而ESPRIT[7]不能。事实上，我们也能够结合PSA和CMA解相干技术以及ESPRIT子空间算法，实现孔径扩展及相干信号的DOA估计，但这种算法(PSA/CMA-ESPRIT)需要两次特征值分解，运算量较大。另外，本文提出的PSA/CMA-PM与文献[9]基于PM的算法有相近的运算量，但是本文提出的算法能够处理相干目标的参数估计，且通过增加阵元间隔估计性能能够得到显著的改善。

5 计算机仿真实验

在这节，通过仿真实验来验证PSA/CMA-PM算法的性能，并与PSA/CMA-ESPRIT算法、ESPRIT[7]算法和PM[9]算法进行比较。采用阵元均匀分布的4×5矩形极化敏感阵列(L=4, M=5)，且假设两个方向的阵元间隔相等(Δ= Δx=Δy)。两个相干信号的参数分别为θ1=55o，ϕ1=70o，γ1=45o，η1= -90o和θ1=65o，ϕ2=80o，γ2=45o，η2=90o，并定义DOA估计的均方根误差(RMSE)为RMSEk=。进行500次Monte-Carlo独立实验。

图1比较了PSA/CMA-PM和PSA/CMAESPRIT两种算法对第1个信号的DOA估计误差与信噪比(快拍数为200)和采样快拍数(SNR=20 dB)的关系。我们考虑了3种不同的阵元间隔Δ= λ/2，3×λ/2和8×λ/2。从图中可以看出，对于不同的信噪比和采样快拍，采用更大的阵元间隔，两种算法均能够得到更好的估计性能。另外，虽然PSA/CMA-PM的运算量大大低于PSA/CMA-ESPRIT，特别是在阵元较多和入射波信号较少的情况下，但是图1显示了其估计性能却非常接近于PSA/CMAESPRIT。

图2分别针对相干和非相干信号给出了PSA/CMA-PM，PSA/CMA-ESPRIT，ESPRIT[7]和PM[9]4种算法对第1个信号的DOA估计误差与阵元间隔的关系，采样快拍为200，信噪比为20 dB。从图2(a)可以看出，ESPRIT[7]和PM[9]算法无法实现相干目标的DOA估计，而对于PSA/CMA-PM和PSA/CMA-ESPRIT两种算法，其估计误差随着阵元间隔的增大而显著下降。但当阵元间隔大于40×λ/2时，估计性能出现不稳定，这是由于阵元间隔Δ的增加引起模糊估计值数量的增加，同时它们之间的差值λ/ Δ在减少，从而使得在式(11)中出现了错误判决，且这种错误判决的概率也在增加，因此导致估计误差可能反而变大。而对图2(b)中的非相干目标，增加阵元间隔使得ESPRIT[7]算法的估计误差也出现了明显的下降，且与PSA/CMA-PM和PSA/CMA-ESPRIT表现出相近的估计性能；而PM[9]的估计误差没有明显的变化，事实上，该方法通过空间/极化旋转不变特性，利用PM的方法得到EmVS导向矢量ck的估计，然后根据向量叉积直接得到方向余弦uk和vk的估计，无需阵元的位置信息，因此该方法的优点是当阵元间距大于半波长时，不会出现角度估计模糊现象，但是通过增加阵元间隔所得到估计性能的改善是有限的。

6 结论

本文采用电磁矢量阵列提出了一种新的解相干预处理算法—协方差矩阵平滑(CMA)，当阵元间隔大于半波长时，基于CMA的子空间方法能够对相干目标DOA估计值实现有效的去模糊处理。论文首先利用极化平滑算法不减少阵列孔径的特点，通过传播算子得到高分辨但模糊的DOA估计；然后通过CMA构造信号/噪声子空间实现去模糊处理，得到目标实际的DOA估计。算法的实现过程无需奇异值分解和角度搜索，因此有相对较低的运算量。

图1 DOA估计误差与信噪比和快拍数量的关系

图2 DOA估计误差与阵元间隔的关系

[1] Tabrikian J, shavit R, and Rahamim D. An efficient vector sensor configuration for source localization[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2004, 11(8): 690-693.

[2] Xiao Jin-Jun and Nehorai A. Optimal polarized beampattern synthesis using a vector antenna array [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(2): 576-587.

[3] Gong Xiao-feng, Liu Zhi-wen, and Xu You-gen. Direction-ofarrival estimation via twofold mode-projection[J]. Signal Processing, 2009, 89(5): 831-842.

[4] Xu You-gen, Liu Zhi-wen, Wong K T, and Cao Jin-Liang.Virtual-manifold ambiguity in HOS-based direction-finding with electromagnetic vector-sensors[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2008, 44(4): 1291-1308.

[5] Mir H S and Sahr J D. Passive direction finding using airborne vector sensors in the presence of manifold perturbations[J]. IEEE Transactions Signal Processing, 2007,55(1): 156-164.

[6] Wong K T and Zoltowski M D. Closed-form direction finding and polarization estimation with arbitrarily spaced electromagnetic vector-sensors at unknown locations[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2000,48(5): 671-681.

[7] Zoltowski M D and Wong K T. Closed-form eigenstructurebased direction finding using arbitrary but identical subarrays on a sparse uniform rectangular array grid[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2000, 48(8):2205-2210.

[8] Zoltowski M D and Wong K T. ESPRIT-based 2-D direction finding with a sparse uniform array of electromagnetic vector sensors[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2000,48(8): 2195-2204.

[9] He Jin and Liu Zhong. Computationally efficient 2D direction finding and polarization estimation with arbitrarily spaced electromagnetic vector sensors at unknown locations using the propagator method [J]. Signal Processing, 2009, 19(3):491-503.

[10] He Jin and Liu Zhong. Efficient underwater two-dimensional coherent source localization with linear vector-hydrophone array[J]. Signal Processing, 2009, 89(9): 1715-1722.

[11] Rahamim D, Tabrikian J, and Shavit R. Source localization using vector sensor array in a multipath environment[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2004, 52(11):3096-3103.

[12] Wang Hong-yi and Liu K J R. 2-D spatial smoothing for multipath coherent signal separation [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1998, 2(34): 391-405.