K分布杂波中分布式目标的Rao检测

张晓利 关 键 何 友

(海军航空工程学院电子信息工程系 烟台 264001)

1 引言

当高分辨雷达(HRR)具有将一个目标分辨成在不同距离单元内的多散射中心的能力时，分布式目标的检测问题便产生了。近年来出现了大量有关这方面的文献。其中，以美国海军研究实验室的Gerlach和意大利的Conte, Maio等学者为代表的专家对分布式目标检测问题进行了深入的研究，研究内容主要集中在分布式目标的回波模型、杂波统计规律、检测器设计等方面。其中，文献[1]在白噪声背景下，假设分布式目标散射中心的空域分布密度为近似二项分布，推导了依赖于散射点分布密度的广义似然比检测器(SDD-GLRT)。文献[2]在非高斯背景下，提出了具有恒虚警率(CFAR)特性的独立于散射点分布密度的广义似然比检测器(NSDDGLRT)和SDD-GLRT。文献[3]采用基于GLRT的“一步法”和“两步法”给出了具有CFAR性能的检测方案。“两步法”GLRT在计算复杂度、实时性、检测性能、硬件实现等方面都要明显优于“一步法”GLRT。文献[4]采用杂波分组的思想处理非均匀高斯杂波中分布式目标的检测。文献[5]将Rao检验和Wald检验应用到复合高斯杂波中距离扩展的分布式目标的检测中，利用杂波分组的思想，得到了两个自适应检测器，即自适应Rao检测器(ARAO-RX)和自适应Wald检测器(AWALD-RX)。文献[6]假设分布式目标是子空间信号，总的干扰是高斯色噪声和杂波的叠加，杂波也是子空间信号，并且其所在的线性子空间是未知的；采用GLRT检验理论，在假设能够得到只含有高斯色噪声的辅助通道数据的前提下，分别在均匀背景和非均匀背景下推导了“一步法”GLRT和“两步法”GLRT。仿真结果表明“一步法”GLRT的性能要好于“两步法”GLRT，但是前者的计算量要远大于后者。文献[7]采用GLRT检验理论，研究了目标在距离和Doppler频率维同时扩展的情况，针对目标散射体被建模为确定性未知和高斯随机两种情况进行了深入的研究。当目标速度未知时速度估计误差造成方向矢量失配，文献[8]研究了此种情况引起的方向矢量失配对GLRT的影响。文献[9]在分析了宽带雷达目标回波特点的基础上，提出了一种基于顺序统计量的距离扩展目标检测器。

2 问题描述

2.1 信号模型

分布式目标的信号模型大都采用多主散射点(MDS)来建模，即分布式目标在每个距离分辨单元内的回波是该分辨单元内有限个孤立的强散射点回波的矢量和。假设分布式目标在距离和Doppler频率维同时扩展，则分布式目标在第t (t=1,2,…,H)个距离分辨单元中回波的第n次采样可以表示为

其中H是待检测的分布式目标所占据的距离单元总数；t是距离单元编号；Nt是第t个距离单元内分布式目标的散射点总数目；at,k是第t个距离单元内第k个散射点的幅度；ft,k=fd(t, k)/fr为无量纲的数字频率，fd(t, k)表示第t个距离单元内的第k个散射中心的Doppler频率，fr为归一化频率。

式(1)可以等价地表示为

式(2)表明分布式目标可用子空间模型表示，即目标的回波处在由酉矩阵Ut的列矢量张成的信号子空间＜Ut＞上，酉矩阵Ut称为模式矩阵；Nt×1维的列矢量bt称为位置矢量。

2.2 杂波模型

一个球不变随机变量的雷达杂波可以用如下的乘积模型来表示

其中散斑分量xt是短相关时间的快起伏分量，有xt～CN(0,Mx)；纹理分量τt代表了检测单元内的杂波功率水平，服从Gamma分布。上述乘积模型中的复高斯散斑分量与Gamma分布的纹理分量合成的结果就是K分布杂波。本文采用SIRP模型仿真K杂波作为HRR杂波的统计模型。

2.3 检测问题描述

设观测模型为

由式(4)可以将分布式目标的检测问题归结为如下的二元假设检验：

其中zt是基带复数据观测矢量。st是分布式目标的有用信号矢量，用式(2)表示。ct是HRR杂波，用式(3)表示。在上述观测模型中，已知的数据有N×1维的复基带数据观测矢量zt，N×Nt维的模式矩阵Ut，即分布式目标所在的子空间。问题就是构造出检验统计量对式(5)的二元假设检验作出判决。

3 构建检测器

目前大多数文献对于式(5)的假设检验作出判决采用的是GLRT准则。然而GLRT不具有最优性能，本文用Rao检验(与GLRT有相同的渐进性能)对式(5)进行判决。一般而言Rao检验，与GLRT相比，易于计算。因为它不需要用估计H1假设下的未知参数，只需估计H0假设下的未知参数。本文用两步法推导基于Rao检验的检测器，步骤如图1所示。

图1 检测器构造步骤

为方便起见，做如下假设：bR,t、bI,t分别表示bt(t=1…H)的实部和虚部；θr=[bR,1,bI,1,…,bR,H,bI,H]T是列矢量；θs=[τ1,…,τH]T是列矢量；θ=[θrT,]T。在此假设下的Rao检验为

其中γ是检测门限；f(z1,…,zHθ,Mx)是H1假设下的P D F；∂/∂θr=[∂/∂bR,1,∂/∂bI,1…∂/∂bR,H,∂/∂bI,H]T表示θr的梯度算子；θ0是θ在H0假设下的最大似然估计；I(θ)=I(θr, θs)是Fisher信息矩阵，可以写成则

下面给出PDF和计算与θr有关的梯度算子。由假设可知H个分辨单元内的N×H维的观测矩阵Z=(z1,z2,…,zH)的联合条件PDF

由于现金流的不足或者担保物品的缺乏，中小工业企业融资渠道少，多数只能从小额贷款公司或者商业银行取得贷款，这些贷款的利率普遍较高。如果不能从银行取得融资，那只能从亲戚朋友借款，这部分的资金成本更高，企业业绩如果没有明显的上升，等到借款偿还期限一到，无法归还借款，企业就面临资金链断裂，走向破产的边缘。即使能周转归还借款，平时的资金成本也大幅侵蚀了企业利润，导致企业效益低下，很难有较大的成长空间。

其中|.|表示矩阵的行列式。对其求导可得

其中Re{.}和Im{.}分别表示自变量的实部和虚部。那么，

通过计算，可得Fisher信息矩阵为

其中0n,m表示n×m维零矩阵；diag (δ1,…,δn)表示n×n维对角矩阵，其对角线元素为δ1,…,δn。则

在H0假设下θ的最大似然估计为=其中表示H维列矢量[10]：

其中argmaxθs(⋅)表示θs取最大值时的标号。

其中q=L−1s=(L−1U) b=Uqb是白化滤波器L−1输出的信号矢量。q仍然是一个子空间信号，在由Uq=L−1U确定的信号子空间上，信号子空间U上的投q影矩阵为，则式(10)成立

事实上，式(9)是对目标所占据的几个距离单元分别做检测，然后对各距离单元输出的统计量进行非相参积累，形成最终的检验统计量，与门限进行比较。各个距离单元的检验统计量的计算是通过“白化”后信号向信号子空间投影的能量和“白化”后信号总能量之比来确定的。由式(10)可以看出，检验统计量是独立于检测单元的杂波功率水平，所设计的检测器对于杂波功率水平具有CFAR特性。

像现有的雷达目标检测文献一样，假设可以获得与被检测的主通道邻近的HK个辅助通道的观测zt(t=H+1,…,H(K+1))。该辅助通道数据不包含有用的目标信号，并且和待检测的主通道杂波散斑分量有相同的协方差矩阵。则辅助通道数据的归一化采样协方差矩阵是主通道杂波散斑分量的协方差矩阵Mx的最大似然估计。按照“两步法”的设计方法，用S代替式(9)给出的GRAO中的主通道杂波散斑分量的协方差矩阵Mx，得到距离扩展目标的自适应Rao检测器(A-GRAO)为

4 仿真分析

由于本文所提出检测器的检测概率没有解析表达式，本节采用Monte Carlo仿真对其检测性能进行分析，并与以前的检测器进行比较。

4.1 仿真参数设置

在Monte Carlo仿真中的参数设置为：各个散射点的幅度服从自由度为2 m的2χ起伏的独立同分布的随机矢量；H=4, H=3, H=2时各散射点的归一化无量刚的数字频率ft,k的取值分别见表1-表3。在表中同时给出了出现在各个距离分辨单元内的散射点总数目Nt的值。

表1 H=4时散射点归一化频率

表2 H=3时散射点的归一化频率

表3 H=2时散射点的归一化频率

K分布杂波的形状参数为v，尺度参数为b，杂波的平均功率为σ2=E(τ)=v/ c2，其中c=b/2。信杂比SCR(dB)定义为

在仿真中设定虚警概率为Pfa=10−4。

4.2 仿真结果及分析

图2仿真了距离和Doppler频率维同时扩展的A-GRAO的检测概率与信杂比曲线，其中H=4。仿真参数含义为：N是采样数；K是辅助通道数；m是χ2起伏目标的自由度。为了进行比较，同时也仿真了仅在距离维扩展的ARAO-RX[5]和仅在Doppler频率维扩展的MSD[10]。在仿真ARAO-RX的性能时，假设H=4，其导向矢量为p =[1,ej2πfd,…,ej(N−1)2πfd]T，fd是所有散射点的归一化Doppler频率，在仿真中设fd=0.1。在仿真MSD的性能时，假设目标能量都集中在一个距离单元，每个距离单元内的杂波能量也相应地提高了H倍；频率维扩展为2维子空间，在仿真中取表1的距离单元编号为1的那组数据。从图2可以看出，A-GRAO的性能要明显好于ARAO-RX与MSD的性能。事实上，目标建模为在距离维和Doppler维上的扩展更加符合实际情况，减少了由于引入模型引起的误差，所以会提高检测概率，当然这也是以增加计算量为代价的。下面将分析杂波和目标参数对A-GRAO检测性能的影响。

从图3和图4中可以看出增加相干积累数N和增加距离分辨单元数H都可以明显改善A-GRAO的检测性能。仿真中杂波的平均功率为1。N对检测性能的影响非常明显，随着N的减少，检测性能显著下降。在目标总能量相同的情况下，目标占据的距离单元总数越多，检测概率越高；也就是说，雷达的分辨率越高，检测概率也就越高。

图5分析了不同的MDS模型对A-GRAO检测性能的影响。MDS模型如表4所示，其中标明每个距离单元中的目标能量与目标总能量之比。目标的总能量为所有散射点的能量和，即。每个散射点的能量为。从图5的仿真结果可以看出，当距离分辨单元总数相同时，目标能量在不同距离单元中的不同分布对检测概率的影响相对于其它参数的影响来说是很小的。

图2 A-GRAO、ARAO-RX和MSD的检测概率与信杂比曲线，N=8，K=8，v=2，m=1

图3 A-GRAO的检测概率与信杂比曲线，H=4, K=8, v=2, m=1, N为参数

图4 A-GRAO的检测概率与信杂比曲线，N=16, K=8, v=2, m=1, H为参数

表4 H=4时各距离单元的能量

图5 A-GRAO的检测概率与信杂比曲线， H=4, N=16, K=8, v=2, m=1

图6是分析杂波的形状系数v对A-GRAO检测性能的影响。由图6可见杂波越尖锐(v越小)，检测概率越高，原因是v越小，杂波的非高斯特征越明显，所设计的A-GRAO就能充分发挥作用。即A-GRAO具有在强非高斯杂波中检测微弱目标的能力。文献[2,4]给出的两个距离扩展的分布式目标的检测器具有相类似的结果。

图6 A-GRAO的检测概率与信杂比曲线， H=4, K=8, N=16, m=1, v为参数

5 结束语

本文用子空间模型对分布式目标建模更符合实际情况；Rao检验不需要估计H1假设下的未知参数，减少了计算负担。GRAO具有对杂波功率水平的CFAR特性。经仿真验证：A-GRAO具有良好的检测性能；在增加相干积累数和增加距离分辨单元数的情况下都可以改善其检测性能；K分布越尖锐，A-GRAO检测概率越高；在目标所占的距离单元数目一定的情况下，目标能量在各个距离单元之间的分布在对检测概率的影响有限。

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