数学解题美的挖掘与思维培养

■江思容

数学解题美的挖掘与思维培养

■江思容

数学中，一个优美的图形，一个对称的式子，都能唤起数学美感。解题教学中，教师如果注意挖掘数学美感，让学生认识到数学也是一个色彩艳丽的世界，就可以大大消除数学枯燥难学误解，激发学生学习数学的积极性，提高学生数学思维水平与思维品质。

一、揭示简洁美，培养思维的灵活性

简洁美是数学中最基本的美，它一方面表现在数学对象合理简单的表达形式上，如几何概念的简洁性、定理的精炼性、图形的直观性、符号的概括性等；另一方面则表现在对一些复杂问题的简单解答上。一些复杂的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质往往比较简单，解题时如果从简单的一面进行思考，就能使问题顺利解决。

例1，解方程:

分析：本题若去分母,再两边平方计算很繁。如果联想到不等式的性质,(其中a≥0，b≥0),当且仅当a=b时等号成立，再结合已知方程的左、右边式子特征，就能轻松解题。要使等号成立，必须且需，于是解原方程就转为解方程：，解这个方程得：x=-2，经检验知：x=-2是原方程的根。

二、挖掘对称美，培养思维的敏捷性

平面几何中有很多图形都是对称的，如果在欣赏这种对称美的同时，能抓住它的对称信息并熟练运用它的简洁性、对称性，就可使问题化繁为简，化难为易。

例2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE=AM，E为垂足，求证：

分析：本题利用对称补形，作出矩形ABCD关于BC的对称图形A'BCD'，易知，延长AM恰过D'，利用面积关系DE·AD'=AD·DD'即可得结论。该题的解法很多，但只有“对称性”法最简单。如此用对称性质解题，可让学生感受一种美，从中也体验了思维的敏捷性。

三、寻求相似美，培养思维的迁移性

数学的相似美是指各种数学形式之间存在的相似因素赋予人的一种美。因此，可利用相似性的启示，找到正确的解题途径，通过运用联想、类比、猜想等方法推广命题，形成问题链，从而培养学生思维的迁移性。

例3，(1)设a、b、c为实数，求证方程x2-(a+b)x+(ab-c2)=0有两个实根，并确定两根相等的条件。

(2)k为何值时，(k+2)x2+6kx+4k+1是一个完全平方式？

(3)求证m取任何实数时，抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12与x轴都有两个交点。

(4)m为何实数时，函数y=mx2+(m-2) x+m-1的值恒为正？恒为负？

(5)设a、b、c是三角形的三边，且方程(cb)x2-2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实根，求证此三角形是等腰三角形。

分析：这五道题从表面上看似乎没有任何联系，但只要认真审题、仔细推敲，就不难洞察到它们本质上的共同点，其解题方法包含着相似的因素，都在于判别式的灵活应用。

四、构思奇异美，培养思维的独创性

思维方式的奇异美，是指人们在解决数学问题时，突破常规大胆设想，另辟蹊径标新立异所带给人的一种美。这种美的思维方式不是简单的套用模式，而是用巧妙的构思、新颖奇特的方法解决问题，是一种创造性的思维。在数学解题教学中，教师可以引导学生敢发奇想，培养他们的奇异思维和独创能力。

分析：该题若按常规思路，理当先化简代数式，从已知条件求出字母所表示的值，然后将字母的值代入计算结果，这样学生似乎感到满足，思维就停止活动，就在这“理当如此”的地方，提出这样的一个问题。是否非要从已知条件求出字母所表示的值呢？这一问就把学生从常规思考方法中引出来，考虑非常规的解题方法。根据本题的条件和所求的代数式，可引导学生这样思考：由已知条件求得，而，然后求得值为。

总之，在数学解题教学中，教师要善于引导学生发现数学的内在美、数学方法美，挖掘学生的非智力因素，激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣和审美情感，让学生在数学解题中得到优美愉快的享受。

（作者单位：武汉市洪山区教育科学研究培训中心）

责任编辑 王爱民