柔性机械臂逆动力学问题的分析和求解

孟庆元

（天津工业大学，天津 300160）

双连杆柔性机械臂，是柔性系统中最为典型的例子之一。在实践中，对其端点的运动实现精确的控制的最重要因素，是控制算法的计算速度，复杂的控制算法难以实现。而逆动力学建模和控制是紧密相关的，通过逆动力学方法，得到一个比较精确的驱动力矩作为前馈，再施以适当的控制算法，以实现对机械臂的高速、高精度控制，则是一种具有实效的方法。

关于柔性臂控制的逆动力学方法的研究，报道尚不多见，其中文献[1~5]对动力学方程解耦，即把动力学方程近似分解成一些相对简单的系统，从而得到逆动力学的表达式。Matsuno通过对采用切线坐标系的动力学模型进行简化[4]，得到了一种实时的逆动力学方法。Gof ron等应用了驱动约束法[5]，把期望运动处理成非定常约束。Bayo在频域内进行了逆动力学求解[6]。

在逆动力求解中，常常会遇到求得的力矩不准、力矩振荡很大、求解繁琐等问题。因此，讨论逆动力学求解的特点和性质是非常重要的，并有助于采用合理的方式得到比较好的前馈力矩。

1 动力学和逆动力学模型

一般情况下，柔性机械臂的两根连杆横向弹性变形（弯曲）较小，则忽略机械臂的径向变形；假定关节及臂端负载均为集中质量，则忽略其大小。同时，暂不考虑电机转子的转动惯量和电机的阻尼。

图1 双连杆柔性臂

图1是一双连杆柔性机械臂，两臂间关节电机质量为m1，上臂端部集中质量为m2，两连杆质量和抗弯刚度分别为M1和M2，EI1和 EI2，两连杆的长度分别为 L1和 L2，J1和J2为两关节电机提供的力矩。

连杆变形很小，对每根连杆建立一个运动坐标系，使得连杆在其中的相对运动很小。机械臂的整体运动，则可由这两个动坐标系的方位角来描述。于是，在动力学模型中将有两类变量，一类是幅值很小，但变化迅速的弹性坐标；另一类是变化范围较大的方位角。本文采用端点连线坐标系，即将连杆两端点的连线作为动坐标系的x轴（见图1）。描述整体运动的是两个角度θ1和θ2，而连杆相对于动坐标系的运动，则可视为简支梁的振动。这样，动力学模型刚度阵的弹性坐标互相不耦合，臂端的位置可由θ1和θ2确定，其期望运动形式（或数值解）：

如采用其他形式的动坐标系，两杆的弹性坐标将耦合在一起，而且在逆动力学求解时，将不得不处理微分方程与代数方程组合的方程组。

对每个机械臂取两阶模态坐标来描述，应用拉格朗日方法得到动力学方程：

式中，M为6×6质量阵；H为速度的二次项；K为6×6刚度阵；f为重力的广义力向量；Qτ为驱动力矩的广义力向量其中a1和a2、b1和b2分别是两个机械臂的一阶和二阶弹性坐标。

柔性臂系统的逆动力学问题，是指在已知期望末端操作器运动轨迹的情况下，结合逆运动学与动力学方程对关节力矩进行求解。如果直接进行逆动力学求解，即把式（1）代入动力学方程式（2）中，对方程中的弹性坐标和力矩进行求解，一般情况下，其数值解将很快发散。

表达系统运动状态的坐标，可以看成有两部分组成：大范围的相对缓慢的运动（慢变）部分和小范围的振动（快变）部分。本文试图将这两部分分离，分别讨论其逆动力学特性，并以此来分析整体系统的逆动力学问题。

2 快变部分的逆动力学问题

首先，寻求两个关节力矩使端点保持不动，先不考虑大范围的运动。此时，重力只起了一个改变平衡点的作用，在方程中把与它相关的部分略去，在动力学方程（2）中令

在方程（3）中消去 τ1和 τ2得

式中，

对式（4）降阶：

其中，I是四阶单位阵。方程（5）可化为下列形式：

式中A=R-1S。求出A的特征值分别为

因A的特征值存在正实部，则方程（3）所表示的系统不稳定，其解发散，即双连杆柔性臂在这种情况下，其振动问题的精确逆动力学解是发散的。

A的各特征值在复空间分布关于虚轴对称，必然会出现正实部，如选取更多阶模态函数离散时，会出现同样的情况。因此，选取更多阶模态函数离散时，其振动问题的逆动力学解是发散的。

有文章提出，用迭代法进行逆动力学求解，当积分步长很小时，其解是发散的；当积分步长较大时，便可得到较好的结果。其原因是因为快变部分的逆动力学解发散，当步长较大时，相当滤掉了快变部分，便可得到较好的结果。

3 慢变意义上的逆动力学

在进行慢变意义上的逆动力学求解时，应试图将弹性坐标中的振动部分滤掉，弹性坐标中不应含有振动部分，再结合期望的 θ1、 θ2求得力矩。

4 结束语

由以上分析可以看出，对于柔性机械臂系统，振动部分的精确逆动力学解是发散的，进行逆动力学求解时，应滤掉振动部分，在慢变的意义上进行，才能得到比较好的前馈力矩。

[1]Matsuno F,Sakawa Y.Dynamic hybrid position/force control of a two degree-of -freedom flexible manipulator[J].Journal of Robotic Systems,1994,11(5):355-366.

[2]Yoshikawa T.Dynamic hybrid position/force control of robot manipulators-description of hand constraints and calculation of joint driving force[J].IEEEJRA,1987,(3):386-392.

[3]KwonDS,Book WJ.An inverse dynamic method yieldingflexible manipulator state trajectories[C].Proceedings of the American Control Conference,SanDiego,PublbyAmerican Automatic Control Council,1990,27-37.

[4]Matsuno F.Modeling and quasi-static hybrid position/force control of constrained planar two-link flexible manipulators[J].IEEE Transactions onRoboticsandAutomation,1994,10(5):287-297.

[5]Gof ron M,Shabana A A.Control structure interaction in the nonlinear analysis of flexible mechanical systems[J].Nonlinear Dynamics,1993,(4):183-206.

[6]Bayo E,Moulin H.An efficient computation of the inverse dynamics of flexible manipulators in the time domain[C].Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation,Scottsdale,Publ by IEEE,1989,710-715.