深入数学本质 浅出数学道理

徐汝成

（南通高等师范学校，江苏 南通 226006）

数学具有高度的抽象性，如何把高度抽象的学术形态的数学知识转化为易于学生接受的教育形态的数学知识，是数学教师研究的永恒课题。我们认为要较好地实现从学术形态的数学向教育形态的数学转化，老师首先必须对所教数学内容作深入的研究，理解其知识的本质（内涵），然后选择适当的方法浅出数学道理，使学生真正学到数学的思想精髓。本文结合小学数学的相关内容，例说如何深入数学本质、浅出数学道理。

一、深入数学本质

数学中的每一个概念、法则、方法都具有高度的抽象性，对于这些数学知识，教师不仅要能陈述其定义、结论、程序，而且要能抓住其本质属性，即教师要有深刻的理解，只有这样，教师才有可能据此设计出好的教学方案。

例如，有的老师在教学“解决问题的策略——倒推”（苏教版小学数学教材第五册第88页）时，揭示课题用了一组铺垫题，其中包括刘翔在奥运会上参加110米栏比赛的过程画面以及该画面的倒放镜头，同样还包括姚明在参加NBA比赛时的一段上篮过程画面以及该画面的倒放镜头，学生很开心，但没有获得真正意义上“倒推”的感性认识，因为老师所展示的不是倒推，而仅仅是倒过来的东西，倒推的本质是反向思维，是以解决问题为目标的，上述倒过来的画面仅仅有倒过来的过程，而没有解决问题之目的，所以本质上不是倒推。之所以出现这样的问题，是因为老师对“倒推”的本质没有把握，进而发生了偏差。

小学数学内容常常给人以浅显的感觉，但其背后隐藏的意义往往是十分深刻的，面对任何一个教学内容，老师应该从多角度进行深度分析，把握其实质。如“认识分数”（苏教版小学数学教材第五册第36页）中的“分数单位”这个概念，其实质远比课本上的形式化的定义（把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。表示其中一份的数，叫做分数单位）要丰富得多，隐藏在其中的有单位思想——单位是由于比较的需要产生的，它是量与量之间进行间接比较的媒介（即产生的原因和根本作用）。单位思想到处有，也较为宏观，在此是其具体表现，但由于是具体的数单位，相对于实物单位（如米等等）而言又更抽象了，这就需要老师进行深度分析，进而获得实质性的把握，只有这样，才能进行有针对性的教学设计，达到使学生通过适当的学习，进而深刻领会其意义的目的。

二、浅出数学道理

深刻的数学本质，要通过适当的方法呈现给学生，使之易于接受，教师必须进行教学法的加工，做到深入浅出。

1.浅出概念的内涵

概念有两个方面，一是外延，二是内涵，外延是表像的，内涵是内隐的，概念教学中我们不仅要求学生明确概念的外延，而且要求学生明确概念的内涵。然而由于概念内涵的抽象性和小学生的年龄特点，在概念内涵的理解方面学生往往存在较大困难，有的尽管能够背出概念的定义，但就其认知理解而言往往还只是停留在外延层面。教师就要深入分析，分析概念的各个方面，分析学生学习的可能困难或障碍，据此设计相应的教学方案。例如，“分数单位”概念的教学，如果在得出分数的定义后直接告知学生其定义（表示其中一份的数，叫做分数单位），学生也可以据此判别哪些是分数单位，哪些不是，但学生的学习很可能只停留在概念外延的层面上，如何让学生理解这个概念的内涵呢？教师要把“单位”的思想（这是普遍意义上的）渗透在教学中，让学生体验分数单位产生的原因和作用，在此基础上给出其定义。一般地，教师在引导学生通过归纳得出分数的定义后，不要立即给出“分数单位”的定义，而要做一些必要的准备，如安排学生完成两个练习：练习一，3/4、2/5、4/7表示什么？（根据分数的意义说，进一步地能说出每个分数表示几个几分之一）；练习二，3/5和4/5各包含几个1/5，哪个大？3/7、4/7和5/7各包含几个1/7，比较三个分数的大小；比较分数3/8、5/8、7/8的大小。在此基础上引导学生分析认识1/5、1/7、1/8在比较大小中的地位和作用（桥梁作用、标准作用），最后指出鉴于他们的这种特殊性，分别把他们叫做相应分数的分数单位（如1/5是分母为5的分数的分数单位）。这样教学对学生而言，理解并不困难，因为这样的道理以十分具体的分数意义及比较大小为载体显现的，即进行了抽象问题具体化。学生在此基础上学到的知识不再仅仅是形式的概念，而是具有丰富内涵的概念。

2.浅出法则的证明

法则教学有两个重要方面，一是是什么，即法则的内容，二是为什么，即法则的证明。小学数学中的法则证明很多不是严格意义上的证明，我们称之为准证明，如有的采用不完全归纳法（验证），有的则隐藏在某一个特殊意义的知识中（如整数加法的交换律，用应用题得出特殊等式就隐藏着用集合运算性质推出整数运算性质的思想），且往往不明确说这是证明，但其要表明的或发挥的是证明的作用，这样做主要是考虑到小学生的接受水平。教学中常常出现由于无法严格证明而放弃证明的现象，这种放弃实际上就放弃了证明教学，放弃了对学生进行初步逻辑思维（进一步地是数学思维）的培养。教学中我们教师要完成准证明，让学生体验证明的思想，教师要对教材中的法则进行分析，理解编者意图，把隐藏在知识中的证明显性化，把抽象的证明简单化。例如，“分数的基本性质”的教学，一般是先借助直观图观察得到一些等式（如1/2=2/4=4/8），然后采用不完全归纳法归纳得到基本性质，从教学过程看这里的不完全归纳法主要发挥的是探索的作用，同时具有一定的证明功能。但这种证明不充分，其实我们可以将证明渗透在每一步之中，当我们从直观获得等式后，不要急于归纳结论，而要对1/2=2/4=4/8中的相等性作深入的分析，让学生理性地认识两个分数之间相等的必然性——结合图形分析1/2=2/4：将一个（饼）平均分成两份，取其中的一份用1/2表示，将这个（饼）在原来的基础上再进行一次均分，分得的份数变成原来的2倍，实际上现在的2份就相当于原来的1份，取2份就是取原来的1份，故1/2=2/4；同理分析2/4=4/8、4/8=8/16。这种分析特别强调两个分数之间的实质性联系：分子分母同时变化，且分的份数扩大几倍，取的份数同时扩大几倍，每一份变小了，取的份数多了，从而保持了前后的一致性（即相等性）。这实际上就是特殊的证明，由于借助于图形，图形变化的内在联系很直观，尽管分数的内在联系较抽象，但也不难理解。这一分析环节虽然不是严格的证明，好像只有很特殊的几个等式，但这每一个特殊等式的说明已经蕴涵了十分一般的证明思想，所以，应该说其发挥了证明的作用。学生通过这样的学习学到的不仅仅是结果性认知，而且是过程性认知，这里所指的过程有别于前述不完全归纳法之过程。

3.浅出方法的实质

新课程教材十分重视数学方法，将一些方法集中在单独章节“解决问题的策略”里予以介绍，教师对于这些方法的本质要能够准确把握，并通过教学使学生知道自己在解决问题时具体采用了什么特殊策略，还要使学生明晰采用某一策略时的具体步骤和关键。教学中教师可以让学生自行解决某个具体的实际问题（该问题需要用到一种策略），然后引导学生对解决问题的过程进行回顾，进而揭示问题解决的策略以及步骤。

例如，倒推策略的教学，第一步，提出问题解决问题：首先让我们来玩一个猜字游戏，这里有2张卡片，它们背后分别是一个汉字，第一个字加上一笔是二，那这个字是什么？你是怎么想到的？这个字加一笔是二，那么二减去一笔就是这个字“一”；继续看，第二个字减去两笔是付，那这个字是什么？你是怎么想到的？这个字减去两笔是付，那么付加上两笔就是这个字“附”。第二步，分析过程揭示方法：其实在刚才的游戏中，同学们与其说是猜中了字，还不如说是推理得到了字，请看……，这是在推理，而且这种推理与正向推理的方向正好相反，我们把它称为倒推。这种方法在日常生活和数学中经常被使用，今天我们就来学习这种解决问题的策略——倒推！第三步，讲解例题巩固方法：甲乙两杯果汁，共400毫升，甲杯倒入乙杯40毫升，结果两杯果汁同样多，问甲乙两杯原来各有多少果汁？在学生完成解答后，引导学生回顾分析什么地方使用了倒推策略——我们再回过头来看看刚才的解题过程，我们是怎样得到答案的？①先求出现在甲乙两杯有多少果汁（现在甲乙两杯都是200毫升），②根据“现在的情况”和“原来到现在的变化过程”求出原来的情况（甲杯减少40毫升后变成200毫升，那么，200毫升加40毫升就是甲杯原有的果汁数量），这里运用的思维方法就是——倒推。

这里第一、二步用十分简单的例子揭示方法是什么，学生很容易理解，第三步例子的问题解决较难，通过分析让学生辨别什么地方使用了倒推，明确仅仅是第②步使用了倒推，没有含含糊糊地说这道题的解决用了倒推，这样学生就能准确地把握方法的实质。