卡尔达诺关于三次方程的特殊法则

赵继伟

(西北大学 数学与科学史研究中心,西安 710127)

0 引 言

意大利数学家卡尔达诺 (G.Cardano,1501—1576年)于 1545年出版了《大术》[1—2]。这部著作首次记载了三、四次方程的解法,标志着经典代数学向近代的转变,伊夫斯把它称为数学史上的里程碑[3],有些数学史家甚至把它看作近代数学的开端[4]。

卡尔达诺对方程分类时保持了阿拉伯的传统,使方程各项系数为正,所以关于三次方程的一般法则,卡尔达诺在《大术》第 11—23章分为 13种类型进行讨论。由于卡尔达诺最早发表了三次方程的解法,所以三次方程的求根公式在现代数学中被称为“卡尔达诺公式”。当然,从优先权的角度看,意大利数学家费罗 (Scip ione del Fello,1465—1526年)和塔塔利亚 (N.Tartaglia,1499—1557年)在卡尔达诺之前就得到了某些特殊类型的三次方程的求根公式[5—7]。在《大术》中,卡尔达诺公式出现在第 11章和第 12章,由于代数符号的发展还不成熟,卡尔达诺使用的是文字叙述。用现代语言表述,第 11章的结论为①卡尔达诺的文字叙述为:把一次项系数的 1/3立方;用这个立方加上方程中常数的一半的平方;取整个和的平方根,这样做两次;用这两个平方根的一个加上刚才平方的常数的一半,并用另一个减去同样的数,你会得到一个和式和差式;然后用这个和式的立方根减去这个差式的立方根,则所得的差就是未知量的值。([2],98—99页):

x3+ax=c的正根为

第 12章的结论为①卡尔达诺的文字叙述为:当一次项系数的 1/3的立方不大于方程的常数的一半的平方时,用后者减去前者,再用方程的常数的一半加上或减去所得之差的平方根,你会得到所谓的和式与差式,它们的立方根之和就是未知量的值。([2],103页):若则x3=ax+c的正根为

在现代数学中,由于根式函数的多值性,卡尔达诺公式表示的是三次方程的三个复根。而且由于是在复数系下讨论这个公式,(2)式中的条件已经没有必要了。但是,对卡尔达诺本人来说,这个条件却是至关重要的,因为当时复数系还没有建立起来②虽然《大术》第 37章最早引入了复数,但是卡尔达诺既没有掌握复数的一般运算,也不接受这种数。,而这个条件保证了在实数系下运算的合理性,即平方根号下的值非负。

另一方面,卡尔达诺早在 1539年就注意到,当三次方程有三个互不相等的实根时,在上述平方根号下的值为负,因此卡尔达诺公式也就不再适用了[8]。塔塔利亚把这种情形称为“不可约”情形,我们这里采用这一说法[9]。当然,现代数学的分类是根据三次方程的实根个数把它分成两类,一类是实根个数为 1,一类是实根个数为 3。因此,对卡尔达诺来说,一个重要的问题是讨论三次方程的不可约情形。在《大术》第 25章,卡尔达诺给出17条关于三次方程的特殊法则,这些法则都适用于不可约情形,对此,卡尔达诺说道:

当一次项系数的 1/3的立方大于方程的常数的一半的平方时,……本书的第 25章可以令你相当满意。([2],103页)。

所谓特殊法则,是指利用该法则不能解决所论的一般方程,而只能解决其中未知项系数满足特定关系的那一类。

我们知道,不可约情形的问题引起了当时数学家们的关注,意大利数学家邦贝利 (R.Bom belli,1526—1572年)在其 1572年的《代数学》中建立了复数的运算法则[10],并在一定程度上解释了卡尔达诺公式对不可约情形也成立[11]。可见,对三次方程不可约情形的研究直接推动了实数系的扩充,在数学史上具有重要的意义[12—13]。但就笔者了解的文献而言,关于卡尔达诺的这 17条特殊法则迄今还没有出现深入的研究。造成这种现象的原因有以下 3个方面。(1)三次方程的不可约情形在实数系下并不存在一般解法,因此,从直觉上来说,这些特殊法则对于求解三次方程不会有太大帮助。(2)卡尔达诺对这 17条特殊法则一般先用文字叙述其计算程序,然后再通过具体例子展示这些程序的操作过程③卡尔达诺 1570年修订出版《大术》第 2版时,对第三、四、五条法则各添加了一段几何解释,即把条件和结论代入三次方程两边,然后验证等式成立。,但是很少提及这些法则的构造原理。关于这一点,他说道:

这些法则以第 6章的证明为基础,但我没必要在这里展示它们。因为对那些熟悉我们关于欧几里得的书的人来说,它们是自明的;而不知道这些书的人既不会关心它们,也不会去探求它们,因为他们不是欧几里得的朋友。([2],168页)

综合的表述是当时代数学的传统,这既是由于综合几何的主流地位的影响,也是由于当时代数学的主要目的还是求解方程。但对习惯于分析思维的现代读者而言,这种表达方式无疑对理解这些法则造成很大的困难。(3)这些特殊法则一般都呈现为解方程的形式,对于具体例子,卡尔达诺通过相关的数来验证系数之间满足给定的关系,由此得出方程的正根,但他并未解释相关的数是如何得到的。一般读者会认为他是对方程的系数进行观察得到了这些相关的数,从而认为这些法则过于特殊而不值得研究。但情况并非如此,而是恰恰相反,他是由这些相关的数出发得到了方程及其正根。最后,作者的研究表明,只有通过对《大术》全书的综合研究,才能搞清楚这些特殊法则的构造思想。

我们知道,法则只是数学思想的表现形式,只有当这些数学思想得以呈现时,法则的数学意义才能被深刻地认识。本文的目的就是完成对这 17条特殊法则的古证复原,重建其构造过程,由此揭示卡尔达诺的数学思想,并阐明这些法则的数学意义。

1 古证复原的依据

吴文俊关于古证复原的三条原则在中国古代数学史的研究中已经成为一种范式[14—16],简单地说,这三条原则可以概括为:既要有据可依,也要合情合理[17—19]。古证复原的方法当然也适合外国数学史的研究。以下我们要说明关于这些特殊法则的来源分析的依据。

1.1 卡尔达诺求解高次方程的方法

在《大术》第 6章,卡尔达诺叙述了其求解高次方程的方法:

还有一种称为类比的方法,它包含 4个方面:(1)利用方程的性质。比如,三次幂等于一次项加上常数的方程的根可由三次幂加上一次项等于常数的方程的根推出。(2)利用对方程的扩展①此处《大术》拉丁语原文为“augmentis aquationum”,([1],235页)《大术》英译本误为:“通过根的扩增 (From the augmentation of the solutions)”。 ([2],51页 )。我们通过这种方式发现了由四次幂、二次项、一次项和常数组成的特殊方程的解法。(3)把方程变换为性质与之相同的另一个方程。……(4)通过构造未知量的立方或平方、未知量的比例 (比如一半或 2倍)以及未知量的加法或减法来求方程的根——这三种不同的方法构成了一个整体。([2],51页)

根据第一种方法可以看出,卡尔达诺已经认识到根的表达式并不依赖于方程的具体类型。因为x3+ax=c的正根为(1)式,而x3=ax+c可以看作是前一个方程的一次项系数取负号,这样由前一个方程的根即可得出后一个方程的根,也就是说,将(1)式中的a变成 -a即得(2)式。第二种方法具体体现在《大术》第 26章的法则 26.1—26.4,通过比较某个简单方程与四次方程的系数,卡尔达诺得以用四次方程的系数来表示它的正根[20]。对第三种方法,卡尔达诺在第 6章给出一个例子,即由条件x+y=x2和xy=8既可得到方程x3=x2+8,也可得到y3+8y=64,而其正根可以根据第二个条件互相求出。关于第四种方法,构造未知量的平方 (或立方)体现在《大术》第 24章,实质上是换元法;构造未知量的加法、减法或比例属于把实际问题转化为方程的技巧,具体体现在《大术》第 32—39章。

1.2 卡尔达诺得到三次方程一般法则的方法

在分析卡尔达诺关于三次方程的特殊法则之前,我们还需要知道他得到三次方程的一般法则的方法,因为这些方法显然会对分析三次方程的特殊法则有所启发。综合卡尔达诺对 13种三次方程的证明,可以把这些方法总结为 4种。通常的数学史文献仅涉及前两种。

(1)第一种方法是立方恒等式与三次方程的比较。例如,在《大术》第 11章,卡尔达诺通过将

进行比较,得到x=r-s,a=3rs,c=r3-s3。由此可求出r和s,从而得到卡尔达诺公式。([2],96—99页)

(2)第二种方法是线性变换。通过这种方法,卡尔达诺可以把含有二次项的三次方程化成不含二次项的基本方程,从而可用公式求解。例如,在《大术》第 14章,借助于线性变换卡尔达诺把x3=bx2+c化成了([2],100—101页)

(3)第三种方法是二次变换。通过这种方法,卡尔达诺和他的学生费拉里 (Lodovica Ferrari,1522—1565)可以把x3±bx2=c化成基本方程。例如,在《大术》第 15章,除了第二种方法之外,卡尔达诺还记载了首先由费拉里发现的变换方法,即x3+bx2=c在变换x=y2-b之下化成了基本方程([2],116页)

(4)第四种方法是反比例变换。通过这种方法,卡尔达诺可以把由三次幂、二次项和常数组成的方程化成基本方程。例如,在《大术》第 16章,在变换之下,卡尔达诺把方程x3+c=bx2化成了([2],118页 )

1.3 《大术》第 6章的命题

接下来要考虑的是《大术》第 6章的证明,因为卡尔达诺明确指出,这些证明是这 17条特殊法则的基础。又因为卡尔达诺“关于欧几里得的书并没有流传下来”,所以《大术》第 6章的命题就变得更为重要了。

在第 6章,卡尔达诺通过立方体的分割证明了三个命题,用公式可分别表示为:

此外,卡尔达诺对命题 6.2和 6.3还分别给出两条推论。除了这四条推论,卡尔达诺在第6章的最后又补充说道:“为简便起见,我省略了很多其他推论。”([2],55页)作者经过研究发现,正如卡尔达诺所说,这些特殊法则的确可以根据《大术》第 6章的命题以及这些命题的推论构造出来,只不过其中有些推论属于卡尔达诺在第 6章“省略”的内容。

1.4 卡尔达诺对某些特殊法则的简短说明

另一个重要的直接依据是卡尔达诺在叙述这 17条特殊法则时给出的简短提示,即:法则 25.1好像是从《大术》第 8章的一般法则中“剥离出去的”,法则 25.9和法则 25.2相似,法则 25.10和法则 25.6相似,法则 25.11和法则 25.4相似,法则 25.13和法则25.3相似。虽然卡尔达诺对此没有更详细的解释,但是对这些特殊法则的重构显然应该符合卡尔达诺的这些模糊的暗示。反过来,也只有在完成古证复原的基础上,我们才能进一步明确这些暗示的意义。

2 卡尔达诺的特殊法则

《大术》第 25章共分 18小节,其中第 16小节是注释,用以说明:除了整数和分数之外,有理系数的三次方程的正根还可能是无理数。其余 17小节分别论述一条特殊法则,以下我们保留卡尔达诺的序号。([1],266—270页;[2],160—170页)另外,因为卡尔达诺在这里只讨论正系数三次方程及其正根,以下的字母如不作特殊说明,均表示正数。

除了法则 25.6、25.10和 25.15,《大术》英译本在注释中对其余 14条特殊法则都给出了公式表述。需要注意的是,对法则 25.4和 25.11,英译本的公式表述中都增加了一个在术文中没有出现的条件f∶g=g∶h,其实这个条件没有必要添加,因为它隐含在关于常数的等式中;对法则 25.18,《大术》英译本对拉丁本的一处翻译出现了错误,这导致其公式表述出现了相应的错误;英译本和拉丁本中还有个别小错误,我们将随文指出;此外,英译本的所有公式表述都是考虑关于x的方程,为了更清楚地表明各条法则之间的关系,我们在法则 25.9的公式表述中使用关于y的方程,在法则 25.14、25.15中使用关于z的方程。

卡尔达诺一般先给出法则的文字叙述,然后给出数值例子。对于这些例子,卡尔达诺按照法则的程序以文字叙述的方式依次进行计算。以下对每一条法则,我们先给出这些法则的术文;然后给出该法则的公式表述;最后给出他的例子,为简便计,我们不再叙述其每一个计算步骤,而是采用现代表达形式。

法则25.1

当三次幂等于一次项加上常数时,把一次项系数分成两部分,并使一部分乘以另一部分的平方根等于方程的常数,再用取其平方根的那部分的 1/4加上另一部分,则已经使用了其平方根的那部分的平方根的一半与这个和的平方根之和就是未知量的值。

公式表述:对x3=ax+c,若则

对例子x3=20x+32,卡尔达诺把 20分成 16和 4,此时满足因此

法则25.2

当三次幂等于一次项加上常数时,寻找两个数,使其乘积等于方程的常数,并且一个数等于另一个数与一次项系数之和的平方根,则这个平方根就是未知量的值。

公式表述:对x3=ax+c,若则

对例子x3=32x+24①《大术》英译本此处误为 x3+24=32x。([2],161页),卡尔达诺取两个数为 6和 4,此时满足 6·4=24,并且 6=因此x=6。

法则25.3

当三次幂等于一次项加上常数时,把一次项系数分成两部分,并使每一部分与另一部分的平方根相乘所得的两个乘积之和等于常数的一半,则这两部分的平方根之和就是未知量的值。

公式表述:对x3=ax+c,若则

对例子x3=10x+24,卡尔达诺把 10分成 9和 1,此时满足因此

法则25.4

当三次幂等于一次项加上常数时,把一次项系数分成三部分,使中间部分乘以第一与第三部分的平方根之和——即第一部分的平方根与第三部分的乘积加上第三部分的平方根与第一部分的乘积——等于常数,则上述两个平方根之和就是未知量的值。

公式表述:

对x3=ax+c,若则

对例子x3=19x+30,卡尔达诺把 19分成三部分 9、6和 4,此时满足

法则25.5

当三次幂等于一次项加上常数时,寻找两个数,使它们的和乘以它们的乘积等于常数的 1/3,并且它们的平方和等于一次项系数加上这两个数的乘积,则这两个数之和就是未知量的值。

公式表述:对x3=ax+c,若,则x=r+s。

对例子x3=7x+90,卡尔达诺取两个数为 3和 2,此时满足

因此x=3+2=5。

法则25.6

当三次幂等于一次项加上常数时,寻找一个立方数,使它的立方根与一次项系数的乘积等于这个立方数与常数的和或差。于是,或者未知量与这个立方根之和等于两个数 (一个数等于三次幂与这个立方数之和,另一个数等于一次项①《大术》拉丁本和英译本将此处以及下一处“一次项”都误为“一次项系数”(numeri rerum;the coefficientof x)。 ([1],267页;[2],163页 )加上常数与这个立方数之和)的公因子,或者未知量与这个立方根之差等于两个数 (一个数等于三次幂与这个立方数之差,另一个数等于一次项减去这个立方数与方程的常数之差)的公因子。这样你就会得到未知量的值。

对例子x3=16x+21,卡尔达诺取立方数为 27,此时满足因此方程两边都加上 27,得x3+27=16x+48,此方程两边同除以公因式x+3,得x3-3x+9=16,所以

对另一个例子x3=4x+15,卡尔达诺取立方数为 27,此时满足因此方程两边都减去 27,得x3-27=4x-12,此方程两边同除以公因式x-3,得x2+3x+9=4,此二次方程没有实根。

法则25.7

当三次幂等于一次项加上常数时,用一次项系数减去未知量的平方的 3/4,并用未知量的一半加上或减去这个差的平方根,则所得之差的平方与所得之和的乘积加上所得之和的平方与所得之差的乘积等于方程的常数。

公式表述:对x3=ax+c,有

对例子x3=14x+8,x=4,卡尔达诺得到并验证了

法则25.8

当三次幂等于一次项加上常数时,用方程的常数的一半除以未知量的值,并用一次项系数加上这个商,然后用这个和减去未知量的平方的 3/4,再用未知量的值的一半加上或减去这个差的平方根,则这两个数中的每一个乘以另一个的平方所得的两部分之和等于方程的常数的一半。

公式表述:对x3=ax+c,有

对例子x3=14x+8,x=4,卡尔达诺得到并验证了

法则25.9

当一次项等于三次幂加上常数时,寻找一个数,使它与一次项系数之和的平方根乘以这个数等于方程的常数,则这个平方根的一半加上或减去一次项系数与这个和的 3/4之差的平方根就是未知量的值。

公式表述:对y3+c=ay,若则

对例子y3+12=34y,卡尔达诺取这个数为 2,此时满足因此

法则25.10

当一次项等于三次幂加上常数时,用某个数减去常数,并使这个差的立方根乘以一次项系数等于这个数。方程两边都减去这个数,则未知量减去这个差的立方根是方程两边的公因子。

公式表述:对x3+c=ax,若则x3-(f-c)和ax-f有公因子原方程可降幂求解。

对例子x3+21=16x,卡尔达诺取这个数为 48,此时满足因此原方程两边同时减去 48,得x3-27=16x-48,此方程两边同除以x-3,得x2+3x+9=16,解得

法则25.11

当一次项等于三次幂加上常数时,把一次项系数分成三部分,使第二部分乘以第一与第三部分的平方根之差——即第三部分的平方根与第一部分的乘积和第一部分的平方根与第三部分的乘积之差——等于方程的常数的 1/3,则这两个平方根之差就是未知量的值。

公式表述:

对x3+c=ax,若则

对例子x3+18=19x,卡尔达诺把 19分成三部分 9、6和 4,此时满足

法则25.12

当一次项等于三次幂加上常数时,用一次项系数除以方程的常数的立方根,然后把所得结果分成两部分,并使一部分乘以另一部分的平方等于方程的常数,则常数的立方根与一部分 (为了得到常数,你已经用它乘以另一部分的平方)的比例中项就是未知量的值。

公式表述:对x3+c=ax,若则

对例子x3+8=18x,卡尔达诺把分成两部分 8和 1,此时满足 8·12=8,因此解得x=4。

法则25.13

当三次幂加上常数等于一次项时,把一次项系数的 1/3分成两部分,并使它们分别乘以各自的平方根所得的两数之和等于方程的常数的一半,则这两个平方根之和就是未知量的值。

公式表述:对x3+c=ax,若则

对例子x3+18=15x,卡尔达诺把分成两部分 4和 1,此时满足因此

法则25.14

当常数等于三次幂加上二次项时,把二次项系数分成两部分,使一部分的平方乘以另一部分等于方程的常数。然后用未被平方的那部分的 1/4与已被平方的那部分之和乘以未被平方的那部分,则这个结果的平方根减去未被平方的那部分的一半就是未知量的值。

公式表述:对z3+bz2=c,若b=f+g,c=f2g,则

对例子z3+20z2=72,卡尔达诺把 20分成 18和 2,此时满足 22·18=72,因此

法则25.15

当二次项等于三次幂加上常数时,寻找一个既不小于二次项系数的 1/4、也不大于该系数的 1/3的数,并且使得你用方程的常数除以这个数会得到一个平方数,而且这个平方数的平方根的一半加上二次项系数等于这个除数的 4倍。用它乘以二次项系数与这个除数的 3倍之差,则这个除数的 2倍加上或减去这个乘积的平方根就是未知量的值。

公式表述:对z3+c=bz2,若则

对例子z3+48=10z2,卡尔达诺取这个数为 3,此时满足

因此

法则25.17

当三次幂加上常数等于一次项时,把一次项系数的平方根分成两部分,并使第二部分的平方的 2倍与第一部分的乘积加上第一部分的平方与第二部分的乘积等于方程的常数,则此时第二部分就是未知量的值。

公式表述:对x3+c=ax,若则x=s。

对例子x3+48=25x,卡尔达诺把 25分成 2和 3,此时满足 2·32·2+22·3=48,因此x=3。

法则25.18

当三次幂加上二次项等于常数时,如果方程的常数等于两个数之差,并且这两个数的乘积等于二次项系数的 1/3的立方与这两个数的立方根之差的立方的乘积①此处的拉丁语原文为:“duc ti inuicem,p roduxerin t tan tum,quantum ex cubo Tpquad.in cubum differentiae R.cubicarum talium num ero rum.”([1],270页)《大术》英译本此处误译为:“这两个数的乘积等于二次项系数的1/3的立方与这两个数的立方根之差的乘积。”(two numberswhose p roduct is the same as the cube of one-third the coefficien tof x2 tim es the difference betw een the cube roo tsof these two num bers.)([2],170页),那么这两个立方根之差就是未知量的值。

公式表述:对x3+bx2=c,若3②《大术》英译本此处的注释把这个条件错误地表示为([2],170页 ),则

3 特殊法则的来源分析

我们已经指出,对这 17条特殊法则的来源分析依赖于对《大术》的综合研究。除了《大术》第 6章的命题和推论以及卡尔达诺“省略”的推论之外,《大术》第 8章、第 13章和第 15章的相关法则对于探源这些特殊法则的构造原理也具有重要的作用。按照构造方式的不同,我们可以把这些法则的来源分为以下 4类。

3.1 来自立方恒等式与三次方程的比较的特殊法则

这一类法则包括法则 25.2—25.5、25.8、25.11、25.13、25.17和 25.18。以下我们只详细分析法则 25.2和法则 25.8的来源,其余 7条特殊法则的来源分析都与法则 25.2类似,为免重复,我们对其只给出分析思路。

为分析法则 25.2的来源,注意到根据 (3)式可得

把此恒等式和方程x3=ax+c进行比较,可设

为了使法则呈现为解方程的形式,再设f=r+s,则有

由此即得法则 25.2。

同理,为得到法则 25.3,只需比较(r+s)3=(r2+s2)(r+s)+2(r2s+rs2)和x3=ax+c,再设r2=f,s2=g即可。

为得到法则 25.4,只需比较(r+s)3=(r2+rs+s2)(r+s)+rs(r+s)和x3=ax+c,再设r2=f,rs=g,s2=h即可。

为得到法则 25.5,只需比较(r+s)3=(r2-rs+s2)(r+s)+3rs(r+s)和x3=ax+c即可。

为得到法则 25.11,只需比较(r-s)3+3rs(r-s)=(r2+rs+s2)(r-s)和x3+c=ax,再设r2=f,rs=g,s2=h即可。

为得到法则 25.13,只需比较(r+s)3+2(r3+s3)=3(r2+s2)(r+s)和x3+c=ax,再设r2=f,s2=g即可。

为得到法则 25.17,只需比较(r+s)2s=s3+(2rs2+r2s)和ax=x3+c即可。

为得到法则 25.18,只需比较和x3+bx2=c,再设r3=f,s3=g即可。

为分析法则 25.8的来源,注意到根据(3)式可得

将此恒等式和方程x3=ax+c进行比较,可设

现在设x已知,希望求出r、s,再进一步给出关于c的表达式。把s=x-r代入可得二次方程不妨取

把r、s的表达式代入即得法则 25.8。

3.2 来自立方恒等式与方程的变换的特殊法则

这类法则包括法则 25.1、25.7、25.9和 25.14、25.15。其中前三条法则属于一类变换,后两条法则属于另一类变换。

为分析法则 25.1的来源,我们注意到,卡尔达诺对这条特殊法则注释道:

你由一般法则也会知道:[当三次幂加上常数等于一次项时,]只要能把一次项系数分成两部分,并使一部分乘以另一部分的平方根等于方程的常数,则这个平方根就是未知量的值,并且未知量的值可以具有二项和式 (或二项差式)和整式这两种形式,而这些又与第一条法则相似。但这里需要提醒的是,第一条法则看起来就像是我们从一般法则中剥离出去的一样。([2],167页)

这里的“一般法则”是指《大术》第 8章的法则 8.2,用公式可以表示为:

法则 8.2①法则 8.2的文字叙述为:如果最高次幂加上常数等于中间次项,那么把中间次项的系数分成两部分,并使一部分乘以另一部分的方根(取其开方次数为最高次幂除以中间次幂所得的幂的次数)的乘幂 (把这个方根按照中间次幂的次数升幂)等于方程的常数,则按照中间次幂的次数升幂的方根就是未知量的值。([2],68页)对xn+c=axm,若,则②《大术》英译本此处的注释把公式表述中的两处 n-m均误为 n/m。([2],68页)这条法则的想法很自然,即对 xn+c=axm,如果能把 a分成两部分 a=r+s,并且分别使得 rxm=xn,sxm>=c,则x=。

特殊地,当n=3,m=1时,这条法则可表示为:

此时易知f=a-y2,c=y(a-y2)。现在希望根据《大术》第 13章的法则,用y3+c=ay的

法则 13.1③法则 13.1的文字叙述为:当三次幂加上常数等于一次项时,求出三次幂等于同样多倍的未知量加上相同的常数的方程的根,并取此根的一半的平方的 3倍,然后用一次项系数减去它,再用三次幂等于一次项加上常数的方程的根的一半加上或减去所得之差的平方根,这就得到了三次幂加上常数等于一次项的方程的根。([2],106页)x3=ax+c与y3+c=ay的正根之间的关系为

法则 13.2④法则 13.2的文字叙述为:把第一个根的一半平方,并用所得结果乘以 3,再用一次项系数减去它,则所得差的平方根减去第一个根的一半就是所求的根。([2],108页)若y1、y2是y3+c=ay的正根,则

对法则 13.1和 13.2,卡尔达诺只是提供了几何验证[21],并没有指出这两条法则的来源,不过其来源不难发现⑤将两个三次方程 x3=ax+c和 y3+c=ay联立,可得 x3+y3=a(x+y)。由 (5)式可知,当 x>0已知时,可得二次方程 y2+(x2-a)=xy,其正根为 (6)式,由此即得法则 13.1。当 y1>0已知时,根据 y1y2=x2-a和 y1+y2=x可得关于 y2的二次方程y1y2=(y1+y2)2-a,即+y1y2=a-,其正根为 (7)式,由此即得法则 13.2。,都是以立方恒等式

为基础,虽然这个恒等式在《大术》第 6章并没有明确出现,但它显然可以看作 (5)式的推论。

现在,已知y3+c=ay的一个正根为设此方程的另一个正根为y1,则根据(7)式可得,

因此,根据(6)式可知,

也就是说,当时,x3=ax+c的正根为由此即得法则25.1。

上述来源分析表明,卡尔达诺之所以说“第一条法则看起来就像是我们从一般法则中剥离出去的一样”,是因为法则 25.1可以看作法则 8.2的推论。

至此,我们不难得出法则 25.7和 25.9的来源。由(6)式可知因此代入(6)式中y1和y2的值,即得法则 25.7。需要注意的是,根据来源分析可知,因为此时y3+c=ay有正根,所以根据《大术》第 1章的法则 1.6可知,([2],13—14页)x3=ax+c一定有三个实根,也就是要求不过卡尔达诺在法则中并没有陈述这个条件,而是把这个条件隐含在运算中,易知当x>0时和这个条件是等价的。

对法则 25.9,卡尔达诺在注释中指出,法则 25.9和 25.2相似。虽然这两条法则的假设条件的确相似,但是其结论却不相同。因此,为分析这条法则的来源,关键是找出法则25.9和 25.2的结论之间的关系。我们注意到,根据法则 25.2可得,对x3=ax+c,若c=则因此,把x的值代入 (6)式,即得法则 25.9。根据上述分析可知,法则 25.9可以看作 25.2的推论。

为分析法则 25.14的来源,我们注意到《大术》第 15章的法则 15.2,即

法则 15.2①法则 15.2的文字叙述为:[若三次幂加上二次项等于常数,]设一个一次项的系数等于这个二次项的系数,并且这个一次项加上该常数的平方根等于三次幂;得出这个方程的根之后,把这个根平方,并用这个平方减去二次项(或一次项)系数,则所得的差就是未知量的值。([2],116页)方程z3+bz2=c和的正根之间的关系为z=x2-b②费拉里为法则 15.2提供的几何证明比较清楚地体现了该法则的来源,其几何证明用公式可表示为: 3+bz2=c=(z+b)z2,设 z=x2-b,则 x2(x2-b)2=c,即([2],116页)。现在,根据法则 25.1可知:

因此,

由此即得法则 25.14。根据上述分析可知,法则 25.14可以看作法则 25.1的推论。

为分析法则 25.15的来源,我们注意到这条法则所论三次方程的类型与法则 25.14相似,因此可以认为卡尔达诺对法则 25.15采用了与对法则 25.14类似的变换方法,具体如下。因为c=z2(b-z),若设b-z=y2,即z=b-y2,则有c=(b-y2)2y2,即根据(6)式可得与的正根之间的关系为若设则有此时

根据上述分析,此时显然有因此,原方程的正根为

由此即得法则 25.15。

3.3 来自立方恒等式与方程的变形的法则

这类法则包括法则 25.6和法则 25.10,因为它们的来源类似,我们只详细讨论法则25.6。

为分析法则 25.6的来源,注意到根据 (5)式可得x3±r3=(x±r)(x2∓xr+r2),由此可知,x3±r3有因子x±r。现在把x3=ax+c恒等变形为x3±r3=ax±(r3±c),并希望此方程的右边也有因子x±r,也就是说ax±(r3±c)=a(x±r),即ar=r3±c。若设r3=f,则有并且此时x3±f和ax±(f±c)有公因子由此即得法则 25.6。

同理,为得到法则 25.10,只需把x3+c=ax恒等变形为x3-(f-c)=ax-f,并使方程两边有公因子即可。

3.4 来自立方恒等式与比例性质的法则

这里专指法则 25.12。为分析这条法则的来源,我们注意到《大术》第 6章命题 6.3的假设条件g∶r=r∶x=x∶f。现在此条件之下考虑x3+r3,根据比例的性质可得,r2=xg,x2=rf,xr=fg。因此,根据命题 6.3可得,

现把x3+r3=r(f+g)x和x3+c=ax进行比较,可设

根据假设,此时显然有由此即得法则 25.12。

3.5 卡尔达诺构造例子的过程

现在我们已经讨论了卡尔达诺关于这 17条特殊法则的构造原理,以此为基础,我们就能对卡尔达诺的例子给出合理的解释。这些例子实际上是构造出来的,我们将通过一个具体例子来分析其构造过程。

例如,对法则 25.1,卡尔达诺的例子为x3=20x+32。根据对该法则的来源分析可知,对x3=ax+c,若设f=16,g=4,则

也就是说,对方程x3=20x+32的系数及其正根,卡尔达诺都是从两个数 16和 4出发,根据特殊法则直接构造出来的。但是,在表述其例子的时候,卡尔达诺的方式却是预先给定方程,然后再确定这些相关的数,最后再用这些相关的数以及方程的系数表示方程的正根。如果不了解这种区别,现代读者就会很奇怪为什么卡尔达诺能得到这些相关的数,从而无法正确理解这些特殊法则。

4 特殊法则的适用范围分析

以上我们分析了这 17条特殊法则的构造原理,下一个问题是,这些特殊法则是否专为不可约情形而设?为此,需要对它们的适用范围进行分析。它们可以分为以下两类。

4.1 所论三次方程一定有三个实根的特殊法则

由于卡尔达诺对这些特殊法则只讨论方程的正根,根据《大术》第 1章的法则 1.5可知,当方程x3+c=ax有正根时,它一定有两个正根和一个负根,共计三个实根。([2],11—13页)因此,法则 25.9—25.13和 25.17针对的是三次方程有三个实根的情形。另外,根据上述来源分析可知,因为法则 25.1、25.7和 25.15都是通过方程的变换把所论三次方程归结为形如x3+c=ax的类型,并且法则 25.14可以看作是法则 25.1在相同条件下的推论,因此这 4条法则讨论的三次方程也具有三个实根。

对法则 25.4,在其假设条件下易知所论方程有三个实根,即

对法则 25.6的分析可以分为两种情形。对加法的情形,设f=r3,因为

所以降幂后的二次方程x2=rx+a-r2总是有两个实根,因此原方程有三个实根。

4.2 所论三次方程有三个实根或只有一个实根的特殊法则

对法则 25.6的减法情形,卡尔达诺给出的例子为x3=4x+15,它只有一个实根 3。但需要注意的是,此时原方程也可能具有三个实根,这是因为

所以降幂后的二次方程x2+rx+r2-a=0既可能没有实根,也可能有两个实根。例如x3=13x+12,因为所以x3-64和 13x-(64-12)有公因子x-4,即此方程适合法则 25.6,但它有三个实根,即 4、-1和 -3。

根据类似的分析可知,对其余的 5条特殊法则,所论三次方程既可能有三个实根,也可能只有一个实根。卡尔达诺只针对其中的一种情形给出了例子,我们同样可以构造出对应于另一种情形的例子。

具体来说,对法则 25.2,卡尔达诺的例子为x3=32x+24,因为所以它有三个实根,即但是,这条法则讨论的三次方程也可能只有一个实根。例如,若取f=2,g=3,则有

对应的三次方程x3=x+6当然适合法则 25.2,但此时因此该方程只有一个实根 2。

对法则 25.3,卡尔达诺的例子为x3=10x+24,因为所以此方程只有一个实根 4。但是,这条法则所论三次方程也可能具有三个实根。例如,若取f=100,g=1,则有

对应的三次方程x3=101x+220显然适合法则 25.3。但此时因此该方程有三个实根,即 11和

对法则 25.5,卡尔达诺的例子为x3=7x+90。因为所以此三次方程只有一个实根 5。但是,这条法则讨论的三次方程也可能有三个实根。例如,若取r=10,s=1,则有

对应的方程x3=91x+330显然适合法则 25.5。但此时

因此,该三次方程有三个实根,即 11、-5和 -6。

对法则 25.8,卡尔达诺给出的例子为x3=14x+8。因为这个例子与法则 25.7的例子相同,所以它有三个实根,即 4和但是,这条法则讨论的三次方程也可能只有一个实根。不妨取法则 25.3的例子x3=10x+24,它只有一个实根 4。此时有

即这个方程适合法则 25.8。

对法则 25.18,卡尔达诺的例子为此方程有三个实根,即 2和。但是,这条法则讨论的三次方程也可能只有一个实根。例如,若取f=27,g=1,则有

5 结 论

5.1 特殊法则的构造方法

根据上述来源分析可以看出,卡尔达诺在构造《大术》第 25章的 17条关于三次方程的特殊法则时都是直接或间接地以《大术》第 6章的命题为基础,也就是说,以立方恒等式为基础。此外,在得到某些法则的过程中,卡尔法诺还使用了方程的变换、变形以及比例的性质。具体来说 ,法则 25.2—25.5、25.8、25.11、25.13、25.17和 25.18这 9条特殊法则直接来源于立方恒等式与三次方程的比较,法则 25.1、25.7、25.9和 25.14、25.15这5条特殊法则来源于立方恒等式和方程的变换,法则 25.6和 25.10这两条特殊法则来源于立方恒等式和方程的变形,法则 25.12来源于立方恒等式与比例的性质。对比卡尔达诺关于三次方程的一般法则可知,虽然这些特殊法则在求解三次方程方面比较特殊,但是其构造方法却和构造一般法则一样具有普遍性。另外,容易知道,卡尔达诺并没有穷尽所有的特殊法则,我们按照他的构造方式还可以得到很多其他特殊法则。

5.2 卡尔达诺的暗示的意义

另外,对这些特殊法则的来源分析不但符合上述卡尔达诺给出的模糊暗示,而且进一步明确了它们的意义。具体来说,他所谓的法则 25.1“好像是从一般法则中剥离出去的”,是指法则 25.1可以看作法则 8.2的推论;所谓的法则 25.9和 25.2相似,是指法则25.9可以看作法则 25.2的推论;他所谓的法则 25.10和 25.6相似、法则 25.11和 25.4相似、法则 25.13和 25.3相似,是指这些法则不但形式相似,而且构造原理也相似。此外,我们进一步还发现,法则 25.14可以看作法则 25.1的推论。

5.3 卡尔达诺的综合表述

根据上述来源分析还可以看出,卡尔达诺对这些特殊法则的表述和这些法则的构造过程并不完全一致。除了法则 25.7和 25.8之外,这些法则都呈现为在特定条件下求三次方程的正根,如果知道了满足假设条件的相关的数,则所求三次方程的正根就可以用这些数以及原方程的系数表示出来。但是,卡尔达诺在例子中并没有指出这些数是如何得到的。来源分析表明,这些数并不是根据各个例子中的三次方程求出来的,恰恰相反,是卡尔达诺首先从这些相关的数出发,根据特殊法则构造出了三次方程,那么方程的正根当然也就可以用这些数表示了。如果不清楚这一点,我们在理解这些特殊法则时就可能把注意力集中在这些法则的特殊性上,而忽视了这些法则本身的意义以及其中所蕴含的数学思想。

5.4 特殊法则的适用范围

对各法则的适用范围分析表明,这 17条特殊法则可以分为两类,一类是法则所论的三次方程总是有三个实根,其中包括法则 25.1、25.4、25.6的加法情形、25.7、25.9—25.15和 25.17。另一类是法则所论的三次方程既可能只有一个实根,也可能有三个实根,其中包括法则 25.2、25.3、25.5、25.6的减法情形、25.8和 25.18。上述分析表明,虽然法则 25.9可以看作法则 25.2的推论,但是这两条法则的适用范围并不相同。另外,虽然法则 25.7和 25.8的表现形式非常相似,但是它们的适用范围和构造原理都不相同。

5.5 卡尔达诺的目的

需要注意的是,当所论三次方程可能有三个实根或只有一个实根时,卡尔达诺只举出了一种情形的例子。具体来说,对法则 25.2、25.8和 25.18,卡尔达诺只给出了三次方程有三个实根的例子。对法则 25.3、25.5和 25.6的减法情形,他只给出了三次方程只有一个实根的例子,卡尔达诺显然知道,此时的例子并不属于不可约情形。由此也可以看出,虽然这 17条特殊法则的确都能适用于三次方程的不可约情形,但是对卡尔达诺来说,构造这些特殊法则的初衷与其说是为了专门解决三次方程的不可约情形,不如说是为了得到这些法则本身。这正如《大术》这本书的副标题所示:论代数的法则 (de regu lis algebraicis)。

致 谢 英国学术院 2006年支持作者访问了伦敦大学瓦堡研究所,该所 Charles Burnett教授和作者详细讨论了《大术》拉丁本和英译本中的相关错误,特此致谢。作者同时感谢西北大学曲安京教授和评审人为论文修改提供的重要建议和文献资料。

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