对一道高考理综试题的多种解法分析

林榕 方戈亮

(沈阳师范大学物理科学与技术学院 辽宁 沈阳110034)

【题目】(2009年辽宁、广西高考理综卷第24题)冰壶比赛是在水平冰面上进行的体育项目，比赛场地如图1所示.比赛时，运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O.为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小.设冰壶与冰面间的动摩擦因数为μ1=0.008 ，用毛刷擦冰面后动摩擦因数减小至μ2=0.004.在某次比赛中，运动员使冰壶C在投掷线中点处以2 m/s的速度沿虚线滑出.为使冰壶C能够沿虚线恰好到达圆心O点，运动员用毛刷擦冰面的长度应为多少？(g取10 m/s2)

图1

由题意可设冰壶在投掷线处的速度为v=2

m/s，v0=0 ，μ1=0.008 ，μ2=0.004 ，g=10 m/s2.同时设冰壶在未被毛刷擦过的冰面上滑过的距离为s1，冰壶在被毛刷擦过的冰面上滑过的距离为s2，投掷线到圆心O的距离为s=30 m，如图2所示.

图2

方案1根据动能定理

解法1.1：如图2，由A到O全程应用动能定理，有

由题意有

s1+s2=s

联立以上二式，解得s2=10 m

即冰壶首先在未被擦过的冰面滑行20 m距离，然后再在用毛刷擦过的冰面滑行10 m恰好到达O点停止.

解法1.2：如图2，由A到O分段应用动能定理，有

AB段

BO段

s1+s2=s

联立以上三式，解得s2=10 m

解法1.3：如图2，由A到O分段应用动能定理，但是与上面不同的是，也可以假设冰壶首先以vA=2 m/s的初速度在被毛刷擦过的冰面上滑行s1，然后再在未被毛刷擦过的冰面上滑行s2，则有

AB段

BO段

s1+s2=s

联立以上三式，解得s2=10 m

即冰壶首先在被毛刷擦过的冰面滑行10 m距离，然后再在未被毛刷擦过的冰面滑行20 m恰好到达O点停止.

方案2根据牛顿第二定律和匀变速直线运动规律

解法2.1：如图2，由A到O冰壶经历两段匀减速直线运动，有

AB段

f1=μ1mg=ma1

vB2-vA2=-2a1s1

BO段

f2=μ2mg=ma2

0-vB2=-2a2s2

s1+s2=s

联立以上五式，解得s2=10 m

解法2.2：如图2，由A到O冰壶经历两段匀减速直线运动，有

AB段

f1=μ1mg=ma1

vB=vA-a1t1

BO段

f2=μ2mg=ma2

vB=a2t2

s1+s2=s

联立以上七式，解得s2=10 m

解法2.3：冰壶由A到O的两段匀减速直线运动过程，也可以等效为由O到A的两段匀加速运动过程，则有

OB段

f2=μ2mg=ma2

vB=a2t2

BA段

f1=μ1mg=ma1

vA=vB+a1t1

s1+s2=s

联立以上七式，解得s2=10 m

方案3根据动量定理和匀变速直线运动规律

解法3.1：如图2，由A到O，有

μ1mgt1+μ2mgt2=mvA

AB段

a1=μ1g

BO段

a2=μ2g

μ2mgt2=mvB

s1+s2=s

联立以上七式，解得s2=10 m

解法3.2：根据动量定理和平均速度公式，有

AO段

μ1mgt1+μ2mgt2=mvA

BO段

μ2mgt2=mvB

联立以上四式，解得s2=10 m

解法3.3：分两段应用动量定理和平均速度公式

AB段

BO段

联立以上二式，解得s2=10 m

方案4根据功的概念和匀变速直线运动规律

解法4.1：在冰壶的两段运动过程中，两个摩擦力所做的功之和可以等效为某一个力F=ma在整个路程s上所做的功，即

μ1mgs1+μ2mgs2=mas

并且有

-vA2=-2as

s1+s2=s

联立以上三式，解得s2=10 m

解法4.2：如果不用毛刷擦冰面，冰壶以速度vA=2 m/s出发，将滑行l后停止.而l满足

并且有

0=vA-a1t

a1=μ1g

联立以上三式，解得l=25 m

可见，如果不用毛刷擦冰面，冰壶以vA=2 m/s速度出发将只能滑行l=25 m，距终点还有30 m-25 m=5 m .所以，冰壶要到达O点，必须用毛刷擦一段冰面s2，则摩擦力f2=μ2mg在s2路程上所做的功应该等于摩擦力f1=μ1mg在5 m路程上所做的功，即

μ2mgs2=μ1mg·(s-l)

由此解得s2=10 m

即需要冰壶在毛刷擦过的冰面上滑行s2=10 m后停止在O点.

方案5平均速度方法

AB段

vA=vB+a1t1=vB+μ1gt1

BO段

vB=a2t2=μ2gt2

s1+s2=s

联立以上五式，解得s2=10 m

方案6几何方法——利用v-t图像方法

如图3所示，可得

图3

vB=vA-a1t1=vA-μ1gt1

vB=a2t2=μ2gt2

联立以上三式，解得s2=10 m

方案7比例分配法

α+β=1

又设等效摩擦因数

μ3=αμ1+βμ2

则有

联立以上四式，解得s2=10 m

解法7.2：由方法案4的结果可知，如果不用毛刷擦冰面，冰壶以vA=2 m/s速度出发将只能滑行l=25 m，如图4所示，所以必须在C点前B处开始用毛刷擦冰面，擦能保证冰壶最终到达O点停止.若设同是从B点以vB为初速度出发，分别在摩擦因数为μ1和μ2的两种冰面上滑行的距离为x1和x2，则有

图4

所以可得

代入l数值，解得s2=10 m

小结以上七个方案15种解法中，方案1、4、7较为简单.试题的信息及考查结果启示我们，在平时的物理教学和备考复习中，应该强化物理概念的意义建构，突出物理过程、物理情境的分析，正确建立物理模型及相关物理方程，应是广大物理教师努力的重点.加强基础训练，培养学生理解能力、推理能力、分析综合能力和应用数学解决物理问题能力，也是物理教学的重要任务.鉴于此，我们要有意识地创设一些物理问题，引发学生深层思维实际物理情境，指导学生进行分析建模，要细化物理基本概念基本规律和基本思维方法的教育；要重视应用数学工具解决物理问题的基本运算训练.